武汉大学信号与系统题库

1、1-1 判断下列信号是否是能量信号，功率信号，或者都不是。注意这里圆括号和方括号表示其分别对应连续和离散信号，下同。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。解 (1) 对于，因此,是能量信号。(2) 如果是基本周期为的周期信号,则的归一化平均功率与任意时间间隔的的平均功率是相同的，正弦信号是周期为的周期信号，所以的平均功率为因此，是功率信号。注意，一般情况下，周期信号都是功率信号。(3) 对， 因此，既不是能量信号，也不是功率信号。(4) 对，根据能量信号定义得因此，是能量信号。(5) 对，由功率信号定义得因此，是功率信号。(6) 因为，所以因此，是功率信号。1-2 验证下式：(1)

2、；(2)。解 可以根据以下等效性质来证明：    设是广义函数，则对于所定义的测试函数，当且仅当时，这就是等效性质。(1) 对可变的变量,设,则，可以得到以下等式：所以，考虑到是的偶函数，因而有。(2) 令 ，由得1-3 计算下列积分 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)。 解 (1)(2)(3)(4)(5)1-4 如下图所示的系统是(1)无记忆的；(2)因果的；(3)线性的；(4)时不变的；(5)稳定的。解(1) 由图得，因为输出的值仅取决于输入当前的值，所以系统是无记忆的。(2) 因为输出不取决于输出将来的值，所以系统是因果的。(3) 设

3、，则有其中所以系统满足叠加性质，是线性的。(4) 设，而，因为，所以系统是时变的。(5) 因为，若输入是有界的，则输出也是有界的，系统是BIBO稳定的。1-5 如果可以通过观察系统的输出信号来惟一的确定输入信号，则该系统称为可逆的，如下图所示。试确定以下的系统是否是可逆的，如果是，给出其逆系统。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)。 解(1) 可逆，。(2) 不可逆。(3) 可逆，。(4) 可逆，(5) 不可逆。1-6 如下图所示的网络中，已知励磁信号为，单位为，电阻（单位），电感（单位）均为常数，电容器是一个伺服机械带动的空气可变电容器，其容量的变化规律为。试列出该网络输出电压的

4、数学表达式，并说明该网络属于哪类系统。解 电容器上的电荷，所以回路电流（即电容器中的电流）为:电阻两端的电压为：电感两端的电压为：基于KVL，可得，得由数学模型可知该系统是线性时变连续时间系统。1-7 建立下图所示电路的数学模型，指出该电路产于哪种系统。若将图中的开关在开启，在闭合，开启，如此不断重复，试问该网络是什么样的系统?解 当开关开启不动时，该网络的数学模型为：这是一个二阶常系数微分方程，所以该系统为线性时不变系统，当开关按函数动作时,显然这时网络的电量是时间的函数,所以该系统为线性时变系统。 2-1 设，证明。证明 由卷积公式有设，代入上式得2-2 设为下图中(a)所示的三

5、角形脉冲，为单位脉冲串，如图中(b)所示，表示为，试确定并画出当为以下各值时的：(1) ；(2) ；(3) 。解 利用卷积公式可得 (1) 时，(2) 时，(3) 时，2-3 设一个连续时间系统为，求出并画出系统的冲激响应，该系统是否为因果系统？解  利用卷积公式可以表示为 因此，系统的冲激响应为由右图及上式可看出，当时，因此系统不是因果的。  2-4 如下图中(a)所示，系统是通过连接两个相叠的系统构成的，这两个系统的冲激响应分别为和，且，。求出图中(b)所示整个系统的冲激响应，并判断系统是否为BIBO稳定的。解 设是第一个系统的输出，则，有

