复变函数与积分变换经典PPT—复变函数43

1、x xy yz zs sn np p复变函数与积分变换复变函数与积分变换第四章第四章 级数级数1. 复数项级数复数项级数2. 幂级数幂级数3. 泰勒级数泰勒级数4. 洛朗级数洛朗级数5. 第四章小结与习题第四章小结与习题dz.r0z.k. 第第三三节节 泰勒级数泰勒级数问题的引入问题的引入1泰勒定理泰勒定理2小结与思考小结与思考5典型例题典型例题4将函数展开成泰勒级数将函数展开成泰勒级数3一、问题的引入一、问题的引入问题问题: : 任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？dkz.内任意点内任意点 ( ) ,f zd设设函函数数在在区区域域内内解解析析0 , dz为为

2、内内以以为为中中心心的的任任一一圆圆周周如图如图:r0z.krz 0 圆周圆周. 0rz , , dk它它与与它它的的内内部部全全包包含含于于记记为为由柯西积分公式由柯西积分公式 , 有有 kzfizf,d)(21)( 其中其中 k 取正方向取正方向. , ,kzk 因因为为积积分分变变量量取取在在圆圆周周上上 点点在在的的内内部部00 1.zzz 所所以以0001111zzzzz 则则 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 101001( )d ( )()2()nnnnkff zzziz 于于是是 knnnnzzzfi.d)()()(21

3、010 由高阶导数公式由高阶导数公式, 上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(nnnnnzrzznzfzf其中其中 knnnnnzzzfizr d)()()(21)(010 lim( )0,nnrz 若若可知在可知在k内内 000)()(!)()(nnnzznzfzfqrzzzzz 000 ( ) ,f zk即即在在内内可可以以用用幂幂级级数数来来表表示示令令( ) () , f zd kd 在在内内解解析析则在则在k上连续上连续, ( ) ,fk 因因此此在在上上也也连连续续, )(上有界上有界在在 kf ,01,qq 是是与与积积分分变变量量 无无关关的的量量 且且即存在

4、一个正常数即存在一个正常数m, ( ).kfm 在在上上szzzfzrknnnnnd)()()(21)(010 knnnszzzzfd)(21000 nnnrqrm221.1qmqn 0lim nnqk0)(lim zrnn在在内成立内成立,从而在从而在k内内 圆周圆周k的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要k内成立内成立.d在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式,)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数如果如果0z到到d的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因

5、为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dr 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径r至少等于，至少等于，d但但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf二、泰勒定理二、泰勒定理, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域d内解析内解析,0z为为d 内的一内的一d为为0z到到d的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当泰勒介绍泰勒介绍说明

6、说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多; (想一想想一想, 为什么为什么?); , , )( . 200zdzddzf 即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于则则内有奇点内有奇点在在如果如果;,0. 30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么为什么?) )( zf因为解析，可以保证无限次可各因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比所以复变函数展为泰勒

7、级数的实用范围就要比实变函数广阔的多实变函数广阔的多. .注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？ : )( 0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf ,)(10azf 即即, )(!10)(zfnann 因此因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数, 因而是唯一的因而是唯一的.三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法: 直接法和间接法直接法和

8、间接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数例如，例如，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. r所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( r,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzz

9、nn)( r. 0 cos sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在与与可得可得 zzz2. 间接展开法间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式，结合解析借助于一些已知函数的展开式，结合解析函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的泰勒展开式泰勒展开式.间接法的优点间接法的优点: : 不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直接展开更为简洁，使用范围也更为广泛接展开更为简洁，使用范围也更为广泛 .例如，例如， . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式

10、在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi附附: 常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)

11、2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z例例1 1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z四、典型例题四、典型例题, 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式上式两边逐项求导两边逐项求导, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z例例2 2. 0

12、)1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析分析. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 ro1 1xyzzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 c 逐项积分逐项积分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzc 例例3 3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()2

13、3(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即例例4 4 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解解,1darctan02 zzzz因为因为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn例例5 5.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21

14、cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432例例6 6.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解解,1)(zezfz 令令即微分方程即微分方程0)()()1( zzfzfz对微分方程逐次求导得对微分方程逐次求导得:, 1所以收敛半径为所以收敛半径为, 1 内内进进行行展展开开可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,1)(zzezfz , 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习，应理解泰勒展开定理，通过本课的学习，应理解泰勒展开定理，熟记五个基本函数的泰勒展开式，掌握将函数熟记五个基本函数的泰勒展开式，掌握将函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练的把一些展开成泰勒级数的方法，能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数解析函数展开成泰勒级数.奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题 奇函