第8章：数据包络分析

1、1第八章第八章 数据包络分析数据包络分析(DEA)(DEA) DEA(Data Envelopment Analysis)方法又称为数据包络分析方法，是对多指标投入和多指标产出的相同类型部门，进行相对有效性综合评价的一种新方法，也是研究多投入多产出生产函数的有力工具。 DEA方法是美国著名运筹学家查恩斯(A.Charnes)和库伯(W.W.Cooper)教授于19781978年首先提出的。 2第七章第七章 数据包络分析数据包络分析(DEA)(DEA) 在国外，DEA方法已经成功地应用于银行、城市、医院、学校及军事等方面效率的评价，在对相互之间存在激烈竞争的私营企业和公司的效率评价中，也显示出巨

2、大的优越性。例如，用DEA 方法对美国大银行效率评价的研究，取得了极大的成功。应用DEA方法评价部门的相对有效性的优势地位，是其它方法所不能取代的。 在国内，经济和管理领域的许多方面，DEA方法都得到了重要的应用。例如，纺织工业部门所属的棉纺企业中，利用工业普查资料对177个企业的综合经济效益进行评价，取得了满意的结果。DEA方法在冶金工业评价、城市供热系统规划、机床工业管理、科技情报机构功能与效益评价、企业技术进步分析等方面的研究，都取得一系列重要应用成果。3 8.1 DEA8.1 DEA模型模型 一、一、DEADEA模型概述模型概述 对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相对效率

3、进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。 投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发资金、职工人数、占用土地等。 产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、产品数量、劳动生产率、产值利润率等。 指标数据是指实际观测结果，根据投入指标数据和产出指标数据评价决策单元的相对效率，即评价部门、企业或时期之间的相对有效性。 DEA方法就是评价多指标投入和多指标产出决策单元相对有效性的多目标决策方法。 4 二、二、C C2

4、 2R R模型及其基本性质模型及其基本性质 1.C1.C2 2R R模型模型 设有n个部门(企业)，称为n个决策单元，每个决策单元都有p种投入和q种产出，分别用不同的经济指标表示。这样，由n个决策单元构成的多指标投入和多指标产出的评价系统，可以用下图表示： V决策单元12knv1x11x12x1kx1n投入v2x21x22x2kx2n vpxp1xp2xpkxpn 决策单元12kn Uy11y12y1ky1nu1y21y22y2ky2nu2产出yq1yq2yqkyqnuqxik表示第k个决策单元第i种 投入指标的投入量，xik0； （是已知数据） vi表示第i种投入指标的权系数， vi0 （是

5、变权数） yjk表示第k个决策单元第j种 产出指标的产出量，yjk0； （是已知数据） uj表示第k种产出指标的权系数， uj0 （是变权数） 5 设投入指标和产出指标的权系数向量分别为 V=(vV=(v1 1，v v2 2，v vp p) )T T ，U=(uU=(u1 1，u u2 2，u uq q) )T T 对每一个决策单元 k k ，定义一个效率评价指标 nkxvyuxvxvyuyuhpiikiqjjkjpkpkqkqkk, 2 , 1,111111 即：效率指标 h hk k 等于等于产出加权之和除以投入加权之和，表示第 k k 个决策单元多指标投入和 多指标产出所取得的经济效率。

6、 可以适当地选择权系数 U U、V V，使得 h hk k11。 现在，建立评价第k k0 0个决策单元相对有效性的C C2 2R R模型。 设第k k0 0个决策单元的投入向量和产出向量分别为：TqkkkTpkkkyyyYxxxX),(,),(000000210210 效率指标h0=hk0。在效率评价指标hk1(k=1,2,，n)的约束条件下，选择一组最优权系数 U和V，使得h0达到最大值，构造优化模型(分式规划) ： 60000000022112211110pkpkkqkqkkpiikiqjjkjxvxvxvyuyuyuxvyuhMax piqjvunkxvxvxvyuyuyuxvyuts

