2022年一元一次方程知识点整理

1、名师总结优秀知识点七年级上一元一次方程知识点整理一、本章知识点梳理：知识点一：方程的相关概念知识点二：解方程知识点三：用方程解应用题二、各知识点分类讲解知识点一：方程的有关概念（1）概念总结1. 方程： 含有未知数的等式就叫做方程. 注意未知数的理解，nmx,等，都可以作为未知数2一元一次方程：只含有一个未知数( 元)，并且未知数的指数都是1(次 ) ，这样的方程叫做一元一次方程。 方程：含有未知数的叫做方程；使方程左右两边值相等的，叫做 方程的解 ；求方程解的叫做 解方程 . 注意 : 重点区分 : 方程的解与解方程. 注： 方程的解和解方程是两个不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是

2、一个数值 ( 或几个数值 ) ，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程。 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论。理解方程 ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: 0a时，方程有唯一解abx；0,0ba时，方程有无穷解；0,0ba时，方程无解。 一元一次方程：在整式方程中，只含有个未知数， 并且未知数的次数是，系数不等于0 的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为0a. 3. 判断一元一次方程的条件1.首先是一元一次方程。2.其次是必须只含有一个未知数3.未知数的指数是1 4.分母中不含有未知数例

3、1: 判定下列那些方程，那些是一元一次方程？0 x，712x，3)813(4)5(21,01002,2,01xxxyxxx0)(22xxx注意： 1、分式的含义，分式不能在方程中出现。2、必须进行方程的化简，最后的结果中，仍然满足满足一元一次方程的定义时才可。3、是字母，但不是未知数，是一个常数。（2）典型例题例 1、下列方程313262xx4532xx2（ x+1） +3=x13(2x+5) -2(x-1)=4x+6.一元一次方程共有 ( )个.a.1 b.2 c.3 d.4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 -

4、- - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点例 2、 如果 (m-1)x|m| +5=0 是一元一次方程，那么m 例 3、 一个一元一次方程的解为2，请写出一个这样的一元一次方程 . 知识点二：解方程1：等式的基本性质等式的性质 (1) ：等式两边都加上( 或减去 )同个数 ( 或式子 ) ，结果仍是等式。用式子形式表示为：如果a=b，那么 ac=bc。等式的性质 (2) ：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍是等式。用式子

5、形式表示为：如果a=b，那么 ac=bc; 如果 a=b(c0)，那么ac = bc 等式：用等号“ =”来表示关系的式子叫等式. 性质：等式的性质 如果ba，那么ca；等式的性质 如果ba，那么ac；如果ba0c，那么ca . 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0 的数，分数的值不变。即：（其中 m 0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：6 .12.045 .03xx将其化为：6.12401053010 xx。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。典型例题例 1、已知等式523ba，则下列等式中不一定成立的

6、是（）（a）;253ba（b）;6213ba（c）; 523bcac（d）.3532ba例 2、下列说法正确的是（）a、在等式ab=ac 中，两边都除以a，可得 b=c b、在等式a=b 两边都除以c2+1可得1122cbcac、在等式acab两边都除以a，可得 b=c d、在等式2x=2a 一 b 两边都除以2，可得 x=a 一 b 例 3、将等式4x=2x+8 变形为 x=4, 下列说法正确的是（）a运用了等式的性质1，没有运用等式的性质2 b运用了等式的性质2，没有运用等式的性质1 c既运用了等式的性质1，又运用等式的性质2 d等式的两条性质都没有运用精品学习资料 可选择p d f -

7、- - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点3. 解一元一次方程的一般步骤常用步骤具体做法依据注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2 防止漏乘（尤其整数项），注意添括号；去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号去括号法则、 分配律注意变号，防止漏乘；移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都 移 到 方 程 的 另 一 边( 记住移项

8、要变号) 等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；合并同类项把 方 程 化 成ax b(a0)的形式合并同类项法则计算要仔细，不要出差错；系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 x等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒典型例题例 1.巧解含有绝对值的方程|x2|30 思路点拨： 解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x| m，则xm 或 x m；也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。解法一： 移项，得 |x 2| 3 当 x

9、20 时，原方程可化为x23，解得 x5 当 x20 时，原方程可化为(x2)3，解得 x 1。所以方程 |x2|30 的解有两个： x5 或 x 1。解法二： 移项，得 |x 2| 3。因为绝对值等于3 的数有两个： 3 和 3，所以 x2 3 或 x 2 3。分别解这两个一元一次方程，得解为x5 或 x 1。例 2.运用拆项法解方程：思路点拨 ：注意到，在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。解： 原方程逆用分数加减法法则，得移项、合并同类项，得。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