6、根据卷积的结合律，有因此，整个系统的冲激响应为因为所以系统是BIBO稳定的。2-5 如下图所示，连续时间系统由两个积分器和两个比例乘法器构成，写出输入和输出之间的微分方程。解 设和分别为图中第一个积分器的输入和输出，则因为是图中第二个积分器的输入，则有，得这就是要求的二阶线性微分方程。注意：一般情况下，由相互连接的积分器和比例乘法器构成的连续时间LTI系统的阶数等于系统中积分器的个数。2-6 设一个连续时间系统的输入与输出之间的关系为，其中是常数。(1) 若，求；(2) 用零输入和零状态响应方式表示。解     设，其中是满足的特解，是满足式的一般解。&

7、#160;   假设，代入，得，由此可得，故    要得到，可以假设，代入，得，可得，故    将和组合起来，得结合辅助条件，得，则    如果，有，因此又得，由辅助条件得，则，所以可以用零输入响应和零状态响应的形式表示为：2-7 对习题2-6中的系统求其冲激响应。解 冲激响应应该满足微分方程(2-7-1)     式(2-7-1)的一般解为，可以假设，代入式(2-7-1)得，可得，故。可以预测，的特解为零

8、，因为不包含，否则，将是的导数从而不满足方程，因此，代入式(2-7-1)得可得，从而得该系统的冲激响应2-8 对习题2-6中的系统，若。(1) 不利用冲激响应，找出该系统的阶跃响应。(2) 利用习题2-7的冲激响应，找出该系统的阶跃响应。(3) 根据找出冲激响应。解 (1) 在习题2-6中,。令，则，有(2) 利用习题七中的结论，可得阶跃响应为(3) 由阶跃响应和冲激响应的关系可得，冲激响应为2-9 求系统的冲激响应。解 冲激响应应满足微分方程(2-9-1)     设式(2-9-1)的一般解为，特解为，则其完全解为(2-9-2)代入式(2-9-1)，可

9、得，从而有解得，代入式(2-9-2)，可得系统冲激响应为3-1 如果信号集的两个子集和在区间满足则称信号集为正交信号集，式中*表示共轭。证明间隔为周期的复指数集是正交的。证明 对于任意的，时，有可得：所以复指数集是正交的。3-2 求下列信号的指数傅里叶幂级数表示。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)。解 本题主要根据欧拉公式求解。 (1)根据欧拉公式，有由此可得其傅里叶系数为。(2)根据欧拉公式，有由此可得其傅里叶系数为。(3) 的基本角频率是2，根据欧拉公式，有由此可得其傅里叶系数为。(4)根据欧拉公式，有由此可得其傅里叶系数为。(5)根据欧拉公式，有由此可得其傅里叶系数为。3-3 求如图

10、3-3(a)所示的三角波的三角傅里叶级数。图3-3(a)图3-3(b)解 图3-3(a)所示的三角波的导数如图3-3(b)所示，可表示为由冲激序列的傅里叶级数，上式可写为与已知的三角信号的傅里叶级数表示式求导后的所得结果相比较可得由3-3(a)知，代入三角型傅里叶级数式，得到3-4 已知的傅里叶变换为如右图所示，求并粗略画出其波形示意图。解 由调制定理和门函数的傅里叶级数得波形示意图如右图所示。 3-5 求高斯脉冲的傅里叶变换。解 由傅里叶变换定义有上式两边对求导，可得因为所以又，从而，即可见高斯脉冲信号的傅里叶变换也是一个高斯脉冲，如下图所示。3-6 利用傅里叶变换的性质求如下图所

11、示各个信号的频谱函数。(1)(2)(3)(4)解(1) 对于，有由延时特性得，故又，由微分特性得 (2) 因为，根据尺度变换特性和延时特性可得(3) 因为，根据尺度变换特性可得(4) 因为，根据移频特性可得3-7 已知系统的输入为如下图中(a)所示的周期信号，系统的转移函数如图中(b)所示，其相位特性，求系统响应。解 首先将周期信号用傅里叶级数展开。因为，所以因为，所以求响应时只需取即可：可得3-8 如下图中(a)所示周期信号，其基波频率为，若将该信号作用于图(b)所示的LC并联谐振电路，其转移函数为，其中，若要使输出信号中主要为的正弦信号，其余各频率分量的幅度均等于或小于信号幅度的

