高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件10 新人教B版选修2-1

1、2.3.12.3.1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程f1f2椭圆的定义椭圆的定义: 两个定点两个定点f1、f2椭圆的椭圆的焦点焦点 | f1f2 |= 2c 焦距焦距思考：思考：平面内与两定点的距离的平面内与两定点的距离的差差为常数为常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？的点的轨迹是怎样的曲线呢？让我们一起思考探索课本第让我们一起思考探索课本第49页页a组第组第7题题如图，圆如图，圆o的半径为定长的半径为定长r，a是圆是圆o内一个定点，内一个定点，p是圆上任意一点。线段是圆上任意一点。线段ap的垂直平分线的垂直平分线l和半和半径径op相交于点相交于点q，当点，当点p在圆上运动时，点在圆上运动时，点

2、q的的轨迹是什么？为什么？轨迹是什么？为什么？opqal定义定义: 平面内平面内与两个定点与两个定点f1，f2的距离的的距离的差差 的绝对值的绝对值等于非零常数等于非零常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.（小于（小于 f1f2|） of2f1m 两个定点两个定点f1、f2双曲线的双曲线的焦点焦点 | f1f2 |= 2c 焦距焦距定义中，为什么要加绝对值，若去掉定义中，为什么要加绝对值，若去掉绝对值，情况又如何？绝对值，情况又如何？即即| |m f1 | - |mf2| | = 2a2c 双曲线双曲线两条射线两条射线1、 2a |f1f2 | =2c 无轨迹无轨迹即即| |m f1

3、 | - |mf2| | = 2a想一想？满足下列条件的点的轨迹表示什么图形？想一想？满足下列条件的点的轨迹表示什么图形？平面内与两个定点平面内与两个定点f1、f2的距离的的距离的差的绝对值等于非零常数差的绝对值等于非零常数 2a，of2f1m1. 建建合适的平面直角坐标系：合适的平面直角坐标系：2.设设所求动点坐标所求动点坐标:3.找出几何找出几何限限定条件定条件:f14 4. .把几何条件把几何条件代代数化数化: :f25.5.化化简整理简整理. .回顾求椭圆标准方程的步骤回顾求椭圆标准方程的步骤1. 建系建系: :以f1,f2所在的直线为x轴，线段f1f2的中点为原点建立直角坐标系，2.

4、设点设点:则f1(-c,0),f2(c,0)3.几何几何限定条件限定条件:2222()()2x cyx cyaf1mxoy122mfmfa设双曲线上任意一点设双曲线上任意一点m（x,y),设设m与与f1、f2的距离的差的的距离的差的绝对绝对 值等于常数值等于常数2a4 4. .几何条件代数化几何条件代数化: :f2222222()2()x cyax cy 222()cxaaxcy 5.5.化简整理化简整理. .令：令：c2-a2=b222222222()()yc a x aa c a22221xyab即：即：（a0，b0）2222222()44()()xcyaax cyx cy移项平方得移项平

5、方得:整理得：整理得：，平方得：，平方得：4222222222222aa cxc xa xa cxa ca y整理得：整理得：两边同除以两边同除以a2(c2-a2),得：得：222221xyaca思考思考：如何判断双曲线如何判断双曲线焦点的位置？焦点的位置？22221xyab22221yxab(0,0)ab222cabf2 2f1 1mxoyomf2f1xy确定焦确定焦 点点 位置：位置：椭圆看分母大小椭圆看分母大小双曲看系数正负双曲看系数正负(a0，b0)221.1169xy223.11625xy 222.1169yx课堂练习：课堂练习：求出下列双曲线的焦点坐标：求出下列双曲线的焦点坐标：（

6、5，0）（0，5 ）0,41椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系椭圆和双曲线的标准方程以及它们之间的关系 12222byax12222bxay12222bxay12222byax(a0,b0 ,a不一定不一定大于大于b )椭圆椭圆a-c=b (b0) ac0双曲线双曲线| mf1 |+|mf2|=2a| mf1 |-|mf2|= 2ac2-a2=b2(b0)ca0(ab0）(ab0）方程方程a,b,c的 关的 关系系标标准准方方程程例例1、已知双曲线的焦点为已知双曲线的焦点为f1(-5,0), f2(5,0)双曲双曲线上一点到焦点的距离的差的绝对值等于线上一点到焦点的距离的差的绝对值等于6

