函数的连续性1

1、第四章第四章 函数的连续性函数的连续性1 连续性概念可见 , 函数)(xf在点0 x一、一、 连续函数的定义连续函数的定义定义定义1:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;且有定义 ,存在 ;0,x 在在处处不不连连续续 这这是是因因为为).0(0)(lim0fxfx 如：函数如：函数,0( )(0),0 xxf xaax 由极限的定义由极限的定义, ,定义定义1可以叙述为可以

2、叙述为: :对于任意正数对于任意正数e e , ,)2(.)()(0e e xfxf00(2),0 xxxx 注注意意到到式式在在时时恒恒成成立立 因因此此存在存在 0, 0, 00|,xx 当当时时 有有这样就得到函数这样就得到函数 f (x) 在点在点x0可改写为可改写为0 xx ，.ee 连续的定义连续的定义,)()(0e e xfxf0( ).f xx则则称称在在点点连连续续连续性的另外一种表达形式连续性的另外一种表达形式. .定义定义20( ).f xx设设在在点点的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义如果如果0,x为为了了更更好好地地刻刻划划函函数数在在点点的的连连续续性性 下下面面

3、引引出出,0 xxx 设设).()()()(0000 xfxxfxfxfyyy 对对任意的存在任意的存在 当时当时0,e e 0, 0,xx 0:x则则函函数数在在点点连连续续的的充充要要条条件件是是)3(. 0lim0 yx应的函数应的函数( (在在 y0 处处) )的增量的增量0(),xxy这这里里我我们们称称是是自自变变量量 在在处处 的的增增量量为为相相定义定义300( )()f xxux 设设函函数数在在点点的的某某个个右右邻邻域域),()(lim()()(lim0000 xfxfxfxfxxxx 0( )().f xx则则称称在在点点右右 左左 连连续续很明显很明显, 由左、右极限

4、与极限的关系以及连续函数由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续既是左连续，又是右连续. .点点x定理定理10( )f xx函函数数在在点点连连续续的的充充要要条条件件是是：f 在在)(0 xu 左邻域左邻域有定义，若有定义，若的定义可得：的定义可得：例例 2 讨论函数讨论函数,0( ),0 xxf xxax 0.x 在在处处的的连连续续性性解解 因为因为0.fx 所所以以在在处处左左连连续续又因为又因为,)(lim)(lim00aaxxfxx),0(0lim)(lim00fxxfxx 0,0afx当当时时在在处处连连续续；综上所述综上所述, ,0,0afx当当时时在在处处

5、不不是是右右连连续续的的；所以所以, ,0a 当当时时，0.fx 在在处处是是右右连连续续的的0.x 在在处处不不连连续续0a 当当时时，作业：讨论函数作业：讨论函数的连续性在点00, 20, 2)(xxxxxxf解解 因为因为不连续从而在右连续，但不左连续，在点所以而00, 2)0(2)2(lim)(lim2)2(lim)(lim0000 xxffxxfxxfxxxx若)(xf在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数连续函数 .在在二、二、 函数的间断点函数的间断点(1) 函数)(xf0 x(2) 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3)

6、 函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx 不连续 :0 x设0 x在点)(xf的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点虽有定义 , 但虽有定义 , 且称为间断点间断点 . 在无定义 ;第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 ,若若f f在在x x0 0无定义，或者有定义但极限不等无定义，或者有定义但极限不等于于f(xf(x0 0), ), 称称x x0 0为可去间断点为可去间断点, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,为跳跃间

7、断点 .根据上面的分析根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：我们对间断点进行如下分类：, )()(00 xfxf证证 因为因为.一个可去间断点一个可去间断点例例3 3 处不连续，处不连续，在在0 x 0001)(xxxf试证函数试证函数0( )xf x 是是的的所以所以并且并且 是是 的一个可去间断点的一个可去间断点. .0 x ( )f x0lim( )1(0),xf xf第四章第四章 函数的连续性函数的连续性2 连续函数的性质 局部有界性 若f (x)在x0连续，则 0, 使f (x)在u(x0, )有界. 局部保号性 若f (x)在x0连续，且 f (x0) 0，则 0, xu(x

8、0, ) r0,有 f (x)r. 局部不等式性 若 f (x), g(x)在x0连续, 且 f (x0) 0, x u(x0, )有 f (x) g(x).1、连续函数的性质2、连续函数运算)()(lim()(lim000 xfgxfgxfgxxxx1 四则运算 若 f , g在x0连续, 则 f g , f g , f /g (g(x0) 0)在x0均连续.2 复合运算 若函数f在点x0连续, g在点u0 连续， u0 = f(x0), 则复合函数 g(f(x)在点x0连续.根据连续性的定义：0sin0)x-(1limsin()x-(1sinlimx-1f(x)sinug(u)x-sin(

9、1 )x-(1sinlim21x212221xx则的复合，与可以看成函数解：求例1：定理定理1 (最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 闭区间上闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值的连续函数一定存在最大值和最小值.bxyo)(xfy ax1x2 至少存在一个至少存在一个最高点最高点(x1, f(x1)和和最低点最低点(x2, f(x2),使得使得 x a,b,有有f(x1)f(x) f(x2)f(x).3. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质1. 若区间不是闭区间若区间不是闭区间,定理不一定成立定理不一定成立2. 若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立注

10、意注意:“闭区间闭区间” 和和“连续连续”不可缺少不可缺少.例如例如,)1,0(,xxy无最大值和最小值 21,31,110,1)(xxxxxxf也无最大值和最小值 又如又如, 推论推论(有界性定理有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.介值定理介值定理定理2(介值定理) 若函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)f(b), 为介于f(a)与f(b)之间的任意一个数,即f(a)f(b),则至少存在一个内点(a,b),使得f()= .a xyo)(xfy b 1 2 3连续曲线连续曲线y=f(x)与水平直线与水平直线y= 至少有一个交点至少

11、有一个交点.推论推论 (根的存在定理根的存在定理) 若函数若函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,且且f(a)与与f(b)异号（异号（ f (a)f (b) 0, 0, 0, x, xe且| x x| :|( )()|f xf xe则称 f 在e上一致连续一致连续，记为f u.c(e).定理（一致连续性定理）若函数定理（一致连续性定理）若函数f在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，则则f在在a,b上一致连续上一致连续一切基本初等函数都是定义域上的连续函一切基本初等函数都是定义域上的连续函数数任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数例：xxx)1ln(lim0求1ln)1 (limln)1ln(lim)1ln(lim1010