7、ijpkpkkqkqkkpiikiqjjkj, 2 , 1;, 2 , 1, 0,), 2 , 1(, 1.2211221111 此模型称为C2R模型，是最基本的DEA模型，用C2R模型评价第k0个决策单元的有效性， 是相对于其它决策单元而言的，故称为评价相对有效性的DEA 模型。 )(,),(,),(2121PyyyYxxxXTqkkkkTpkkkk则则有有矩矩阵阵形形式式记记 000XVYUhMaxTT 0,),2 , 1(, 1.VUnkXVYUtskTkT7 作Charnes-Cooper变换，转化为一个等价的线性规划模型。 UtVtXVtT,10令令00000)(:YYUtYUtXV

8、YUTTTTT 则则, 1)()( kTkTkTkTkTkTkTkTXYXVtYUtXVtYUtXVYU 00TTTTkkkkXYXY即， 或00001,()1,1TTTTtt VXt VXXVX1另外由于 ，即所以 转化为一个等价的线性规划模型： 0:)(YVMaxPTp 0,1), 2 , 1(, 0. .0 XnkYXtsTkTkT8 展开可写为：展开可写为： qqkkkPyyyVMax 0002211 0)()(. .11111111 qqppyyxxts 0)()(1111 qqnnppnnyyxx 10011 ppkkxx qjpiji,2, 1;,2, 1,0, ，对应的对偶变量

9、记为，对应的对偶变量记为 1 1，对应的对偶变量记为，对应的对偶变量记为 n n，对应的对偶变量记为，对应的对偶变量记为 其对偶规划为：其对偶规划为： DVMin0)(.011111 knnxxxts 为为自自由由变变量量 ;,2,1,0nkk 0)(011 pknpnpxxx011111knnyyy 011qknqnqyyy 9 引入松弛变量引入松弛变量 、TpsssS),(21 ,),(21TqsssS 将不等式约束化为等式约束，得将不等式约束化为等式约束，得 DVMinD :)(0n1.XSXtskkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk DVMinD :)(0n1.X

10、Xtskkk 为为自自由由变变量量 ;,2, 1,0nkk 01YYknkk DVMin011111.knnxxxts 为为自自由由变变量量 ;,2,1,0nkk 011pknpnpxxx 011111knnyyy 011qknqnqyyy 10 【例【例8-18-1】设有】设有4 4个决策单元，个决策单元，2 2个投入指标和个投入指标和1 1个产出指标的评价系统，其数据如下图。个产出指标的评价系统，其数据如下图。 写出评价第写出评价第1 1个决策单元相对效率的个决策单元相对效率的C C2 2R R模型。模型。 1234决策单元投入113342313211211产出 解：解： （P P）：）：

11、 Max V VP P = = 1 1 s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 - - 1 1 0 0 3 3 1 1 + + 2 2 - - 1 1 0 0 3 3 1 1 + 3+ 3 2 2 - 2- 2 1 1 0 0 4 4 1 1 + 2+ 2 2 2 - - 1 1 0 0 1 1 + 3+ 3 2 2 =1=1 1 1, , 2 2, , 1 1 0 0（D D）：）： Min V VD D = = s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+

12、3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 011 2.2.评价系统的评价系统的DEADEA有效性：决策单元有效性：决策单元 k k0 0 为为DEADEA有效的定义有效的定义 定义定义8.1 8.1 如果线性规划如果线性规划(P)(P)的最优解满足下列条件的最优解满足下列条件 V VP P = = 0T 0T Y Y0 0 = 1 = 1 则称决策单

13、元则称决策单元 k k0 0 为弱为弱DEADEA有效。有效。 定义定义8.2 8.2 如果线性规划如果线性规划(P)(P)的最优解满足条件的最优解满足条件 V VP P = = 0T 0T Y Y0 0 = 1 = 1 ，并且，并且 0 00, 0, 0 00 0 则决策单元则决策单元 k k0 0 为为DEADEA有效。有效。 定理定理8.18.1 线性规划线性规划(P)(P)及其对偶规划及其对偶规划(D)(D)都有可行解，因而都有最优解，并且最优值都有可行解，因而都有最优解，并且最优值 V VP P = V = VD D 1 1 定理定理8.2 8.2 关于对偶规划关于对偶规划(D)(D

