第三讲解析函数的充要条件初等函数

1、第三讲第三讲 解析函数的充要条件解析函数的充要条件初等函数初等函数& 1. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件& 2. 举例举例2.2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件 如果复变函数如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定在定义域义域 d内处处可导，则函数内处处可导，则函数 w = f (z) 在在 d内解析。内解析。 本节从函数本节从函数 u (x , y) 及及 v (x , y) 的可导性，探求的可导性，探求函数函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的

2、求导方法。一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题问题 如何判断函数的解析性呢？如何判断函数的解析性呢？一一. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),(),(则则可可导导在在点点设设函函数数,),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于实实轴轴的的方方式式xvixu yiyxvyyxv

3、iyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若沿平行于虚轴的方式若沿平行于虚轴的方式yuiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在a 记忆记忆yvxvyuxu 定义定义 方程方程称为称为cauchy-riemann方程方程(简称简称c-r方程方程).yuxvyvxu 定理定理1 设设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 d 内有定义，内有定义， 则则 f (z)在点在点 z=x+iy d处可

4、导的充要条件是处可导的充要条件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在点在点 (x, y ) 可微，且满足可微，且满足 cauchy-riemann方程方程yuxvyvxu 上述条件满足时上述条件满足时,有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 证明证明（由由f (z)的可导的可导 c-r方程满足上面已证！只须证方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导的可导 函数函数 u(x, y)、v(x, y)可微可微）。）。 函数函数 w =f (z)点点 z可导，即可导，即)( )()()(zfzzfzzfz 设设则则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1),

5、 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x+ 1y)令：令：f (z+z) f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)= 1+i 2 故（故（1）式可写为）式可写为因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(x, y)，v(x, y)在点在点(x, y)处可微处可微. （由函数（

6、由函数u(x,y) ,v (x,y)在点在点(x,y)处可微及满足处可微及满足 c-r方程方程 f (z)在点在点z=x+iy处可导）处可导）u(x，y)，v(x，y)在在(x，y)点可微，即：点可微，即：yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00，其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixurc )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0zyizxixuizuzzfzzf )()()()(42

7、31 定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在d内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在d内可微，且内可微，且 满足满足cauchy-riemann方程方程yuxvyvxu a 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系联系. .当一个函数可导时当一个函数可导时, ,仅由其实部或虚部就可以仅由其实部或虚部就可以求出导数来求出导数来. .a 利用该定理可以判断那些函数是不可导的利用该定理可以判断那些函数是不可导的. .使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的

8、连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证c-r条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)( a 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的的, , 但是求复变函数的导数时要注意但是求复变函数的导数时要注意, , 并不是两个并不是两个实函数分别关于实函数分别关于x, ,y求导简单拼凑成的求导简单拼凑成的. .二二. 举例举例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解 (1) 设设z=x+iy w=x-iy u=x, v=

9、-y 则则析析。在在全全平平面面不不可可导导，不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 则则 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可导导，解解析析。故故)sin(cos)( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 仅在点仅在点z = 0处满足处满足c-r条件，故条件，故。处处可可导导，但但处处处处不不解解析析仅仅在在02 zzw解解 (3) 设设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=

10、0 则则 0022 yvxvyyuxxu例例2 求证函数求证函数.0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在 证明证明 由于在由于在z0处，处，u(x,y)及及v(x,y)都是可微函数，都是可微函数，且满足且满足c-r条件：条件：,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函数故函数w=f (z)在在z0处解析，其导数为处解析，其导数为22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw dzczfdzzf ,)(,0)( 若若例例3 复复常常数数）()(001)( 2121ci

11、cczfcvcuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 证明证明例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数，是一解析函数， 且且f (z)0，那么曲线族，那么曲线族u(x, y)=c1， v(x, y)=c2必互相正交，这里必互相正交，这里c1 、 c2常数常数.那么在曲线的交点处，那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=c1，v(x, y)=c2中任一条曲线的斜率分别为中任一条曲线的斜率分别为 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全为为与与yv