12、，试求的值。解 将展开为傅里叶级数    由于中主要为的正弦信号，即回路对三次谐波调谐，其邻近谐波为基波和五次谐波，而五次谐波的幅度小于基波的幅度，故只需考虑基波幅度小于三次谐波的即可。对于三次谐波，对于基波，依题意，有代入已知条件得3-9 求如下图所示三角形调幅信号的频谱。解 设三角脉冲信号为则。根据傅里叶变换的频移性质得 3-10 求图示截平斜变信号的频谱。截平斜变信号微分信号解 因为且所以，可以使用傅氏变换的时域微分性质得：3-11 利用微分性质求如下图所示的梯形脉冲的傅里叶变换,并大致画出时的频谱图。解 因为，所以可以利用傅里叶变换的时

13、域微分性质求解。其一阶、二阶导数如下图所示。时，其波形如下所示。3-12 求图示信号的频谱(包络为三角脉冲，载波为对称方波)，并说明与题3-12的信号频谱的区别。解      又有 所以     比较：题3-12中，载波只有一个频率，故调制后是将频谱搬移到处，而在本题中周期方波有无数奇次谐波分量，故被三角脉冲调制后，将把三角脉冲的频谱加权移位到各奇次谐波以后迭加。3-13 杂例41 找出下列信号的拉普拉斯变换，画出零极点图和收敛域。  解 (a)由  &#

14、160; 可以看出收敛域有重叠，因此    则在处有一个零点，在处有两个极点，收敛域为，  如图(a)所示。  (b)由    可以看出收敛域有重叠，因此    则，没有零点，在处有两个极点，收敛域为，如图(b)所示。    (c)由    可以看出收敛域没有重叠，没有公共收敛域。因此，没有拉普拉斯变换。   42&#

15、160;设，找出，画出零极点图以及a>0和a<0时的收敛域。解 a>0和a<0时的信号如图(a)和(b)所示，因为是双边信号，可以表示为    注意，在t=0处是连续的，且。又有    如果a>0,可以看出，收敛域有重叠，因此    则没有零点，在处有两个极点，收敛域为，如图(c)所示，如果a<0,可以看出，收敛域没有重叠部分，没有公共收敛域，因此没有拉普拉斯变换。     

16、60;43 找出下面的反拉普拉斯变换：  解 可以看出，是一个和式，    其中    如果    则由线性性质和平移性质得，    接下来，使用部分分式展开法，得    因此，       因此，整个系统函数为  46 在下图所示的电路中，开关在时刻打开之前

17、一直处于闭合位置。找出的电感电流。    解 当开关长时间处于闭合位置时，电容的电压被充到10V，电容中没有电流，电感就  象短路，电感电流为10/5=2A。  因此，当开关打开时，有，输入电压为10V，可以表示为10  因此可以建立如图(b)所示的变换电路。  则回路方程为    因此    对进行反拉普拉斯变换，得    注意，即开关打开前后电

18、感电流没有中断。因此有     47 电路如图所示：    （1）系统函数  （2）当k为何值时系统稳定？  （3）设k=0.5,若激励解  48 如图所示，激励信号为半波整流的正弦信号。求的稳态响应。解先求出激励信号一个周期内的s函数  则  那么激励信号的s函数为  由图5-1（2）可知系统s函数  输出s函数为  则输出时域函数为&

19、#160; 求出暂态响应  稳态响应 49 一低通滤波器,当激励为时，自由响应为，求强迫响应。 解由题知  自由响应的s域函数为  又由自由响应函数定义可知  且 B=3  所以A=13  则强迫响应为 410 电路如图所示,图中K>0。若系统具有=的特性。（1）求。（2）若使是稳定系统的系统函数，求K值范围。 解 由图可列方程 解方程可得系统函数：所以因为一阶稳定系统，所以要求3-K>0，则 K<3。411 已知系统函数为，在