14、)，有，有 如果如果(D)(D)的最优值的最优值V VD D=1=1，则决策单元，则决策单元k k0 0为弱为弱DEADEA有效；反之亦然；有效；反之亦然； 如果如果(D)(D)的最优值的最优值V VD D=1=1，并且每个最优解都满足条件，并且每个最优解都满足条件： s s0- 0- = 0, s= 0, s0+ 0+ = 0 = 0 ， 则决策单元则决策单元k k0 0为为DEADEA有效；反之亦然。有效；反之亦然。 定理定理8.38.3 决策单元的最优效率指标决策单元的最优效率指标VP与投入指标值与投入指标值Xik及产出指标值及产出指标值Ykj的量纲选取无关。的量纲选取无关。 0:)(Y

15、VMaxPTp 0,1), 2 , 1(, 0. .0 XnkYXtsTkTkT DVMinD :)(0n1.XSXtskkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 12 3.3.评价系统评价系统 DEA DEA 有效性的判定有效性的判定 在实际应用中，无论利用在实际应用中，无论利用(P)(P)还是还是(D)(D)，上述判断都并非易事。，上述判断都并非易事。 为了方便地使判定决策单元为了方便地使判定决策单元DEA DEA 有效，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念。有效，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念。 从而，可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元

16、的从而，可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元的DEADEA有效性。有效性。 设设 是非阿基米德无穷小量，在广义实数域内，是非阿基米德无穷小量，在广义实数域内， 表示一个小于任何正数且大于零的数，表示一个小于任何正数且大于零的数，考虑带有非阿基米德无穷小量考虑带有非阿基米德无穷小量 的的C C2 2R R模型：模型： 0:)(YVMaxPTP TTTTTkTkTeeXnkYXts 1), 2 , 1(, 0. .0)(:)( seseVMinDTTD 0n1.XSXtskkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 其中其中Te =(1,1, =(1,1, ,1),1

17、)是元素均为是元素均为l l的的 p p 维向量，维向量，e eT T=(1,1,=(1,1,1),1)是元素均为是元素均为l l的的 q q 维向量维向量。 定理定理7.4 7.4 设设 为非阿基米德无穷小量，线性规划（为非阿基米德无穷小量，线性规划（D ）的最优解为）的最优解为 0,s0-, s0+, 0，有，有 若若 0 =1=1，则决策单元，则决策单元k k0 0为弱为弱DEADEA有效；有效； 若若 0 =1=1，并且，并且s0-=0, s0+ =0，则决策单元，则决策单元k k0 0为为DEADEA有效。有效。 利用模型一次计算就能够判定决策单元是否利用模型一次计算就能够判定决策单

18、元是否DEA DEA 有效。有效。 在实际操作中，只要取在实际操作中，只要取 足够小，例如取足够小，例如取 = 10= 10-6-6。用单纯形法求解，通常可利用。用单纯形法求解，通常可利用 线性规划软件线性规划软件( ( 如如QSBQSB，LindoLindo等等 ) )，在计算机上实现。，在计算机上实现。 13 【例【例8-28-2】设有】设有4 4个决策单元，个决策单元，2 2个投入指标和个投入指标和1 1个产出指标的评价系统，其数据如下图。个产出指标的评价系统，其数据如下图。 判定各个决策单元是否判定各个决策单元是否 DEA DEA 有效。有效。 1234决策单元投入1133423132

19、11211产出 解：解： 决策单元决策单元1 1所对应的线性规划（所对应的线性规划（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4

20、4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1,0,0,0)=(1,0,0,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1因此，决策单元因此，决策单元1 1为为DEADEA有效。有效。 决策单元决策单元4 4所对应的线性规划（所对应的线性规划（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为（D D ）：）：Min V VD

21、D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = 4= 4 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 2= 2 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用单纯形

