无穷小量与无穷大量阶的比较

1、3.5 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。首先来介绍无穷小。一、无穷小一、无穷小 在实际应用中，经常会遇到极限为在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义理论价值，值得我们单独给出定义1.定义定义:极限为零的变

2、量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；变化过程；2.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:定理定理 1 1 ),()()(lim0 xaxfaxfx

3、x 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小.证证 必要性必要性,)(lim0axfxx 设设,)()(axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xaxf 充分性充分性),()(xaxf 设设,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx )(lim)(lim00 xaxfxxxx 则则)(lim0 xaxx .a 意义意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);).(,)()(. 20 xaxfxxf 误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理

4、定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 nn;21 时恒有时恒有当当nx;22 时恒有时恒有当当nx,max21nnn 取取恒有恒有时时当当,nx 22 , )(0 x注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(

5、100 xuu.0, 0, 0101muxxm 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx .0, 0, 0202mxx 恒有恒有时时使得当使得当,min21 取取恒有恒有时时则当则当,00 xx uumm , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxx推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.xxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷

6、小二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定义定义 2 2 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数m( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数x),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xx) )的一切的一切x, ,所对应的函数所对应的函数值值)(xf都满足不等式都满足不等式 mxf )(, ,则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无

7、穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx xxy1sin1 ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0mxyk 充分大时充分大时当当无界，无界，), 3 , 2 , 1 , 0(2

8、1)2(0 kkx取取, kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0m 不是无穷大不是无穷大.11lim1 xx证明证明例例证证11 xy. 0 m,11mx 要使要使,11mx 只要只要,1m 取取,110时时当当mx .11mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大

9、. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00mxfxxm 恒有恒有时时使得当使得当.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.极限运算法则的证明极限运算法则的证明定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim bbaxgxfbaxgxfbaxgxfbxgaxf

10、其中其中则则设设证证.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0.)(,)( 其中其中bxgaxf由无穷小运算法则由无穷小运算法则,得得)()()(baxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(baxgxf abba )( )(ba. 0.)2(成立成立baxgxf )()(baba )( bbab. 0 ab, 0, 0 b又又, 0 ,00时时当当 xx,2b bbbb21 b21 ,21)(2bbb ,2)(12bbb 故故有界，有界，.)3(成立成立注注此定理对于数列同样成立此定理对于数列同样成立此定理证明的基本原则：此定理证明的基本原则：)()()(limxaxfaxf (

11、1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数可推广到任意有限个具有极限的函数 (2)有两个重要的推论有两个重要的推论四四、无穷小的比较、无穷小的比较例如例如,.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 观察各极限观察各极限xxx3lim20, 0 ;32要快得多要快得多比比 xxxxxsinlim0, 1 ;sin大致相同大致相同与与xx2201sinlimxxxxxx1sinlim0 .不存在不存在不可比不可比.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无

12、设设);(, 0lim)1( o记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比就说就说如果如果;),0(lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 cc;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地.),0, 0(lim)3(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkcck 例例1 1.tan4 ,0:3的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的四阶无穷小的四阶无穷小为为时时故当故当xxxx 例例2 2.sintan,0的阶数的阶数关于关

13、于求求时时当当xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:

14、, 1lim , 0lim ),( o即即).( o于是有于是有)( o 同理也有同理也有一般地有一般地有)( o 即即与与等价等价 与与互为主要部分互为主要部分例如例如,),(sinxoxx ).(211cos22xoxx 补充补充高阶无穷小的运算规律高阶无穷小的运算规律,min)()()().1(nmkxoxoxoknm 其中其中)()()().2(nmnmxoxoxo )()().3(nmnmxoxox 为有界为有界其中其中)()()()().4(xxoxoxnn 五、等价无穷小替换五、等价无穷小替换定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存

15、在存在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 意义意义 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意不能滥用等价无

16、穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换. .等价关系具有：自反性，对称性，传递性等价关系具有：自反性，对称性，传递性例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 错错解解,0时时当当 x,22sinxx)cos1(tansintanxxxx ,213x330)2(21limxxx 原式原式.161 例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解tan55( ),xx o x),(33sinxoxx ).(21cos122

17、xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 例例6 求求)1ln()cos1(1cossinlim20 xxxxxx 解一解一xxxxxxxx)1ln()cos1(1cossinlim0 原原式式1201 21 解二解二xxxxxx )cos1(1cossinlim20原原式式 )1cossin(cos11lim0 xxxxxx21 解三解三 xxxxxxxxix1cos)1ln(cos11)1ln()cos1(sinlim0012121 21 例例7 求求131)1()1()1)(1(lim nnxx

18、xxx解解1 xu令令ux 1则则得得由由uu 1)1( 130)11()11)(11(lim nnuuuuui1013121lim nuuunuu!1n 关于关于1 1型极限的求法型极限的求法)()(limxgxf )(lim, 1)(limxgxf)()(limxgxf)(ln)(limxfxge )(ln)(limxfxge )(1)1)(1lnlim)(ln)(limxgxfxfxg )(11)(limxgxf 1)()(lim xfxg)()(limxgxf1)()(lim xfxge无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点注意、几点注意:（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.六、小结六、小结3.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无