20、下列信号激励时，分别求系统的稳态响应。解由于激励函数为单一频率，所以系统的稳态像一响应就是系统的频率响应。  因为 ，所以，则： 412 电路如下图所示，写出策动端导纳函数，并对下列各激励信号求系统响应。解由电路图可构造s模型可得出导纳函数  则可写出系统响应  51 已知系统函数，激励信号，试用傅里叶分析法求响应。解激励信号的傅里叶变换为  响应的傅里叶变换为  傅里叶反变换为 52 激励信号为周期性锯齿波，经RC高通网络传，如题图5-2所示。题图5-2解由网络图可列出系统

21、传输函数的傅里叶变换  由于激励信号为周期信号，所以激励信号的傅里叶变换可通过傅氏级数表示，而傅氏级数又可通过一个周期内的傅氏变换表示，先求得一周期内的傅氏变换，根据傅氏变换的微分特性，有  可得信号一个周期的傅氏变换为  求得傅氏级数为  因为 所以 。 激励信号的傅氏变换  响应信号的傅氏表示 53 若线性时不变系统的冲激响应如题图5-3所示题图5-3 (1)证明该系统具有线性相位特性。 (2)若系统的激励信号为，求输出响应，讨论传输是否引起失真。解

22、由傅氏变换的微分特性，有  则  当  由频率响应原理，所以输出响应为： 54 电路如题图5-4所示，在电流源激励作用下，得到输出电压。写出联系与的网络函数。若要使与波形一样，试确定和。输出过程有无时间延时。题图5-4 解由电路图可写出系统函数  由无失真系统传输条件  可得：  则系统函数为所以系统无延时。  5-5 已知理想低通滤波器的系统函数表示式而激励信号的傅氏变换式,利用时域卷积定理求响应的时间函数表示式。 解由卷积定理 &#

23、160;所以 5-6 题图5-6所示系统中，为理想低通滤波特性，题图5-6 (1) 若为单位阶跃信号,写出的表示式。 (2) 若,写出的表示式。解:(1)由框图  则为：  (2)由框图知  则为： 5-7 若题图5-7-1所示系统的激励信号是周期性矩形脉冲,周期为,脉宽为，和的波形如题图5-7-2所示。理想低通滤波器的截止频率。求响应中包含哪些频率分量? 图5-7-1图5-7-2解由波形图可得：  , 和异或运算后能通过理想低通的非零频率分量有。5-8某低通滤波器

24、具有升余弦幅度传输特性,即  其中为理想低通传输特性。  试求此系统的冲激响应，并与理想低通滤波器的冲激响应进行比较。解由定义求傅氏反变换：  和理想低通滤波器的冲激响应相比，此系统的冲激响应收敛的更快。5-9 已知分别为(1) ,且有一零点；(2) 。 求对应的。解(1)由可得   一般认为系统为稳定系统，所以零级点都在虚轴左侧   因为有一零点，为使系统的幅频频特性相同，可乘上一个全通函数。所以：  (2)同理  

25、0; 又因为   所以  5-10 试求时巴特沃兹特性低通滤波器的阶跃响应，并粗略画出波形。解由查表可知时的归一化函数为  将代入，得系统函数函数为  时巴特沃兹特性低通滤波器的阶跃响应为：  波形如下图 5-11 已知是因果性实时间信号,它的傅氏变换为 设，求对应的及相应的反变换。解由希伯来变换对特性  反变换为 5-12 已知如题图5-12所示系统，题图5-12  (1) 求此系统的单位冲激响应。 (2

