高一数学各章知识点总结例题解析习题及答案

1、学习必备欢迎下载函数的有关概念1函数的概念：设 a 、b 是非空的数集，假如依据某个确定的对应关系 f ，使对于集合 a 中的任意一个数 x，在集合 b 中都有唯独确定的数 fx 和它对应，那么就称 f：a b 为从集合 a 到集合 b 的一个函数记作： y=fx ， x a 其中， x 叫做自变量， x 的取值范畴 a 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 fx| x a 叫做函数的值域经典例题透析类型一、函数概念1.以下各组函数是否表示同一个函数？1234思路点拨：对于根式、分式、肯定值式，要先化简再判定，在化简时要留意等价变形，否就等号不成立 .解： 1

2、，对应关系不同，因此是不同的函数；(2) 的定义域不同，因此是不同的函数；(3) 的定义域相同， 对应关系相同， 因此是相同的函数；(4) 定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零；2偶次方根的被开方数不小于零；3 对数式的真数必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于 1.5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 .那么， 它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 .6指数为零底不行以等于零，7实际问题中的函数的定义域仍要保

3、证明际问题有意义 .相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样两点学习必备欢迎下载必需同时具备 2.求以下函数的定义域用区间表示 .1；2；3.思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范畴.解： 1的定义域为x2-2 0，；2；3.总结升华：使解析式有意义的常见形式有分式分母不为零；偶次根式中，被开方数非负. 当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必需取使得各式有 意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.2值域: （先考虑其定义域）实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及

4、其对应法就以后，值域就完全确定了，但求值域仍是特殊要留意讲究方法，常用的方法有：观看法：通过对函数解析式的简洁变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点 " 和" 最低点 " ，观看求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分留意到自变量取值范畴的情形下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法： 将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范畴，常用于一些 " 分式" 函数等；此外，使用此方法要特殊留意自变量的取值范畴；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简

5、洁的函数，从而利用基本函数的取值范畴来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，仍有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法就的作用，仍要特殊留意定义域对值域的制约.4. 求值域 用区间表示 ：1y=x2-2x+4 ；.思路点拨：求函数的值域必需合理利用旧学问，把现有问题进行转化.解： 1y=x2-2x+4=x-12+3 3，值域为 3 ， + ；学习必备欢迎下载2；3；4，函数的值域为- ， 1 1，+ .3. 函数图象学问归纳1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx , x a 中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点px ，y 的集

6、合 c，叫做函数y=fx,x a 的图象 c 上每一点的坐标x ， y均满意函数关系y=fx ，反过来，以满意y=fx 的每一组有序实数对x、 y 为坐标的点 x ，y ，均在 c 上 .2 画 法描点法： 图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（ 2）无穷区间（ 3）区间的数轴表示5映射一般地，设a 、b 是两个非空的集合，假如按某一个确定的对应法就f，使对于集合a 中的任意一个元素 x，在集合b 中都有唯独确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： ab 为从集合a 到集合 b 的一个映射；记作“f（对应关系）：a （

7、原象）b（象）”对于映射f： a b 来说，就应满意：1集合 a 中的每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯独的；2集合 a 中不同的元素，在集合b 中对应的象可以是同一个；3不要求集合b 中的每一个元素在集合a 中都有原象；5. 以下对应关系中，哪些是从a 到 b 的映射，哪些不是.假如不是映射，如何修改可以使其成为映射 .(1) a=r ， b=r ，对应法就f ：取倒数；(2) a= 平面内的三角形 ， b= 平面内的圆 ，对应法就f：作三角形的外接圆；(3) a= 平面内的圆 ， b= 平面内的三角形 ，对应法就f：作圆的内接三角形学习必备欢迎下载思路点拨：依据定义分析是否满意“a