22、法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/51 1因此，决策单元因此，决策单元4 4不是不是DEADEA有效。有效。 同样地，经过判定，决策单元同样地，经过判定，决策单元2 2，3 3均为均为DEADEA有效。有效。 14 4. 4. DEADEA有效决策单元的构造有效决策单元的构造 评价系统并非所有的决策单元都是评价系统并非所有的决策单元都是DEA 有效，经过判定后，如何对一些非有效，经过判定后，

23、如何对一些非DEA有效的决有效的决 策单元进行分析，指出造成非有效的原因，并据此改进为具有策单元进行分析，指出造成非有效的原因，并据此改进为具有 DEA DEA 有效性的决策单元。有效性的决策单元。 为此，需要讨论决策单元在相对有效面上的为此，需要讨论决策单元在相对有效面上的 投影投影 。 0:)(YVMaxPTP TTTTTkTkTeeXnkYXts 1), 2 , 1(, 0. .0)(:)( seseVMinDTTD 0n1.XSXtskkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 定义定义8.3 DEA 8.3 DEA 的相对有效面的相对有效面( (有效生产前沿面有效生产

24、前沿面) ) ： 0T 0T X X0 0 0T0T Y Y0 0 = 0 = 0 如果决策单元如果决策单元k k0 0是是DEA有效，线性规划有效，线性规划(P)(P)有最优解有最优解 0 0、 0 0，并且满足条件，并且满足条件 V Vp p = = 0T 0T Y Y0 0 = 1 = 1， 0 00 0， 0 0 0 0 而而 0T 0T X X0 0 = 1= 1，故，故 0T 0T X X0 0 = = 0T0T Y Y0 0 。于是，点。于是，点(X(X0 0,Y,Y0 0) )在超平面在超平面 上。上。 并且超平面并且超平面 上的其它点上的其它点(X,Y)(X,Y)所表示的决策

25、单元也是所表示的决策单元也是 DEA 有效的，有效的， 因此，可以利用在相对有效面上因此，可以利用在相对有效面上 “ “投影投影”的方法，改进非的方法，改进非 DEA DEA 有效的决策单元。有效的决策单元。 定义定义8.4 8.4 设设 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 是线性规划问题（是线性规划问题（D D ）的最优解。令）的最优解。令 0000000,sYYsXX 称称 ),(00YX为决策单元为决策单元 k k0 0 对应的对应的 (X(X0 0,Y,Y0 0) ) 在在 DEA 相对有效面相对有效面 上的上的 投影投影 。 构成了一个新的决策单元，它是否构成了一个新的

26、决策单元，它是否DEA 有效，有下面的定理。有效，有下面的定理。 ),(00YX15 定理定理8.5 8.5 设设),(00YX是决策单元是决策单元 k k0 0 对应的对应的 (X(X0 0,Y,Y0 0) ) 在在 DEA 相对有效面相对有效面 上的上的 投影投影 ，则新决策单元则新决策单元 ),(00YX相对于原来的相对于原来的n n个决策单元来说，是个决策单元来说，是DEA 有效的。有效的。 新决策单元给出了一个改进非新决策单元给出了一个改进非DEA有效决策单元的方法，亦即构造新的有效决策单元的方法，亦即构造新的DEADEA有效决策单元有效决策单元的方法。的方法。 【例【例8-38-3

27、】设有】设有4 4个决策单元，个决策单元，2 2个投入指标和个投入指标和1 1个产出指标的评价系统，其数据如下图。个产出指标的评价系统，其数据如下图。 对非对非DEADEA有效的决策单元，求出它在有效的决策单元，求出它在DEADEA相对有效面上的相对有效面上的“投影投影”，并判定新决策单元的，并判定新决策单元的 DEA 有效性。有效性。 1234决策单元投入113342313211211产出 解：决策单元解：决策单元 1 1，2 2，3 3 均为均为DEA 有效，决策单元有效，决策单元4 4为非为非DEA 有效，决策单元有效，决策单元 4 4 对应的对应的 线性规划（线性规划（D D ）的最优