26、) 如果用一台示波器和一台脉冲宽度可以从1毫秒调到1秒的脉冲信号发生器，是否可以近似地测出此系统的单位冲激响应？说明理由。 解由框图可求得系统函数为：   冲激响应的脉宽近似为。 可近似测出冲激响应。5-13 求下列函数的拉氏变换 解利用频移定理求解:   ,则有：    根据频域积分定理求解，条件是。   本题中，所以有。5-14 求函数的拉氏反变换。 解:  5-15 电路如题图5-15所示，求：题图5-15 &

27、#160;（1）系统函数； （2）当为何值使系统稳定； （3）设，若激励，求； （4）设, 重复（3）中所问。解:（1）由图可得：           （2）, 时，系统稳定。 （3）当时，        ，  5-16 系统幅频特性如题图5-16所示，设描述此系统的转移函数为有理函数。（1）若具有的幅频特性能和图示的幅频特性相兼容，问应有最少的零

28、点数是多少？极点可能分布在平面的何处？题图5-16                  （2）若有最少的零点，且，和处有单极点，无其他极点，又假设 是由某一输入引起的零状态响应,其中。 （3）求。解是的偶函数，且,所以分母的幂次至少比分子的幂次高一次，所以  由于对所有的均为有限值，因此它们应位于左半开平面。     5-17 写出如题图5-17所示

29、网络的电压转移函数，讨论其幅频相应特性可能为何种类型。 解题图5-17 其中，5-18 下题图5-18为无损电路，求零点，极点和幅频，相频响应。题图5-18解5-19 一线性系统，其传输函数的极点分布如图所示，求其平率特性和相位特性，并求其阶跃响应。 解幅频特性曲线 5-20 控制系统如题图5-20，  (1)确定系统稳定时值的范围；题图5-20  (2)若要求闭环系统的全部根位于垂线之左，求值。解(1)  特征方程为：   罗斯表为：    要使系统稳定，则：&#

30、160; (2)如果要使闭环系统的根全部位于垂线之左，令代入特征方程，有：   7-1 已知如图7-1所示，试画出的图形，并写出其表达式。图7-1解求解过程按如下过程  利用后项差分定义及序列的运算技巧可得 7-2 已知差分方程，其初始条件为。试分别对以下几种情况求差分方程的解：解原差分方程的特征方程为 (1)       (2)      (3)    &

31、#160;7-3 求解差分方程，其初始条件为解求出特征根：，故齐次解为     设特解为      带入差分方程得      所以      又因为, 所以得 故  7-4 求解下列差分方程，并指出零输入响应和零状态响应。解(1)零输入响应  特征根，所以   又因为，故   零状态响应&

32、#160; 因为，由差分方程得   求特解，则零状态响应为   又，得   故完全响应为  (2)零输入响应  特征根，所以   由于起始状况为零，所以    零状态响应   由差分方程得   特解为，则零状态响应为   带入初始条件得   则   

33、故完全响应为 7-5 已知系统差分方程，其初始条件为。(1)求系统的零输入响应、单位样值响应、阶跃响应。(2)若，求零状态响应。解特征根 (1)零输入响应 特征根，所以  又因为  所以  故  单位样值响应 由差分方程得  因为  根据初始条件列方程求解得  所以  阶跃响应   故  由差分方程递推得到初始条件   

34、;代入根据初始条件列方程求解得   因为n=0时，  所以  (2)差分方程可写为   激励信号与方程的特征根2相同,故特解应设为   代入方程得   所以  由差分方程递推得到初始条件   代入根据初始条件列方程求解得     因为n=0时，  所以 7-6 在连续系统中，一个电路可以构成低通滤波器；在抽样

35、系统里，我们可以利用电容的充放电特性来构成开关电容滤波器。题图7-2是一个开关电容滤波器的原理示意图。如果在时刻，开关接通，断开；而在时刻，开关断开，接通（）。(1)对于激励和响应，写出题图7-2系统的差分方程；(2)若输入信号，求系统的零状态响应，并画出和的波形。图7-2： 解(1)由电路图可得   则差分方程为：   特征方程的特征根为：   设特解为：   代入求解   则   由差分方程可得 