8、 中任意”和“ b 中唯独”解： 1不是映射，集合a 中的元素0 在集合 b 中没有元素与之对应，不满意“a 中任意”；如把 a 改为a=x|x 0 或者把对应法就改为“加1”等就可成为映射；2是映射，集合a 中的任意一个元素三角形 ，在集合b 中都有唯独的元素该三角形的外接圆 与角形有无顶点作正之对应，这是由于不共线的三点可以确定一个圆；3不是映射，集合a 中的任意一个元素圆，在集合b 中有无穷多个元素该圆的内接三数个 与之对应，不满意“b 中唯独”的限制；如将对应法就改为：以该圆上某定点为三角形便可成为映射总结升华： 将不是映射的对应改为映射可以从动身集a 、终止集 b 和对应法就f 三个

9、角度入手6.分段函数 1在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2各部分的自变量的取值情形3分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集9. 已知，求 f0 ，ff-1 的值 .思路点拨：分段函数求值，必需留意自变量在不同范畴内取值时的不同对应关系.解： f0=2 × 02+1=1ff-1=f2×-1+3=f1=2 × 12+1=3.举一反三：【变式 1】已知，作出 fx 的图象，求f1 ，f-1 ，f0 ，fff-1+1的值 .解：由分段函数特点，作出fx 图象如下：如图，可得：f1=2 ；f-1=-1 ； f0=；fff-1+1=ff-1+1

10、=ff0=f=+1.补充：复合函数假如 y=fuu m,u=gxx a, 就 y=fgx=fxx a称为 f、g 的复合函数；学习成果测评基础达标学习必备欢迎下载一、挑选题1判定以下各组中的两个函数是同一函数的为 ，；，；，；，；a 、，b 、cd 、2函数 y=的定义域是 a -1x 1b x -1 或 x 1c0 x 1d -1 ， 13函数的值域是 a -，+ b -， ， + crd -， ， + 4以下从集合a 到集合 b 的对应中： a=r ，b=0 ， + ，f:x y=x2 ； a=-2 ， 1 ，b=2 ，5 ，f:x y=x2+1 ； a=-3 ， 3 ，b=1 ，3 ，f

11、:x y=|x|其中，不是从集合a 到集合 b 的映射的个数是 a 1b 2c 3d 45已知映射f:a b，在 f 的作用下，以下说法中不正确选项 a a 中每个元素必有象，但b 中元素不肯定有原象b b 中元素可以有两个原象学习必备欢迎下载c a 中的任何元素有且只能有唯独的象d a 与 b 必需是非空的数集6点 x ， y在映射 f 下的象是 2x-y ， 2x+y ，求点 4， 6在 f 下的原象 a ，1b 1， 3c2 ，6d -1 ， -37已知集合p=x|0 x 4 ， q=y|0 y 2 ，以下各表达式中不表示从p 到 q 的映射的是 a y=b y=c y=xd y=x2

12、8以下图象能够成为某个函数图象的是 9函数的图象与直线的公共点数目是 a bc或d 或10已知集合，且，使中元素和中的元素对应，就的值分别为 a bcd11已知，如，就的值是 a b或c，或d12为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移学习必备欢迎下载是 a 沿轴向右平移个单位b 沿轴向右平移个单位c沿轴向左平移个单位d 沿轴向左平移个单位1设函数就实数的取值范畴是 2函数的定义域 3函数 fx=3x-5在区间上的值域是 4如二次函数的图象与x 轴交于，且函数的最大值为，就这个二次函数的表达式是 5函数的定义域是 6函数的最小值是 三、解答题1求函数的定义域2求函数的值域3依据以

13、下条件，求函数的解析式：1 已知 fx 是一次函数，且ffx=4x-1 ，求 fx ；2 已知 fx 是二次函数，且f2=-3 ， f-2=-7,f0=-3 ，求 fx ；3 已知 fx-3=x2+2x+1 ，求 fx+3 ；(4) 已知；(5) 已知 fx 的定义域为r，且 2fx+f-x=3x+1，求 fx.答案与解析：基础达标学习必备欢迎下载一、挑选题1 c 1 定义域不同； 2 定义域不同；3对应法就不同；4定义域相同，且对应法就相同；5定义域不同2 d由题意1-x2 0 且 x2-1 0， -1x 1 且 x -1 或 x 1， x= ± 1，选 d3 b法一：由y=， x

