0109连续函数的运算与初等函数的连续性

1、定理定理,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf如如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续xxxx一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性),()(xgxf 则则),()(xgxf)0)()()(0 xgxgxf.0处连续处连续均在点均在点 x三角函数在其定义域内皆连续三角函数在其定义域内皆连续.定理定理 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. .如如,2,2sin上单调增加且连续上单调

2、增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.),(cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.二、反函数的连续性二、反函数的连续性定理定理,)(0处连续处连续在在若若xxxu .)( 0处连续处连续在在则则xxxfy 三、复合函数的连续性三、复合函数的连续性,)()(00处连续处连续在点在点xuufy 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性定理定理 一切初等函数一切初等函数在其定义区间内

3、在其定义区间内都是连续的都是连续的. .定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间. .例如：例如：,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0点的足够小邻域内没有定义；点的足够小邻域内没有定义；. ), 1 上连续上连续在区间在区间01例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e解解)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx例例2 2)1sin(sin(lim20 xxx求求)10sin(0sin(2 原式原式. 1sinsin 解解初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法: 代入法代入法.例例3 3.11lim

4、20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 .)(lim()(lim :,)(lim, 0)(lim)(lim)(xgaxbxgaxaxaxaxxfaxfbxgaxf 则有则有若若例例4证证)(ln)()(lim)( limxfxgaxxgaxexf )(ln)(limxfxgaxe abeln ba .)(lim()(limxgaxaxxf 解解, 880)81sin(lim0 xxx.)81sin(lim 32tan0 xxxxxx 求极限求极限例例5xxxx32tanlim0 )332tan(lim0 xxxxx x

5、xxxxx3lim32tanlim00 ,313132 . 2831 原式原式解解xaxx10)1(loglim 原式原式.)1(loglim 0 xxax 求求例例6uaeuloglim ealog .ln1a 解解)1(loglim0ttat 原式原式.1lim 0 xaxx 求求例例7.lna .1 , 0 xexx 证明证明: :证明函数证明函数处连续处连续在点在点与与设函数设函数,)()(0 xxgxf例例8)(),(min)( ),(),(max)(xgxfxxgxfx .0处连续处连续在点在点x2 ,69:91p 习题习题|,)()(|)()(21)(xgxfxgxfx |,)()(|)()(21)(xgxfxgxfx ,)()(0处连续处连续在在与与及及xxgxf:知知由连续函数的运算性质由连续函数的运算性质.)()(0处连续处连续在在与与xxx 掌握：掌握： 初等函数的连续性初等函数的连续性, 及极限代入法及极限代入法.了解了解: : 1、连续函数的四则运算；、连续函数的四则运算； 2、反函数的