36、60; 代入求解  7-7 写出题图7-3所示系统的差分方程。图7-3(a)图7-3(b)解(a)由框图(a)可列方程   整理得   (b)由框图(b)可列方程   整理得   所以差分方程为：  7-8 在数字信号传输中，为减弱传输信码之间的串扰，常采用时域均衡器。题图7-4是一个借助横向滤波器来实现的时域均衡器。如果输入，要求输出时为零，即，求加权系数。图7-4解由框图可得   可列方程&#

37、160;  不妨令，则  7-9 利用差分方程求从0到n的全部整数的平方和解根据题意列写方程和初始条件   求特征根   由激励信号可设特解   代入方程解得   则方程全解可设为   代入初始条件，则可得   7-10 已知二阶线性移不变离散系统的单位样值响应(1)写出该系统的差分方程；(2)画出该系统框图。解由响应可得特征根   则特征方程为：

38、   系统的差分方程齐次方程为：   设系统的差分方程为：   代入初始条件得   系统的差分方程为   框图如下图 8-1 求下列各式的逆变换（1）（2）（3）解(1)对原式进行部分分式    则对各分式进行逆变换可得   (2)对原式进行部分分式    对第三个分式变形    则此分式

39、的逆变换为    由线性特性可得逆变换   (3)对原式进行部分分式    由线性特性和时移特性可得逆变换  8-2 试用围线积分法证明解由反变换公式及利用留数定理   8-3 已知,试证明解(1)  由尺度变换原理,变换为   (2)  由线性原理和尺度变换原理,变换为   (3)  与(2)同理得变换为 

40、 8-4 利用变换有关性质,求下列序列的变换。；解(1)易知    由时移性质可得    由尺度变换性质    由微分性质   (2)原式可变形为    由上题(习题三)结果可知    8-5 求下列变换所表示序列的终值: 解(1)由终值定理   (2)由终值定理  8-6 利用变换求下列各式的卷积

41、解(1)由卷积定理   (2)由卷积定理 (3)由卷积定理 (4)由卷积定理   (5)由卷积定理  8-7 用单边变换解下列差分方程: （1）（2）（3）（4） 解(1)利用时移特性对原式进行变换    解方程可得    对上式进行反变换   (2)利用时移特性对原式进行变换    解方程可得   

42、0;对上式进行反变换   (3)由差分方程可得    利用时移特性对原式进行变换    解方程可得    对上式进行反变换   (4)利用时移特性对原式进行变换    解方程可得    对上式进行反变换  8-8 求下列系统函数在两种收敛域情况下系统的单位样值响应,并指出系统的稳定性与因果性: 解 

43、原式可变形为   (1)对于收敛域(1)   (2)对于收敛域(2)  8-9 某一阶离散系统的方框图如图8-9所示,求该系统的(1) 单位样值响应;(2) 单位阶跃响应及稳态、暂态响应；(3) 复指数序列激励下的响应及稳态、暂态响应；解(1)由框图列写方程    可得    反变换可得单位样值响应   (2)由卷积定理    反变换可得阶跃响应  

44、;  因为  所以暂态和稳态响应分别为：    由卷积定理    反变换可得响应    因为  所以暂态和稳态响应分别为：  9-1 画出图9-1中各方框图的流图形式，并用梅森公式求其转移函数。(1) (2) (3)图9-1解：画出流图如下(1)(2) (3)(1)利用梅森公式 (2)利用梅森公式 (3)利用梅森公式 9-2 设有如图9-2所示流图   (1)求系统的转移函数。  (2)若支路，问怎样修改支路的转移函数，使得到与原流图有同样的转移函数。图9-2解:(1)利用梅森公式  当变化条件后