第2章圆复习一

1、第三章圆【课标要求】（ 1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理.探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.掌握圆内接四边形的性质（ 2）点与圆的位置关系能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.（ 3）直线与圆的位置关系能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.

2、了解切线的概念 .能运用切线的性质进行简单计算和说理.掌握切线的识别方法 .了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（ 4）圆与圆的位置关系了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系.掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（ 5）圆中的计算问题掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.- 1 -掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.了解圆锥的高、母线等概念.结合生活中的实例( 模型 ) 了解圆柱、圆锥的侧面展开图.会求圆柱、圆锥的侧面积、

3、全面积，并能结合实际问题加以应用.能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.【知识回顾】1、知识脉络2、基础知识（ 1）掌握圆的有关性质和计算弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.垂径定理 :垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.- 2 -弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同一圆内， 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心

4、角的一半 .圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（ 2）点与圆的位置关系设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外；点在圆上；点在圆内过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆 .三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（ 3）直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交切线的性质 : 与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.切线的识别 : 如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心

5、的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.切线长定理 : 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.- 3 -（ 4）圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种: 外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知 : 两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交

6、，连心线垂直平分公共弦.两圆公切线的定义: 和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时, 这样的公切线叫做外公切线 .两个圆在公切线两旁时, 这样的公切线叫做内公切线 .公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.（ 5）与圆有关的计算弧长公式：扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为半径）圆柱的侧面展开图是矩形圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积底面周长×高圆柱的全面积侧面积×底面积圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体

7、圆锥的侧面积×底面周长×母线；圆锥的全面积侧面积底面积- 4 -3、能力要求例 1 如图， AC为 O 的直径， B、 D、 E 都是 O上的点，求 A+ B + C的度数 .【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE，这样将 CAD（ A）、 C放在了 AEC中，而 B与 EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解【解】连结 AE 是O的直径=90OACAEC CAD+ EAD+ C =90O B= EAD CAD+ B+ C=90 O【说明】这里通过将B转化为，从而使原本没有联系的、C都在EADABAEC中，又利用 “直径对直角” 得到它们的和

8、是90O解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法例 2ABC中， AC 6， BC8， C=90O，以点 C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点 D，求 AD的长【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CHAB，这只要求出AH的长就能得出 AD的长【解】作 CH AB，垂足为 H C=90O， AC 6， BC 8 AB=10 C=90O，CH AB又 AC 6， AB=10AH 3.6 CH AB AD=2AH AD=7.2答： AD的长为 7.2 -

9、 5 -【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键. 定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.例 3 ( ) 如图， ABC内接于 O，AB为直径， CAE= B，试说明 AE与 O相切于点 A( ) 在（）中，若AB为非直径的弦，CAE= B，AE还与 O相切于点A 吗？请说明理由(1)(2)【分析】第 ( ) 小题中，因为AB为直径，只要再说明BAE为直角即可第( ) 小题中， AB为非直径的弦，但可以转化为第( ) 小题的情形【解】()AB是O的直径 =90OC BAC

10、B=90O又 CAE= B BAC CAE=90 O即 BAE=90 O AE与 O相切于点 A( ) 连结 AO并延长交 O于 D，连结 CD. AD是 O的直径 ACD=90O =90ODCAD又 =B =90ODBCAD- 6 -又 CAE= BO CAE CAD=90即 EAD=90 O AE仍然与 O相切于点 A【说明】本题主要考查切线的识别方法这里可以引导学生依据第(1) 小题的特殊情况, 大胆提出猜想 , 渗透“由特殊到一般” 的数学思想方法， 这对于学生的探索能力培养非常重要 .例 4如图，已知O的直径 AB垂直于弦 CD于 E，连结 AD、BD、 OC、OD，且 OD 5（

11、1）若，求 CD的长（ 2）若 ADO： EDO 4：1，求扇形 OAC（阴影部分） 的面积（结果保留 ）【分析】图形中有“直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求 CD的长就转化为求 DE的长 . 第（ 2）小题求扇形 OAC的面积其关键是求 AOD的度数，从而转化为求 AOD的大小【解】（ 1） AB是 O的直径， OD 5 ADB 90°， AB10又在 Rt ABD中， ADB 90°， AB CD2CD= 2 DE BD=BE· AB AB 10 =在Rt中，由勾股定理得BEEBD答： CD的长为- 7 -（ 2） AB是 O的

12、直径， ABCD BAD CDB， AOC AODAO DO BAD ADO CDB ADO设 ADO 4k，则 CDB 4k由 ADO： EDO 4： 1，则 EDO k ADO EDO EDB 90°得 k 10° AOD 180°（ OAD ADO） 100° AOC AOD 100°则答：扇形 OAC的面积为【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度求DE长的方法很多， 可以用射影定理、 勾股定理， 也可以运用面积关系来求，但都离不开 “直角三角形及斜边

13、上的高”这个基本图形 解题中也运用了比例问题中的设k 法，同时也渗透了“转化”的思想方法例 5半径为 2.5 的 O中，直径 AB的不同侧有定点C和动点 P已知 BC ：CA=4 :3，点P在半圆上运动（不与、两点重合），过点C作的垂线，与的延ABA BCPPB长线交于点Q.( l ) 当点 P与点 C关于 AB对称时，求CQ的长；(2) 当点 P运动到半圆 AB的中点时，求 CQ的长；(3) 当点 P 运动到什么位置时， CQ取到最大值？求此时 CQ的长- 8 -【分析】当点P 与点 C关于 AB对称时， CP被直径垂直平分，由垂径定理求出 CP的长，再由 Rt ACB RtPCQ，可求得

14、CQ的长当点 P 在半圆 AB上运动时，虽然 P、Q 点的位置在变，但 PCQ始终与 ACB相似，点 P 运动到半圆 AB的中点时， PCB O，作 BE PC于点 E， CP PE+EC由于 CP与 CQ的比值不变，所以 CP取得最大值时 CQ也最大【解】( l ) 当点 P 与点 C关于 AB对称时，CP AB，设垂足为D.AB为 O的直径， ACB=900 .AB=5， AC： CA=4：3BC=4， AC=3SRt ACB=AC· BC=AB· CD 在 Rt ACB和 Rt PCQ中， ACB PCQ=900, CAB CPQ， Rt ACBRt PCQ(2) 当点 P运动到弧 AB的中点时，过点 B 作 BE PC于点 E（如图） . P是弧 AB的中点，又 CPB= CAB CPB= tan CAB=- 9 -从而由（ l ）得，(3 ）点 P 在弧 AB上运动时，恒有故 PC最大时， CQ取到最大值当 PC过圆心 O，即 PC取最大值5 时， CQ 最大值为【说明】本题从点 P 在半圆 AB上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt）往往是解题的关键ACB