28、解为）的最优解为 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/5，令，令,)56,512()0 , 0()2 , 4(530000TTTsXX 101000 sYY 则新决策单元则新决策单元),(00YX是决策单元是决策单元 4 4 对应的对应的 (X(X0 0,Y,Y0 0) ) 在在 DEA 相对有效面相对有效面 上的上的 投影投影 ， 它它( (作为第作为第 5 5 个决策单元个决策单元 ) )与原来的与原来的 4 4 个决策单元构成新的评价

29、系统，如下图：个决策单元构成新的评价系统，如下图：1612345 决策单元投入1133412/5231326/511211 1 产出 对应的线性规划模型（对应的线性规划模型（D D ）为）为（D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.t. s.t. 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + +(12/5)(12/5) 5 5 + s+ s- -1 1 = = (12/5)(12/5) 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 +

30、2+ 2 4 4 + + (6/5)(6/5) 5 5 + s+ s- -2 2 = = (6/5)(6/5) 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 + + 5 5 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 , , 5 5 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,3/5,1/5,0,0)=(0,3/5,1/5,0,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0，

31、0 0=1=1因此，新决策单元因此，新决策单元5 5是是DEADEA有效的。有效的。 由此例看出，在评价系统中决策单元由此例看出，在评价系统中决策单元4 4非非DEA DEA 有效，用有效，用 “ “投影投影”方法构造了在方法构造了在DEADEA相对相对 有效面上的新决策单元有效面上的新决策单元5 5。 并且分析决策单元并且分析决策单元4 4非非DEA DEA 有效的原因是：投入指标量过大，经过改进，只需要原投入有效的原因是：投入指标量过大，经过改进，只需要原投入量的量的3/53/5，因为决策单元，因为决策单元4 4原投入量为原投入量为(4(4，2)2)T T，改进后应为，改进后应为(12/5

32、(12/5，6/5)6/5)T T，后者为前者的，后者为前者的3/53/5，产出量不变，相对效率提高，即可转化为产出量不变，相对效率提高，即可转化为DEA DEA 有效的决策单元。有效的决策单元。 17 8.2 DEA8.2 DEA有效性的经济意义有效性的经济意义 一、一、生产函数和生产可能集生产函数和生产可能集 1. 1. 生产函数生产函数 y=f(x)y=f(x) ：在单投入和单产出的情况下，生产函数：在单投入和单产出的情况下，生产函数( (一般是增函数一般是增函数) )表示理想的生产表示理想的生产 状态，即投入状态，即投入x x所能获得的最大产出所能获得的最大产出y y。因此，生产函数曲

33、线上的点。因此，生产函数曲线上的点(x,y)(x,y)所对应的决策单元，所对应的决策单元， 从生产函数的角度看，是处于从生产函数的角度看，是处于技术有效技术有效状态状态, ,生产函数图形如下图，生产函数图形如下图，A A、C C处于技术有效状态。处于技术有效状态。 点点A A将曲线分为两部分，在点将曲线分为两部分，在点A A之左，之左，yy0 0，yy0 0，曲线在生产函数的下凸区间，曲线在生产函数的下凸区间， 表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加，此时称为表示增加投入量可以使产出量的递增速度增加，此时称为规模收益规模收益递增，厂商有投资的积极性；递增，厂商有投资的积极性； 在点在点A A

34、之右，之右，yy0 0，yy0 0，曲线是上凸的，在此区间，增加投入量只能使产出量增加的速，曲线是上凸的，在此区间，增加投入量只能使产出量增加的速度减度减 小，此时称为规模收益递减，厂商己经没有增加投资的积极性。小，此时称为规模收益递减，厂商己经没有增加投资的积极性。 点点A A是生产函数曲线的拐点，点是生产函数曲线的拐点，点A A所对应的决策单元，既是技术有效，也是规模有效。所对应的决策单元，既是技术有效，也是规模有效。 这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不是最佳生产规模。这是因为该决策单元减少投入量或增加投入量，都不是最佳生产规模。 点点C C在生产函数曲线上，对应的决策单元技术

