矩阵求逆课件

1、1/245.3 矩阵求逆矩阵求逆n伴随矩阵法伴随矩阵法n解方程组法解方程组法nGauss-Jordan消去法消去法nGaussJordan原地求逆法原地求逆法n分块分块矩阵求逆矩阵求逆2/24伴随矩阵法伴随矩阵法的代数余子式。的代数余子式。中中为矩阵为矩阵相应地，相应地，的伴随矩阵：的伴随矩阵：为为其中其中可逆，则可逆，则设矩阵设矩阵ijijnnnnnnaAAAAAAAAAAAAAAAAAA 212222111211*1 1 3/24的解。的解。个方程组个方程组的的为单位向量为单位向量，右端项分别，右端项分别均为均为问题等价于求系数矩阵问题等价于求系数矩阵解解存在，求存在，求的逆矩阵的逆矩阵非

2、奇异，则非奇异，则设矩阵设矩阵),.,2 , 1()0,.,1,.,0 , 0(11njAnAAAAAjjTjjexe 解方程组法解方程组法4/24。则则）（）（式即为式即为顺序消去法知，求解上顺序消去法知，求解上由由初等变换初等变换1| AXXIIAJordanGauss个单元还是很困难的。个单元还是很困难的。这这很大时，很大时，但当但当个存储单元即可实现，个存储单元即可实现，算法上增加了算法上增加了22 nnnGauss-Jordan消去法消去法5/24元，这就是原地求逆。元，这就是原地求逆。个单个单则可节省则可节省放放的单元，最后仍用来存的单元，最后仍用来存如果将如果将21 nAA Ga

3、ussJordan原地求逆法原地求逆法111)()()()()()()(111.)(1)(1.1.:LLLAkiakiaallllLIALLLJordanGaussnnkkkkkkkikkikknkkkkkkKnn 故故其中其中消去法矩阵形式消去法矩阵形式由由实现实现6/24 为使求逆过程不断提高求解精度，因此增加选主为使求逆过程不断提高求解精度，因此增加选主元工作，最常用的是元工作，最常用的是利用列主元（或行主元）利用列主元（或行主元）求求逆逆。GaussJordan原地求逆法原地求逆法 例如：对例如：对列列主元主元法，我们可以法，我们可以增加一个数组增加一个数组Z(n)，记录选主元的交换号

4、，最后在消元工作完成后，根记录选主元的交换号，最后在消元工作完成后，根据据Z(n)对对A中的元素进行相应的中的元素进行相应的列列交换，得到交换，得到A-17/24算法（原地求逆法）算法（原地求逆法）);,.2, 1()3(;,0)2(;)(|max|)1(),.2, 1. 3);,.,2, 1()(. 2),.2, 1,(. 1njaathenklifDifaDilikzaankniiiznjialjkjlkkkiknikkiijk 停停机机输输入入奇奇异异标标志志；选选主主元元：做做对对；输输入入：8/24结束。结束。输出：输出：；做做对对),.2 , 1,(. 5);,.,2 , 1(th

5、enif)(1,.,1. 4);,.,2 , 1()7();,.,2 , 1,()6();,.,2 , 1()5(;1)4(njianiaaktkZtnkkiniacakjkinjiaaaakjnjacaacaijitikikkikkjikijijkjkkjkkkkk 主元变换主元变换主元所在行变换主元所在行变换主元所在列变换主元所在列变换其他行列变换其他行列变换9/24例题例题。求逆矩阵求逆矩阵设矩阵设矩阵例例11221112211 . 3 . 3 AA10/24消消去去法法解解法法一一：JordanGauss 120011021100310401例题例题 10001000112211122

6、1 102011001520310221 120351461100010001.1203514611 A所以得所以得11/241)1( k原地求逆法原地求逆法解法二：解法二：JordanGauss 例题例题 221111122 22111121121 25112101211211251212102121121A 122111221A3)1( z211 c12/24，2)2( k例题例题 21021251212112122102125121311A 2512121021211211A，3)2( z12 c 210212512131113/2423)3(3)3(3 czk，例题例题 2012512

7、1311 20125133143201513614A 21021251213112A14/243)1(3)2( zz，由由例题例题 2015136143A 120351461与第三列与第三列交换第一列交换第一列 1203514611A所以所以 021153164与第三列与第三列交换第二列交换第二列15/24.且其逆矩阵可逆, 那么分矩可逆, 定理1 D C ADA =TDCATDA -111110 0 ,阵设阵.且其逆矩阵可逆, 那么分矩可逆, 定理2 111110 0 ,D BDA A =TDBATDA -阵设阵分块分块矩阵求逆矩阵求逆16/24分块矩阵求逆.且其逆矩阵可逆, 那么分矩可逆,

8、 定理3 111110 0 ,ACBBC =TCBATCB 阵设阵.且其逆矩阵可逆, 那么分矩可逆, 定理4 0 0 ,11111BCDBC =TDCBTCB 阵设阵17/24分块矩阵求逆 11111111111111111)( )()()()( ADB C A B DB ADBCA + BB ADBC DB A DB C C DA BTT ADB CBC DA BT=- = = = : :的的逆逆矩矩阵阵为为且且方方块块矩矩阵阵存存在在, ,那那么么可可逆逆, ,且且其其子子块块方方阵阵可可逆逆, , 设设分分块块矩矩阵阵定定理理5 518/24分块矩阵求逆 1111111111111111

9、1)( )()()( )(DBD CBD A C D CBDA C DBD CBDA C BD A C DA BTT CBD ADC DA BT=- = = = : :的的逆逆矩矩阵阵为为且且方方块块矩矩阵阵存存在在, ,那那么么可可逆逆, ,且且其其子子块块方方阵阵可可逆逆, , 设设分分块块矩矩阵阵定定理理6 619/24分块矩阵求逆。逆逆矩矩都都可可及及的的充充分分必必要要条条件件是是可可逆逆则则阶阶可可逆逆方方阵阵分分别别为为其其中中, , 设设分分块块矩矩阵阵定定理理7 7)()( ,11 BCA D CBD ATnmDAC DA BT= 20/24.3112522100110012 T求求下下面面矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵例例.3152 ,1221 ,0000 ,1112 DCBA令令 DCAT0 则则. D C ADA =T11