12、yu 解解利用利用c-r方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交，即：两族曲线互相正交.ii) uy，vy中有一为零时，不妨设中有一为零时，不妨设uy=0，则，则k1=， k2=0（由（由c-r方程）方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的一条是铅直的, 它们仍互相正交。它们仍互相正交。?)(,)()(2222在复平面内处处解析在复平面内处处解析取何值时取何值时问常数问常数若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 练习练习: a=2 , b=-1 , c

13、=-1 , d=2& 1. 指数函数指数函数& 2. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数& 3. 对数函数对数函数& 4. 乘幂与幂函数乘幂与幂函数& 5. 反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数2.3 初等函数初等函数 本节将实变函数的一些常用的初等函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。性质，并说明它的解析性。内内 容容 简简 介介一一. 指数函数指数函数它与实变指数函数有类似的性质它与实变指数函数有类似的性质：0exp)1( zz)0exp,(

14、 xez事实上事实上xezzfxz exp)(,)2(时时为为实实数数当当)0( y)2(12(的的例例见见 , 2, 1, 02)exparg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指数数函函数数定定义义复复变变数数对对定义定义.exp)(expexp)()3(zzzzf 且且在复平面上处处解析，在复平面上处处解析，右右边边左左边边设设事事实实上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221

15、121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加法定理加法定理.expzez代替代替为了方便，我们用以后为了方便，我们用以后:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf zkiktzftzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22为为任任意意整整数数事事实实上上kiktzfekikeeeeikzfzzikzikz a 这个性质是实变指数函数所没有的。这个性质是实变指数函数所没有的。zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又21

16、21zzzzeee 没没有有幂幂的的意意义义. .它它的的定定义义为为仅仅仅仅是是个个符符号号 ，)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:euler0)2( 公公式式 就就得得时时, ,的的实实部部特特别别当当到到a )im(zie求求例例1 ie 141求求例例21 ze解方程解方程例例3xeysin ie 12241, 2, 1, 02 kikz)2(2cos2sin:,sincossincos,0:ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 从从而而得得到到时时当当由由指指数数函函数数的的定定义义二二. 三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数

17、推广到复变数情形推广到复变数情形的正弦与余弦函数的正弦与余弦函数称为称为zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定义定义周周期期函函数数是是及及 2cossin)1 tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在复复平平面面上上处处处处解解析析zeeeeizizizizizcos)(21)(21)(sin q正弦与余弦函数的性质正弦与余弦函数的性质.cos,sin)3是是偶偶函函数数是是奇奇函函数数zzzzzieezizizcos)cos(;sin2)sin( 同理同理zi

18、zezizsincoseuler,)3()4 成成立立公公式式对对一一切切式式由由思考题思考题. 1cos, 1sin:,cos,sin zzzz有类似的结果有类似的结果是否与实变函数是否与实变函数作为复变函数作为复变函数三三角角公公式式的的加加法法定定理理可可推推知知一一些些及及指指数数函函数数由由正正弦弦和和余余弦弦函函数数定定义义)5 1cossinsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(22212121212121zzzzzzzzzzzzzziyxiyxiyxiyxiyxiyxsincoscossin)sin(sinsincoscos)cos( )4(2si

19、n2cos ishyieeiychyeeiyyyyy由正弦和余弦函数的定义得由正弦和余弦函数的定义得 xshyixchyiyxxshyixchyiyxcossin)sin(sincos)cos(zzzzzzzzzzsin1csccos1secsincoscotcossintan 其它三角函数的定义其它三角函数的定义(详见详见p51) chyiyshyieeiyyyycos2sin)4()7当当式式知知由由)(0sin,sin)6zkkzzz 的的根根为为即即方方程程的的零零点点zkkzz 2cos 的零点为的零点为.1sin, 1cos不不再再成成立立在在复复数数范范围围内内 zz)1(thz