14、= y， 应选 b 法二：4 c提示：不是，均不满意“a 中任意”的限制条件5 d提示：映射可以是任何两个非空集合间的对应，而函数是要求非空数集之间6 a 设 4， 6在 f 下的原象是 x ，y ，就，解之得x=， y=1 ，应选 a7 c 0 x 4， 0x =2，应选 c8 c9 c有可能是没有交点的，假如有交点，那么对于仅有一个函数值10 d依据对应法就，而，11 d该分段函数的三段各自的值域为，而12 d平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”，即，左移二、填空题1.当，这是冲突的；当.学习必备欢迎下载2. 提示：.3.4.设，对称轴，当时，.5.6.三、解答题1解：，定义域为2

15、解：，值域为3解： 1.提示：利用待定系数法；2.提示：利用待定系数法；3fx+3=x2+14x+49.提示：利用换元法求解，设x-3=t ，就 x=t+3 ，于是 fx-3=x2+2x+1变为 ft=t+32+2t+3+1=t+42，故 fx+3=x+3+42；4fx=x2+2. 提示：整体代换，设；5.提示：利用方程，用-x 替换 2fx+f-x=3x+1中全部的x 得到一个新的式子2f-x+fx=-3x+1，于是有，联立得学习必备欢迎下载二函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （ 1） a.增函数设函数 y=fx 的定义域为i，假如对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x1，x

16、2，当 x1<x2时，都有fx1<fx2 ，那么就说fx 在区间 d 上是增函数 .区间 d 称为 y=fx 的单调增区间 .b.减函数假如对于区间d 上的任意两个自变量的值x1 ，x2，当 x1<x2时，都有fx1 fx2 ，那么就说fx在这个区间上是减函数.区间 d 称为 y=fx 的单调减区间 .留意：函数的单调性是函数的局部性质；（ 2） 图象的特点假如函数y=fx 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=fx 在这一区间上具有严格的 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3. 函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法：

17、 1任取 x1 ，x2 d，且 x1<x2； 2作差 fx1 fx2 ； 3变形（通常是因式分解和配方）； 4定号（即判定差fx1 fx2 的正负）； 5下结论（指出函数fx 在给定的区间d 上的单调性）(b) 图象法 从图象上看升降(c) 复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ， y=fu 的单调性亲密相关，其规律：“同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.1.证明函数上的单调性 .证明：在 0， + 上任取 x1、x2x1 x2 ， 令 x=x2-x1 0就 x1 0，x2 0，上式 0， y=fx2-

18、fx1 0上递减 .总结升华：1 证明函数单调性要求使用定义；2 如何比较两个量的大小？作差 3 如何判定一个式子的符号？对差适当变形 学习必备欢迎下载举一反三：【变式 1】用定义证明函数上是减函数 .思路点拨：此题考查对单调性定义的懂得，在现阶段，定义是证明单调性的唯独途径.证明：设x1， x2 是区间上的任意实数，且x1x2，就 0 x1 x2 1 x1-x2 0， 0 x1x2 1 0 x1x2 1故，即 fx1-fx2 0 x1 x2 时有 fx1 fx2上是减函数 .总结升华： 可以用同样的方法证明此函数在上是增函数； 在今后的学习中常常会遇到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大

