高一数学典型例题分析：指数函数

1、指数函数·例题解析【例 1】求以下函数的定义域与值域：11y 3 2 x2y 2 x 213y 33 x 1解1定义域为x r 且 x 2值域 y 0 且 y 12由 2 x+2 1 0，得定义域 x|x 2，值域为y 03由 3 3x-1 0，得定义域是x|x 2， 03 3x 13，值域是0 y3【例 2】指数函数y ax，y bx，y cx，y dx 的图像如图26 2 所示，就 a、b、c、d、1 之间的大小关系是a a b1 c d b a b 1 d c c b a 1 dc d c d 1 ab解选c，在 x 轴上任取一点x， 0，就得 b a1 d c【例 3】比较大

2、小：12、 3 42、 54、 88、 9316的大小关系是：120.652234.54.1 3.73.6解1122 2 ， 31223 ， 5242 5 ，8382 8 ， 94162 9 ，函数y 2x ， 21，该函数在，上是增函数，又 1 3 2 4 1 ， 32 8854 916238592- 1 -431解2 0.65 1，1 2 ，2431 0.65 2 2解3借助数 4.53.6 打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1 4.53.6，作函数 y1 4.5x，y 2 3.7x 的图像如图2 6 3，取 x 3.6，得 4.53.6 3.73.6 4.54.1 3.73.6说明如

3、何比较两个幂的大小：如不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的 1如是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧， 其一借助1 作桥梁， 如例 2 中的 2其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1 同底与 3.73.6 同指数的特点， 即为 4.53.6或 3.74.1，如例 2 中的 3【例4】比较大小 n1 an 与nan 1 a 0且a 1，n1 n 1 an解1a nn 1n an 11当0a1， n1， 0，n n11 a n n 1 1， n 1 an n a n 11当a 1时， n 1， 0，n n11 a n n1 1， n1

4、a n na n 1x【例 5】作出以下函数的图像：(1) y 1 x 122y 2 2 ，3y 2|x-1|4y |1 - 2 -3x|解1y 1 x21 的图像 如图 2 6 4 ，过点0，1 及 1， 1 2是把函数1y 2x 的图像向左平移1个单位得到的解2y2x 2 的图像 如图 265是把函数 y 2x 的图像向下平移2 个单位得到的解3利用翻折变换，先作y 2|x| 的图像，再把y 2|x| 的图像向右平移1 个单位，就得y 2|x-1| 的图像 如图 2 66解4作函数 y 3x 的图像关于x 轴的对称图像得y 3x 的图像， 再把 y3x 的图像向上平移1 个单位， 保留其在

5、x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到如图 2 6 7【例6】求函数3y 4x2 5x 6 的单调区间及值域解令u x 2 5x 6 ，就 y 3 u 是关于4u的减函数，而u x2 5x 6在x 5， 2 上是减函数，在5x 2 ， 上是增函数函数y 3 x2 5x 6 的单调增区间是， 5 ，单调减区间是5 ， 422又 u x2 5x 6 x5 21 1 ，244函数 y 3 u ，在 u 41， 上是减函数， 4324108所以函数y x4 5x 6 的值域是0， 3- 3 -【例7】求函数 y 1 x4 1 x 1x 0 的单调区间

6、及它的最大值 21x 2解y21x121x1 22231，令u 42x ， x 0， 0u1，又 u 1 2x 是x 0， 上的减函数，函数y u1 223在u 0，41上为减函数，在21， 1 上是增函数但由 21x10 221得x1，由1 x 1，得 0 x 1，函数 y 1 x1x 1单调增区间是21，2 ，单调减区间420 ， 1当 x0 时，函数 y 有最大值为1x【例8】 已知 fx aa x1 a111判定 fx的奇偶性；2求 fx 的值域；3证明 fx在区间 ， 上是增函数 解1定义域是 ra x1f x xa1a x1a x1 fx ，函数 fx 为奇函数a x11yy12函数y，y1，有a x 01y1，a x1y11y即 fx 的值域为 1，13设任意取两个值x1、 x2 ， 且 x1 x2fx1fx 2ax l 1ax 2 12