35、有效，但不是规模有效。在生产函数曲线上，对应的决策单元技术有效，但不是规模有效。 这是由于点这是由于点C C位于规模收益递减区间。位于规模收益递减区间。 点点B B不在生产函数曲线之上，并位于规模收益递减区域，点不在生产函数曲线之上，并位于规模收益递减区域，点B B所对应的决策单元既不是技术所对应的决策单元既不是技术 有效，也不是规模有效。有效，也不是规模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 18 2. 2. 生产可能集生产可能集 所有可能的生产活动构成的集合，记作所有可能的生产活动构成的集合，记作 T=(X,Y)|T=(X,Y)|产出产出Y Y可由投入可由投入X

36、 X生产出来生产出来 由于由于(X(Xk k,Y,Yk k) )是决策单元是决策单元k k的生产活动，于是有的生产活动，于是有(X(Xk k,Y,Yk k) ) T T，k=1,2,k=1,2,n,n 在在C C2 2R R模型中，生产可能集应该满足下面的四条公理模型中，生产可能集应该满足下面的四条公理： 公理公理8.1 (8.1 (凸性凸性) ) 对于任意对于任意(X(X1 1,Y,Y1 1) ) T T、(X(X2 2,Y,Y2 2) ) T T，以及任意，以及任意0,10,1，均有，均有 (X(X1 1,Y,Y1 1)+(1-)+(1- ) )(X(X2 2,Y,Y2 2)=()=( X

37、 X1 1+(1-+(1- ) )X X2 2 ， Y Y1 1+(1-+(1- ) )Y Y2 2 ) ) T T 即是说即是说, ,如果如果 X X1 1,X,X2 2 分别以分别以 ,1-,1- 加权和作为投入量，则加权和作为投入量，则 Y Y1 1,Y,Y2 2以同样的加权和作为产出量。以同样的加权和作为产出量。 公理公理8.2 (8.2 (锥性锥性) ) 对于任意对于任意(X,Y)(X,Y) T T，以及任意数，以及任意数 0，均有，均有 (X,Y)=(X,Y)=( X,X, Y)Y) T T 即是说，如果以即是说，如果以 X X 的的 倍作为投入量，则产出量是倍作为投入量，则产出量

38、是 Y Y 的同样倍数。的同样倍数。 公理公理8.3 (8.3 (无效性无效性) ) 对于任意对于任意(X,Y)(X,Y) T T， 若若 XXXX，则均有，则均有(X,Y)(X,Y) T T； 若若 YYYY，则均有，则均有(X,Y)(X,Y) T T。 即是说，在原生产活动中，单方面地增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。即是说，在原生产活动中，单方面地增加投入量或者减少产出量，生产活动总是可能的。 公理公理8.4 (8.4 (最小性最小性) ) 生产可能集生产可能集 T T 是满足公理是满足公理8.3的所有集合的交集。的所有集合的交集。 由由 n n 个决策单元

39、个决策单元(X(Xk k,Y,Yk k) )的生产活动所描述的生产可能集，满足公理的生产活动所描述的生产可能集，满足公理8.4是唯一确定的。是唯一确定的。 这个生产可能集可以表示为这个生产可能集可以表示为： , 2 , 1, 0,| ),(11nkYYXXYXTknkkknkkk 19 【例【例8-48-4】设有单投入单产出】设有单投入单产出3 3个决策单元的评价系统，其数据如下图：个决策单元的评价系统，其数据如下图：1231245213.51 则其生产可能集为则其生产可能集为 0,5 . 32,542| ),(321321321 YXYXT20 二、模型二、模型C C2 2

40、R R下下DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义 )(:)( seseVMinDTTD 0n1.XSXtskkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk :)(DVMinD0n1.XXtskkk nkk,2, 1,0 01YYknkk 由于由于(X(X0 0,Y,Y0 0) ) T T，即，即(X(X0 0,Y,Y0 0) )满足条件：满足条件： 0101,YYXXnkkknkkk 线性规划模型（线性规划模型（DD）表示在生产可能集内，当产出）表示在生产可能集内，当产出Y Y0 0保持不变的情况下，尽量将投入量保持不变的情况下，尽量将投入量X X0 0按同一比例减少。按同一

