数学分析数项级数93

1、200901079.3 9.3 正项级数正项级数的其他判别法的其他判别法一、一、cauchy判别法判别法. 1, 10, 0 qannqannn时有时有使使若若设设 收收敛敛；则则na证明：证明：, 1 qannnn时时若当若当.收敛收敛 na.发散发散 na., 1,发发散散则则有有若若对对无无穷穷多多个个 nnnaan.nnqa 则则,0, 1 nnnaa若若有有无无穷穷多多项项(根式判别法根式判别法) 极限形式极限形式,suplim, 0qaannnn 且且设设 发散发散收敛收敛则则nnaqaq, 1, 1证明：证明：, 1suplim qannn设设. 1, qannnnn时时当当存在

2、存在.收敛收敛 na, 1qaqnn 有子列有子列则则设设. 1, nnan 使使无限多个无限多个.发散发散 na, 1, 0 q使使取取推论：推论： 发散发散收敛收敛则则若若, 1, 1,limqqqannn注注: : .1 ,1: ;,12nnq例如例如判别法失效判别法失效时时, 11 nnnnaqa不能放宽为不能放宽为. , 1 ,1 :发散发散例如例如 nnan例例1.1. 3322312131213121,31 ,21212nnnnaa 2121lim21limlim12121212 nnnnnnnnna3131limlim222 nnnnnna, 121suplim nnna. 收

3、敛收敛na例例2.2. 12)11(21nnnn解：解：, 12)11(21limlim enannnnn发散发散. .例例3.3. 12nnpn,212)(limlim pnnnnnna收敛收敛. .例例4.4. 11npn1)(1limlim pnnnnnna失效！失效！ 说明柯西判别法还比较粗糙说明柯西判别法还比较粗糙, ,主要原因是与主要原因是与( (几何几何) )等比级数比较等比级数比较. .例例5.5. 偶偶奇奇其中其中 ,1 ,1 ,21nnaannn.cauchy , 1lim判别法失效判别法失效 nnna但是但是 nnsn214121)12(1513112222 n13121

4、121发散发散二、二、判判别别法法）alembertd(比式判别法比式判别法引理：引理：, 0, 0110nnnnnnbbaannba 时有时有若若设设 .发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛则则nnnnbaab证明：证明：111212110,00000000 nnnnnnnnnnnnbbaabbaabbaann时，时，相乘：相乘：, 0000nnnnnnnnbbaabbaa 或或得得.,证毕证毕由比较原理由比较原理 ., 1. , 1,110发散发散收敛收敛时时若若nnnnnnaaaaqaann证明：证明：.1,11时收敛时收敛知知取取 qbbqaaqbnnnnnn判别法判别法alembertd

5、., 2 , 1, 0 nan设设., 0 , , 111发散发散若若 nnnnnaaaaa极限形式：极限形式：. , 1suplim1收敛收敛则则若若 nnnnaqaa., 2 , 1, 0 nan设设. , 1inflim1发散发散则则若若 nnnnaqaa证明：证明：1, 1sup1lim qqaannn，取取110 qaannnn时，时，.收敛收敛 na1, 1inf1lim qqaannn，取取110 qaannnn时，时，.发散发散 na 推论推论：. , 1 , 1 ,lim1 发散发散收敛收敛若若qqqaannn注：注：.1 ,1 ,12 nnq时失效时失效1sup1inf11

6、limlim qaaqaannnnnn不能改为不能改为如前例如前例1 1, 032limlim122 nnnnnaa.2321limlim12212 nnnnnaa.,suplim1 收敛收敛但但nnnnaaa5.5.更适用于带有阶乘的级数更适用于带有阶乘的级数例例6.6.! ), 0(1的敛散性的敛散性讨论讨论设设 nnxnx xnxnxnaannnnnnn)1(!)!1(limlimlim11发散发散例例7.7.exnxxnnxnnaannnnnnnnnn )11(!)1()!1(limlimlim111. ,0发散发散收敛收敛exex .! ), 0(1的敛散性的敛散性讨论讨论设设 nn

7、nxnnx三、三、raabe判别法（与判别法（与p p级数相比）级数相比） 思考：思考：，取取)1(1 pnbpn. ,111收敛收敛则则若若 npnnnnannbbaa变形变形111)11()1(1 pnnaanpnn启发我们：启发我们：收敛？收敛？是否能保证是否能保证 nnnaraan1)1(1（了解）（了解）raabe判别法判别法. , 1)1( ,10收敛收敛则则时时若若 nnnaraannn. , 1)1( ,10发散发散则则时时若若 nnnaaannn证明：证明：11)1(1 rraannn，使，使，取，取设设,11)11(limrnnn nrnnn 1)11(0 时，时，., 2

8、 , 1, 0 nan设设从而从而 )1()11(11nnnnraann 此即此即. , ,)1()11(1收敛收敛据引理据引理 nnnannaa nnnaaaannnnn1111)1(11 nnnnbbnnaa11111 据引理，据引理，.发散发散 na极限形式极限形式. )( , )1(1 , 01 nnonlaaannn设设.11 :发散发散时时收敛；收敛；时时则则 nnalal可等价叙述为：可等价叙述为： .1.1 ,)1(lim1时发散时发散时收敛时收敛lllaannnn（证明留作习题）（证明留作习题）例例8.8.121!)!2(!)!12(1 nnnn1, 1limlim1 nnn

9、nnnaaa易知：易知：失效失效)1(1 nnnaanr)1!)!12(!)!22)(32(121!)!2(!)!12( nnnnnnn123)12()56()1)12()32)(22(22 nnnnnnn故收敛故收敛. .解：解： nnaann 1111 nn dalembertdalembert法失法失效效11)1()11()1(1 nnnnnaanrnnn收敛！收敛！例例9.9.,0的收敛性的收敛性讨论讨论 nn )0(, 10 其中其中.!)1()1(ncnnn 例例10.10.)0,(1!)1()1(1 qpnnnpppqn解：解：)()1()1()!1(!)1()1(1npppnn

10、nnnpppaaqqnn )1(1)(11()11(1nonqpnpnpnnq )1(11nopnpnq )(1)1(1)1(1pqopqaannn )1(11nonpq . ,时发散时发散时收敛时收敛pqpq 四、四、gaussgauss判别法判别法满足满足设设 , 0 na（了解）（了解） nnnonnnaann),ln1(ln111 .1;,111发散发散时时收敛收敛时时则当则当 nnnnaa 等价形式为：等价形式为： .1.1 ,)11(lnlim1发散发散收敛收敛 naannnnn证明：证明：)1()(ln1 pnnapn相比较相比较与与用用要求：要求：ppnnnnnnaa)(ln1

11、)1)(ln(1(11 等价于等价于pppnnnnnnnnnnaa ln)1ln(1)1)(ln(1(1)(ln11其中其中nnnnnnnln)11ln(1ln)11(lnln)1ln( )ln1(ln11)1(1(ln11nnonnnonn ppnnonnnnnnn ln1ln1111ln)1ln(1)ln1(ln1)(11(nnnnpn )ln1(ln11nnnnpn )(1)1(xopxxp 利用利用, 1),ln1(ln111 nnonnnaann设设 )ln)1ln(1)ln1(ln111nnnnnnnnnaann 则则.收敛收敛 na1, 1),ln1(ln111 取取设设nnonnnaann. 1 . , ts取取)ln)1ln(1)ln1(ln1111nnnnnnonnnaann 则则nnnnaannln1)1ln()1(11 .发散发散 na要求：要求： 熟练掌握：比较判别法及其熟练掌握：比较判别法及其极限形式极限形式, , cauchy cauchy判别