7、则则221916xy (1)双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_ ，若焦焦 点为点为f1(0, -5), f2(0, 5)呢？呢？(2)双曲线上一点双曲线上一点， |f1|=10,则则|f2|=_4或或16若若f1|=7，则，则|f2|=_13由题意知：双曲线焦点在由题意知：双曲线焦点在x轴上，轴上，可设标准方程为可设标准方程为c=5,2a=6 b=c-a=1622221xyab例例2 2：已知：已知a a、b b两地相距两地相距800 m800 m，在，在a a处听到炮弹处听到炮弹爆炸声时间比在爆炸声时间比在b b处晚处晚2s,2s,且声速为且声速为340 m/s340 m/s，求，求炮弹

8、爆炸点的轨迹方程炮弹爆炸点的轨迹方程. . 解解: 如图，建立直角坐标系如图，建立直角坐标系xoy，使，使a、b两点两点在在x轴上，并且点轴上，并且点o与线段与线段ab的中点重合的中点重合.设爆设爆炸点炸点p的坐标为（的坐标为（x,y），则），则 :,6802340 pbpa即即 2a = 680, a= 340， 又又|ab|=800 2c = 800, c= 400, b2 = c2 a2 = 44400. |pa|-|pb|=6800,x 0. 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为：因此炮弹爆炸点的轨迹方程为： 22111560044400 xy(x 0)xyopba变式训练：求与椭圆 有共同焦点

9、，且过点 的双曲线的标准方程。 2211510 xy(3,2)解：椭圆 的焦点为 ， 可设双曲线的方程为则 又因双曲线过点 ，所以 ，联立方程求得2211 51 0 xy(5,0)(5,0)22221(0,0)xyabab(3,2)22941ab223,2ab22y-132x故所求标准方程为225ab例例3.3.如果方程如果方程 分别表示双曲线、分别表示双曲线、椭圆、圆及焦点在椭圆、圆及焦点在y y轴上的双曲线时，实轴上的双曲线时，实数数m m、n n应满足什么关系？应满足什么关系？ ( m n 0)1).0mn 双曲线：2).椭圆： m0且 n0 且 m n=3)圆： m n0221xymn

10、4).y焦点在 轴上的双曲线： m0 2、你学到了那些数学知识和方法？、你学到了那些数学知识和方法？小结：小结：1、通过本节课的学习，你有什么收获和体会、通过本节课的学习，你有什么收获和体会, 渗透了那些数学思想？渗透了那些数学思想？of2f1p3.如图、已知双曲线如图、已知双曲线 的左右焦点分的左右焦点分别别为为f1 、f2 ，双曲线上一点双曲线上一点p使得使得 ，求求 的面积。的面积。221916xy1290fpf12fpf解：解：在双曲线在双曲线 方程中，方程中，a=3,b=4,则则c=5 设设|pf1 |=m ， |pf2 |=n， 由双曲线定由双曲线定义可知，义可知， |m-n |=

11、2a=6，两边平方得2212222212236fpf =90(2 )100132,mn=162mnmnmnffcmn又所求三角形面积为备用课堂练习备用课堂练习. .1 1、求适合下列条件的双曲线的标准方程、求适合下列条件的双曲线的标准方程. .；)2,315( 、)3,2(经过点,轴上x焦点在(3)；5)(2,经过点(0,6),、6)(0,焦点为(2)轴上；x焦点在3,b4,(1)a1916) 1 (22yx11620)2(22xy分析：分析：13)3(22yx.1:) 1 (222222值代入、，然后将先判断方程的形式babyax1)2(2222bxay为：由题意可得方程的形式222, 6acbc1362222axay方程可设为：., 1)3(222222babyax、：代入方程即可求出然后将已知点坐标为由题意可得方程的形式2、已知动圆、已知动圆m与圆与圆 外切，外切，与圆与圆 内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心m的轨迹方程的轨迹方程 。221cx+42y：22c2y2：（x-4)3、