41、比例减少。 如果投入量如果投入量X X0 0不能按同一比例不能按同一比例减少，即模型（减少，即模型（DD）的最优值）的最优值V VD D = = 0 0 =1=1，决策单元，决策单元k k0 0同同时技术有效和规模有效；时技术有效和规模有效； 如果投入量如果投入量X X0 0能按同一比例能按同一比例 减少，模型（减少，模型（DD）最优值）最优值V VD D = = 0 0 1 1， 决策单元决策单元k k0 0不是技术有效或规模有效。不是技术有效或规模有效。 21 设模型（设模型（D D ）的最优解为）的最优解为 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 ，分三种情况进一步讨论，分三种

42、情况进一步讨论： 0 0 = 1 = 1，且，且 s s0- 0- = 0= 0、s s0+ 0+ = 0 = 0 ：决策单元：决策单元k k0 0为为DEA有效。有效。 其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元k k0 0的生产活动的生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0) )同时为技术有效和规模有效。同时为技术有效和规模有效。 所谓技术有效，是指对于生产活动所谓技术有效，是指对于生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0) )，从技术角度来看，资源获得了充分利用，从技术角度来看，资源获得了充分利用， 投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出效果，效率评价指标投入要素达到最佳组合，取得了最大的产出

43、效果，效率评价指标 h h0 0=V=Vp p=V=VD D= = 0 0 = 1 = 1 。 0 0 = 1 = 1，但至少有某个，但至少有某个 s si i0- 0- 0 0 或者至少有某个或者至少有某个 s sj j0+ 0+ 0 0：决策单元：决策单元k k0 0为弱为弱DEA有效。有效。 其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元 k k0 0 不是同时技术有效和规模收益有效。不是同时技术有效和规模收益有效。 若某个若某个s si i0- 0- 0 0，表示第，表示第 i i 种投入指标有种投入指标有 s si i0- 0- 没有充分利用；没有充分利用； 若某个若某个s sj j0

44、+ 0+ 0 0，表示第，表示第 j j 种产出指标与最大产出值尚有种产出指标与最大产出值尚有 s sj j0+ 0+ 的不足。的不足。 0 0 1 1：决策单元：决策单元k k0 0不是不是DEA有效。有效。 其经济意义是：决策单元其经济意义是：决策单元 k k0 0 的生产活动的生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0) )既不是技术效率最佳既不是技术效率最佳, ,也不是规模收益最佳。也不是规模收益最佳。 例如，例如， = 0.9 = 0.91 1，模型（，模型（D D ）的约束条件为）的约束条件为 ,9 . 0000n1XSXkkk 001YSYknkk 这表示：得到产出量这表示：得到产出量

45、Y Y0 0，至多只需投入量，至多只需投入量0.9X0.9X0 0，即生产活动，即生产活动(X(X0 0,Y,Y0 0) )的投入规模过大，的投入规模过大， 故不是同时为技术效率最佳和规模收益最佳。故不是同时为技术效率最佳和规模收益最佳。 22 【例【例8-58-5】设有单投入单产出】设有单投入单产出3 3个决策单元的评价系统个决策单元的评价系统( (数据如下数据如下) )，讨论各决策单元的，讨论各决策单元的DEADEA有效性。有效性。 1231245213.51 解：解： 决策单元决策单元 1 1 的线性规划模型（的线性规划模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D

46、D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 2= 2 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 2= 2 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1,0,0)=(1,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ =

47、0= 0， 0 0=1=1 因此，决策单元因此，决策单元 1 1 同时技术有效和规模有效。同时技术有效和规模有效。 生产活动生产活动(2(2，2)2)在图中对应点在图中对应点A A，表示同时取得最佳技术效率和最佳规模收益。，表示同时取得最佳技术效率和最佳规模收益。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 23 决策单元决策单元 2 2 的线性规划模型（的线性规划模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s