10、- - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点系数化为1，得例 3.利用整体思想解方程：思路点拨： 因为含有的项均在“”中，所以我们可以将作为一个整体，先求出整体的值，进而再求的值。解：移项通分，得：化简，得：移项，系数化1 得：一元一次方程练习题1、2（ x5）（ x4） 3（2x1）（ 5x3）2、6531223xxx3、14 .01.05 .06.01.02 .0 xx4、xx2214132235、k 取什

11、么整数时，方程2kx-4=(k+2)x 的解是正整数？6、小张在解方程1523xa（x 为未知数）时，误将 - 2x 看成 2x 得到的解为3x，请你求出原来方程的解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点知识点三：列一元一次方程解应用题一、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关

12、系，寻找等量关系（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程（4）解方程（5）检验，看方程的解是否符合题意（6）写出答案二、解应用题的书写格式：设根据题意解这个方程答。三、常见的一些等量关系常见列方程解应用题的几种类型：类型基本数量关系等量关系(1) 和、差、倍、分问题较大量较小量多余量总量倍数倍量抓住关键性词语(2) 等积变形问题变形前后体积相等(3) 行程 问题相遇问题路程速度时间甲走的路程乙走的路程两地距离追及问题同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程同时不同地出发：前者走的路程两地距离追者所

13、走的路程顺逆流问题顺流速度静水速度水流速度逆流速度静水速度水流速度顺流的距离逆流的距离(4) 打折销售问题售价 =标价（原价）折数/10 商品利润商品售价商品进价利润率100售价进价 (1利润率) 抓住价格升降对利润率的影响来考虑(5) 工程问题工作总量工作效率工作时间各部分工作量之和1 (6) 数字问题设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别为a，b，则抓住数字所在的位置或新数、原数之间的关系精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - -

14、- - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点这个两位数可表示为10ab (7) 储蓄问题利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数(1利息税率) (8) 按比例分配问题甲乙丙 abc全部数量各种成分的数量之和 ( 设一份为x) (9) 日历中的问题日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；日历中每一列上相邻的两数，下边的数比上边的数大 7 日历中的数a 的取值范围是1a31，且都是正整数四、各类型题型分类讲解1. 和、差、倍、分问题：增长量原有量增长率现在量原有量增长量（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，

15、增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现. 例 1：兄弟二人今年分别为15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2 倍？解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的2 倍，则 x 年后兄的年龄是15+x，弟的年龄是9+x由题意，得2（ 9+x）=15+x 18+2x=15+x，移向得： 2x-x=15-18 x=-3 答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的2 倍（点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的3 年，是与 3?年后具有相反意义的量）1. 一个数的 3倍比它的 2倍多 10，若设这个数为x，可得到方程

16、_. 2. 用一根长 80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10厘米，则这个长方形的长和宽各是_、_. 面积是 _. 2. 等积变形题型等积变形 ” 是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积成品体积。典型例题：1、一块正方形铁皮，四角截去4 个一样的小正方形，折成底面边长是50cm 的无盖长方体盒子，容积是450003cm.求原来正方形铁皮的边长。2、用长 7.2m 的木料做成如图所示的“ 日” 字形窗框，窗的高比宽多0.6m 。求窗的高和宽。 （不考虑木料加工时损耗）3、鱼儿离不开水，用一个底面半径为20 厘米，高为45 厘米的圆柱形的塑料

17、桶给一个长方形的玻璃养鱼缸倒水，养鱼缸的长为120 厘米、宽为40 厘米、高为1 米，将满满一桶水倒下去，鱼缸里的水会升高多少？3. 行程问题：路程速度时间时间路程速度速度路程时间（1）相遇问题：快行距慢行距原距（2）追及问题：快行距慢行距原距精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点（3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水

18、流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系例 1 甲、乙两站相距480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时

19、追上慢车？解：设快车开出x 小时后两车相遇，由题意得，140 x+90(x+1)=480 解：设 x 小时后两车相距600 公里，由题意得，(140+90)x+480=600 解：设 x 小时后两车相距600 公里，由题意得，(14090)x+480=600 解：设 x 小时后快车追上慢车。由题意得， 140 x=90 x+480 解：设快车开出x 小时后追上慢车。由题意得，140 x=90(x+1)+480 例2 已知轮船逆水前进的速度为m 千米 / 时，水流速度为2千米 / 时，则轮船在静水中的速度是_。 1. a 、 b两地相距 30千米，甲、乙两人分别从a、b两地同时出发，相向而行。已