19、致给出函数的图象.2. 判定以下函数的单调区间；1y=x2-3|x|+2 ； 2解： 1由图象对称性，画出草图学习必备欢迎下载 fx 在上递减，在上递减，在上递增 .2图象为 fx 在上递增 .3. 已知函数fx 在0， + 上是减函数，比较fa2-a+1 与的大小 .解：又 fx 在 0， + 上是减函数，就.2函数的奇偶性（整体性质）（ 1）偶函数一般地，对于函数fx 的定义域内的任意一个x ，都有 f x=fx ，那么 fx 就叫做偶函数（ 2）奇函数一般地，对于函数fx 的定义域内的任意一个x ，都有 f x= fx ，那么 fx 就叫做奇函数（ 3）具有奇偶性的函数的图象的特点偶函数

20、的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：学习必备欢迎下载 1 第一确定函数的定义域，并判定其是否关于原点对称； 2 确定 f x 与 fx 的关系； 3 作出相应结论：如f x = fx或 f x fx = 0 ，就 fx 是偶函数；如f x = fx或 f x fx = 0 ，就 fx 是奇函数留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称，如不对称就函数是非奇非偶函数.如对称， 1 再依据定义判定; 2 由 f-x ± fx=0或 fx f-x= ± 1 来判定 ; 3 或借助函数的图象判定.

21、1.判定以下函数的奇偶性：123fx=x2-4|x|+34fx=|x+3|-|x-3|567思路点拨：依据函数的奇偶性的定义进行判定.解： 1 fx 的定义域为，不关于原点对称，因此fx 为非奇非偶函数； 2 x-1 0， fx 定义域不关于原点对称，fx 为非奇非偶函数；3对任意 x r，都有 -x r，且 f-x=x2-4|x|+3=fx，就 fx=x2-4|x|+3为偶函数；4 x r， f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx， fx 为奇函数；5， fx 为奇函数；6 x r， fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx， fx

22、为奇函数；7， fx 为奇函数 .2. 设定义在 -3 ，3 上的偶函数fx 在 0 ，3 上是单调递增，当fa-1 fa 时，求 a 的取值范畴 .解： fa-1 fa f|a-1| f|a|而|a-1|， |a|0 ， 3学习必备欢迎下载.3、函数的解析表达式（ 1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法就，二是要求出函数的定义域.（ 2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法待定系数法换元法消参法1. 求函数的解析式1 如 f2x-1=x2 ，求 fx ；2 如 fx+1=2x2+1 ，求 fx.思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：

23、1 f2x-1=x2 ，令 t=2x-1 ，就；2fx+1=2x2+1 ，由对应法就特点可得：fx=2x-12+1即： fx=2x2-4x+3.举一反三：【变式 1】1 已知 fx+1=x2+4x+2 ，求 fx ；2已知：，求 ff-1.解： 1法 1fx+1=x2+4x+2=x+12+2x+1-1 fx=x2+2x-1 ； 法 2令 x+1=t ， x=t-1 ， ft=t-12+4t-1+2=t2+2t-1 fx=x2+2x-1 ； 法 3设 fx=ax2+bx+c就fx+1=ax+12+bx+1+c ax+12+bx+1+c=x2+4x+2；2 -1 0， f-1=2 · -

24、1+6=4ff-1=f4=16.学习必备欢迎下载4函数最大（小）值 1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2利用图象求函数的最大（小）值 3利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数y=fx 在区间 a ，b 上单调递增，在区间 b ， c 上单调递减就函数y=fx 在 x=b 处有最大值fb ；假如函数y=fx 在区间 a ， b 上单调递减，在区间 b ， c 上单调递增就函数y=fx 在 x=b 处有最小值fb ；其次章基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，假如x na ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n >1，且 n

25、n *负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00 ；当 n 是奇数时，n a na ，当 n 是偶数时，n a n| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：mmma nn a m a0, m, nn * ,n1 ， an1a n1an a m0, m, nn * , n10 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质123（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数ya x a0,且a1 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为r留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和12、 a.指数函数概念一般地，