48、.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 4= 4 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1/2,0,0)=(1/2,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1/4=1/41 1 因此，决策单元因此，决策单元 2 2 不是不是DEA有效。有效。 生产活动生产活动(4(4，1)1

49、)在图中对应点在图中对应点B B，既非技术有效，也非规模有效。，既非技术有效，也非规模有效。 B(4,1)oyxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 24 决策单元决策单元 3 3 的线性规划模型（的线性规划模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 2 s.t. 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + 5+ 5 3 3 + s+ s- -1 1 = 5= 5 2 2 1 1 + + 2 2 + 3.5+ 3.5 3 3 s s

50、+ +1 1 = 3.5= 3.5 1 1, , 2 2 , , 3 3,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(7/4,0,0)=(7/4,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=7/10=7/101 1 因此，决策单元因此，决策单元 3 3 不是不是DEA有效。有效。 生产活动生产活动(5(5，3.5)3.5)在图中对应点在图中对应点C C，该点在生产函数曲线上，仅是技术有效而不是规模有效。，该点在生产函数曲线上，仅是技术有效而不是规模有效。 B(4,1)o

51、yxC(5,3.5)A(2,2)y=f(x) 25 三、生产活动规模收益的判定三、生产活动规模收益的判定 )(:)( seseVMinDTTD 01.XSXtskkkk 0,;,2, 1,0 SSnkk 01YSYknkk 定理定理8.6 8.6 设线性规划（设线性规划（D D ）的最优解为）的最优解为 0 0、s s0-0-、s s0+0+、 0 0 若若 ,11100 nkk 则决策单元则决策单元 k k0 0 规模收益不变；规模收益不变； 若若 ,11100 nkk 则决策单元则决策单元 k k0 0 规模收益递增；规模收益递增； 若若 ,11100 nkk 则决策单元则决策单元 k k

52、0 0 规模收益递减。规模收益递减。 26 【例【例8-68-6】设有单投入单产出】设有单投入单产出5 5个决策单元的评价系统个决策单元的评价系统( (数据如下图数据如下图) )。试讨论决策单元。试讨论决策单元1 1、2 2、5 5 的规模收益问题。的规模收益问题。 12345135426 解：解： 决策单元决策单元 1 1 的线性规划模型（的线性规划模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+

53、5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 3= 3 2 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s s+ +1 1 = 2= 2 1 1, , 2 2 , , 3 3, , 4 4 , , 5 5,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,1/2,0,0,0)=(0,1/2,0,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=5/6=5/61 1 因此

54、，决策单元因此，决策单元 1 1 非非DEA有效。有效。 24114.5 1 由于由于 ,1531100 nkk 所以决策单元所以决策单元 1 1 规模收益递增。规模收益递增。27 决策单元决策单元 2 2 的线性规划模型（的线性规划模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+ 5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 5= 5 2

55、 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s s+ +1 1 = 4= 4 1 1, , 2 2 , , 3 3, , 4 4 , , 5 5,s,s- -1 1, s, s+ +1 1 0 0 利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,1,0,0,0)=(0,1,0,0,0)T T，S S1 10- 0- = S= S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0 = 1= 1 因此，决策单元因此，决策单元 2 2 为为DEA有效。有效。 由于由于 ,11100 nkk 所以决策单元所以决策单元 2 2 规模收益不变。规模收益不变。 决策单元决策单元 5 5 的线性规划模型（的线性规划模型（D D ），取），取 = 10= 10-6-6，为，为 （D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s+ +1 1) ) s.t. 3 s.t. 3 1 1 + 5+ 5 2 2 + 4+ 4 3 3 + 2+ 2 4 4 + 6+ 6 5 5 + s+ s- -1 1 = 6= 6 2 2 1 1 + 4+ 4 2 2 + + 3 3 + + 4 4 +4.5+4.5 5 5 s s+ +1 1 = 4.5= 4.5 1 1,