20、cthzchzshzthz 22zzzzeechzeeshz 定义定义称为双曲正弦和双曲余弦函数称为双曲正弦和双曲余弦函数q双曲正弦和双曲余弦函数的性质双曲正弦和双曲余弦函数的性质为为周周期期的的函函数数都都是是以以、ichzshz 2)1奇奇函函数数偶偶函函数数 shzchz,)2.,一一定定是是多多值值函函数数反反函函数数且且是是周周期期函函数数，故故它它的的定定义义的的函函数数双双曲曲函函数数均均是是由由复复指指数数三三角角函函数数yishxychxiyxchychiyyishiysincos)(cossin)4 由由定定义义析析在在整整个个复复平平面面内内处处处处解解和和chzshzc

21、hzshzshzchz )()()3三三. 对数函数对数函数定义定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，指数函数的反函数称为对数函数。即，lnzwzfwzzew 记作记作称为对数函数称为对数函数的函数的函数把满足把满足,)()0()(2,lnzkkvrureerezivuwiivui 那么那么令令), 1, 0()2(ln kkirlnzw ), 2, 1, 0()2(arglnargln kkzizzizlnz 或或(1) 对数的定义对数的定义.2,)0(的的一一个个整整数数倍倍相相差差其其任任意意两两个个相相异异值值即即虚虚部部无无穷穷多多角角的的一一般般值值的的幅幅的的虚虚部部是是的的模

22、模的的实实自自然然对对数数；它它实实部部是是它它的的的的对对数数仍仍为为复复数数这这说说明明一一个个复复数数 zzzz 的的无无穷穷多多值值函函数数是是即即zlnzw ,)(,)2(lnargln,0主主值值支支的的主主值值称称为为的的一一单单值值函函数数为为时时当当记记作作lnzlnzzzizlnzk )(2lnzkkizlnz 故故iklniia )12()1(1ln)1ln(1 .(负数也有对数).(负数也有对数), ,lnzlnz1)1)复数都有意义复数都有意义对一切非零对一切非零不仅对正数有意义不仅对正数有意义 wzkikalnzazlnzaz 2lnlnln0 的的主主值值当当例例

23、如如ikalnziazlnzaaz )12(lnlnln)0( 的的主主值值当当特别特别a (2) 对数函数的性质对数函数的性质.,这与实函数不同这与实函数不同多值性多值性了对数函数的了对数函数的指数函数的周期性导致指数函数的周期性导致 2)2)21212121,)()1lnzlnzzzlnlnzlnzzzln .ln:)2处处处处连连续续在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴外外连连续续性性z,arglnln:zizz 主主值值;ln续续除除原原点点外外在在其其它它点点均均连连其其中中z.arg 连连续续在在原原点点与与负负实实轴轴上上都都不不而而z见见1-6例例1.ln,在在复复平平面面内内

24、处处处处连连续续除除原原点点及及负负实实轴轴外外z0)( eeezzeddzzdzd111)(ln zz1)(ln 即即.ln析析的的除除原原点点及及负负实实轴轴外外是是解解z .ln:)3平平面面内内解解析析在在除除去去原原点点与与负负实实轴轴的的解解析析性性zzlnzlnz1)( 且且负负实实轴轴外外均均是是解解析析的的，的的每每个个分分支支除除了了原原点点和和.,2ziez求求设设 例例4, 1, 0222ln kikiz 四四. 乘幂乘幂 与幂函数与幂函数 babzq 乘幂乘幂ab, 0, aba且且为为复复数数设设定义定义.blnabea 定定义义乘乘幂幂.,0,为为实实数数实实变变

25、数数情情形形ba a kialna2ln 多值多值一般为多值一般为多值)2(ln kiabblnabeea .,它它是是单单值值函函数数为为整整数数时时bababebkibkelnln)2sin2(cos kbiabkiabblnabeeeea2ln)2(ln 为为整整数数当当 b)0,( qqpqpb且且为为互互质质的的整整数数当当)2(argln)2arg(ln kaiaikaiabqpqpqpeeea )1,3 , 2 , 1 , 0( qk)2(argsin)2(argcosln kaqpikaqpeaqp q支支具具有有一一般般而而论论ba,.无穷多支无穷多支 (2)当当b=1/n(n正整数正整数)时时，乘幂乘