26、函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.学习必备欢迎下载b.指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域r定义域r值域 y 0在 r 上单调递增值域 y 0在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0， 1）函数图象都过定点（0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：（ 1）在 a， b 上，f xa x a0且a1 值域是f a, fb或 fb, f a ；（ 2）如 x0 ，就f x1 ； f x取遍全部正数当且仅当x r ；（ 3）对于指数函数f xa x a0且

27、a1 ，总有f 1a ；二、对数函数（一）对数1.对数的定义1 如，就叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数 .(2) 负数和零没有对数.(3) 对数式与指数式的互化：.2.几个重要的对数恒等式，.3.常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即其中.学习必备欢迎下载4.对数的运算性质假如，那么加法：减法：数乘：换底公式：指数式与对数式的互化幂值真数aa b nlogn b底数指数对数（二）对数函数1、对数函数的概念：函数y log axa0 ，且 a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+） 留意： 1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意辨别；如：

28、不是对数函数，而只能称其为对数型函数y2 log 2x ， yxlog 5都5 2对数函数对底数的限制：a0 ，且 a1 2、对数函数的性质： 函数对数函数名称学习必备欢迎下载定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情形变 化 对 图象的影响在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐步增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐步减小 .3、反函数1.反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子.假如对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯独确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作

29、，习惯上改写成.2.反函数的性质(1) 原函数与反函数的图象关于直线对称 .学习必备欢迎下载(2) 函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.(3) 如在原函数的图象上，就在反函数的图象上 .(4) 一般地，函数要有反函数就它必需为单调函数.3.反函数的求法(1) 确定反函数的定义域，即原函数的值域；(2) 从原函数式中反解出；(3) 将改写成，并注明反函数的定义域.四、指数函数与对数函数的关系指数函数与对数函数互为反函数 . 1 y=ax y=bx y=cx y=dx就： 0<b<a<1<d<c又即： x 0， + 时， bx<ax<dx<

30、;cx 底大幂大 x -， 0时， bx>ax>dx>cx2 y=logax y=logbxy=logcx y=logdx就有： 0<b<a<1<d<c又即： x 1， + 时， logax<logbx<0<logcx<logdx底大对数小 x 0， 1时， logax>logbx>0>logcx>logdx1已知函数(1) 求函数的单调增区间；学习必备欢迎下载(2) 求其单调增区间内的反函数解：复合函数y=fgx 的单调性与y=ft ， t=gx 的单调性的关系：同增异减1函数的定义域x|x<

31、;0 或 x>2 ，又 t=x2-2x=x-12-1 x-， 0，t 是 x 的减函数而是减函数，函数 fx 在-， 0为增函数 2函数 fx 的增区间为 -， 0，令，就， x<0 ，五、幂函数1、幂函数定义：一般地，形如yxar 的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（ 1）全部的幂函数在（0， +）都有定义并且图象都过点（1， 1）；（ 2）0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0, 上是增函数特殊地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（ 3）0 时，幂函数的图象在区间0, 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在 y 轴右方无限地

32、靠近y 轴正半轴， 当 x 趋于时，图象在 x 轴上方无限地靠近x 轴正半轴2.幂函数的性质(1) 图象分布： 幂函数图象分布在第一、二、三象限， 第四象限无图象 .幂函数是偶函数时， 图象分布在第一、 二象限 图象关于轴对称 ；是奇函数时， 图象分布在第一、 三象限 图象关于原点对称； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.(2) 过定点：全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点.3 单调性：假如，就幂函数的图象过原点，并且在上为增函数 .假如，就幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴.学习必备欢迎下载4奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当其中 互质，和，如为奇数为奇数时，就是奇函数，如为奇数为偶数时，就是偶函数，如为偶数为奇数时，就是非奇非偶函数.5 图象特点： 幂函数，当时，如，其图象在直线下方，如，其图象在直线上方， 当时，如，其图象在直线上方， 如，其图象在直线下方 .基础达标测试题一、挑选题1以下函数与有相同图象的一个函数是a b cd 2以下函数中是奇函数的有几个a 1b 2c 3d