20、知甲比乙每小时多走1千米，经过 2.5小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？ 2 、 （环型跑道问题）一条环形跑道长400 米，甲、乙两人练习赛跑，甲每分钟跑350 米，乙每分钟跑250 米。（1）若两人同时同地背向而行，几分钟后两人首次相遇？变式：几分钟后两人二次相遇？（2）若两人同时同地同向而行，几分钟后两人首次相遇？又经过几分钟两人二次相遇？3、 （顺、逆水问题）一轮船往返a，b两港之间，逆水航行需3 时，顺水航行需2 时，水流速度是3 千米 / 时，则轮船在静水中的速度是多少？4、 （错车问题）在一段双轨铁道上，两列火车同时驶过，a列车车速为20 米 / 秒， b列车车速为24 米/秒，若

21、 a列车全长 180 米， b列车全长160 米，两列车错车的时间是多长时间？4. 打折销售问题知识点 1：打折销售中的售价=标价（也叫原价）10折数变形公式：打折销售中的售价=原价（ 1- 降价的百分数）=原价（ 1+提价的百分数）典型例题例题 1：原价 100 元的商品打8 折后价格为元；例题 2：1）原价 100 元的商品提价40% 后的价格为元；2）某商品原来每件零售价是a元, 现在每件降价10%,降价后每件零售价是；练习 1：原价 x元的商品打8 折后价格为元；练习 2：500 元的 9 折价是 _元 ，x 折是 _元. 练习 3：1）原价 x元的商品提价40% 后的价格为元；2）原

22、价 100 元的商品提价p %后的价格为元；3）某种品牌的彩电降价20% 以后，每台售价为a 元，则该品牌彩电每台原价应为元；知识点 2：利润 =售价 - 进价例题：进价a元的商品以b元卖出，利润是元变形：售价 =利润 +进价精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点某商品的每件销售利润是72 元，进价是120，则售价是 _元.

23、知识点 3：利润率 =进价利润=进价进价售价例题：一商店把彩电按标价的九折出售，仍可获利20% ，若该彩电的进价是2400 元，那么彩电的标价是多少元？练习： 1）某商品利润率13，进价为50 元，则利润是 _元. 2）某商品的标价是1200 元，打八折售出价后仍盈利100 元，则该商品的进价是多少元？知识点 4：利润 =利润率成本例题：某服装商店以135 元的价格售出两件衣服，按成本计算，第一件盈利25 %，第二件亏损25 %，则该商店卖这两件衣服总体上是赚了，还是亏了？这二件衣服的成本价会一样吗？算一算？知识点 5：定价成本1期望的利润率利润率也称利润百分数，售价也称卖价例题：某商场根据市

24、场信息, 对商场中现有的两台不同型号空调进行调价销售, 其中一台空调调价后售出可获利10%(相对于进价 ), 另一台空调调价后售出则要亏本10%(相当于进价 ), 而这两台空调调价后的售价恰好相同, 那么商场把这两台空调调价后售出( ) a.即不获利也不亏本 b.可获得 1%; c.要亏本 2% d.要亏本 1% 练习： （ 1）某种商品的进价为800 元，出售时标价为1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5% ，则至多可打 a6 折 b7 折 c8 折 d9 折（2） 某商品的进价为1000 元, 售价为 1500 元, 由于销售情况不好, 商店决定降价出售

25、, 但又要保证利润率不低于5%,则商店最低降 _元出售此商品 . （3) 一家商店将某种服装按成本价提高40% 后标价，又以8 折（即按标价的80% ）优惠卖出，结果每件仍获利15元，则这种服装每件的成本是元5. 工程问题：工程问题：工作量工作效率工作时间完成某项任务的各工作量的和总工作量1 例 1. 一件工程，甲独做需15 天完成，乙独做需12 天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？解：设乙还需x 天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，(115+112) 3+x12=1 1. 甲、乙工程队从相距100m的马路两端开始挖沟，甲

26、工程队每天挖沟的进度是乙工程队的2倍少 1m ，若 5天完工，两队每天各挖几米？6. 数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、 b、c 均为整数，且1a9， 0 b 9， 0 c9）（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用2n+2或 2n 2 表示；奇数用2n+1 或 2n1 表示 . 例 1 一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8， 将十位上数字与个位上数字对

27、调，得到新数比原数的2 倍多 l0 求精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -名师总结优秀知识点原来的两位数7. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率. 利息的 20% 付利息税 利息 =本金利率期数本息和 =本金 +利息利息税 =利息税率（ 20% ）（3）利润每个期数内的利息本金100% 例1. 国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息 20% ，储户取款时由银行代扣代收.