定积分的概念96184

1、一.引例曲边梯形面积1.曲边梯形:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0 xy怎样求面积呢？2.思想方法（想象圆的面积的求法）（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条在区间a,b中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底a,b分成n个小区间：), 3 , 2 , 1(1nixxxiii的长度记为小区间,1iixx 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iaxy0y=f(x)0 xa1x3x1ixix1nxbxn2x（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形iiiiiiii

2、iiixfafxfxxxxi)()(,).(),11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长为用相应的宽为它所对应的函数值是（上任取一点个小曲边梯形的底在第xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式iniixf)(1它就是曲边梯形面积a的近似值，即.)(1iniixfaxy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积a的精确值。小区间长度最大值趋近于零，即| | 0（| |表示iniixf)(1

3、ixixiniixf)(1这些小区间的长度最大者）时，和式 的分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积a，当极限就是a，即iniixxfai)(lim10|可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0 xa1x2x1ixix1nxbxnf()二、定积分的定义定义： 设函数y=f(x)在区间a,b上有定义。在区间 a,b中任取分点,113210bxxxxxxxxannii将区间a,b分成n个小区间 ，其长度为1iixx，的和式：乘积作上，任取一点，在每个小区间), 2 , 1()()(11nixfxxxxiiiiiiii1iiixxx), 2 , 1ni（.)(1iniixf,)(dxxf

4、badxxfxfbainiixi)()(lim10|如果不论对区间a,b采取何种分法及 如何选取，当n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积，并称此极限值为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作0|ixi即（1）1.dxxf)(与badxxf)(的差别3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4规定： abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfdxxf)(是)(xf的全体原函数 是函数badxxf)(是一个和式的极限 是一个确定的常数注：2 .当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)a,ba.与区间及被积函数有关；b.与区间无关与被积函数有关c.与积分变量用何字母表示有关；d.与被积函数的形式无关 )(xfy 在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.(b)223sin tdt中，积分上限是 积分下限是 积分区间是 2.(a) 及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为 12 xy与直线3, 1xx1. 由曲线(b)举例dxx) 1(2312