2022年《圆锥曲线与方程》变式试题

1、优秀学习资料欢迎下载圆锥曲线与方程变式试题1 （人教 a 版选修 11， 21 第 39 页例 2）如图，在圆224xy上任取一点p，过点 p 作 x 轴的垂线段pd，d 为垂足当点p 在圆上运动时，线段pd的中点 m 的轨迹是什么？变式 1：设点 p 是圆224xy上的任一点，定点d的坐标为（ 8，0） 当点 p 在圆上运动时，求线段pd 的中点 m 的轨迹方程解：设点 m 的坐标为, x y，点 p 的坐标为00,xy，则082xx，02yy即028xx，02yy因为点 p 00,xy在圆224xy上，所以22004xy即222824xy，即2241xy，这就是动点m 的轨迹方程变式 2：

2、设点 p 是圆224xy上的任一点，定点d 的坐标为（ 8，0） ，若点 m 满足2pmmd当点 p 在圆上运动时，求点m 的轨迹方程解： 设点 m 的坐标为, x y，点 p 的坐标为00,xy，由2pmmd，得00,2 8,xxyyxy，即0316xx，03yy因为点 p00,xy在圆224xy上，所以22004xy即2231634xy，即2216439xy，这就是动点m 的轨迹方程x y p o d m 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

3、 - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载变式 3：设点 p 是曲线,0fx y上的任一点，定点d 的坐标为,a b，若点 m 满足(,1)pmmdr当点 p 在曲线,0fx y上运动时， 求点 m 的轨迹方程解： 设点 m 的坐标为, x y，点 p 的坐标为00,xy，由pmmd，得00,xxyyax by，即01xxa，01yyb因为点 p00,xy在圆,0fx y上，所以00,0fxy即1,10fxayb，这就是动点m 的轨迹方程2 （人教 a 版选修 11， 21 第 40 页练习第3 题）已知经

4、过椭圆2212516xy的右焦点2f作垂直于x 轴的直线 a b，交椭圆于a，b 两点，1f是椭圆的左焦点（1）求1af b的周长；（2）如果 ab 不垂直于x 轴，1af b的周长有变化吗？为什么？变式 1（20xx 年全国卷 ） ：设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过 f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若 f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是a22b212c22d21解一： 设椭圆方程为22221xyab，依题意，显然有212pff f，则22bca，即222acca，即2210ee，解得21e选 d解二： f1pf2为等腰直角三角形，cpfcffpf22,21212.apfpf2

5、21，acc222，12121ac故选 d精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载变式 2：已知双曲线22221,(0,0)xyabab的左，右焦点分别为12,ff，点 p 在双曲线的右支上，且12|4|pfpf，则此双曲线的离心率e 的最大值为解一： 由定义知12| 2pfpfa，又已知12|4 |pfpf，解得183p

6、fa，223pfa，在12pf f中，由余弦定理， 得2222218981732382494964coseaacaapff，要求e的最大值，即求21cospff的最小值，当1cos21pff时，解得53e即e的最大值为53解二： 设),(yxp，由焦半径公式得aexpfaexpf21,，214pfpf，)(4)(aexaex，xae35，ax，35e，e的最大值为53变式 3（20xx 年全国卷 ） ：已知椭圆的中心为坐标原点o，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点f 的直线交椭圆于a、b 两点，oaob与(3, 1)a共线（）求椭圆的离心率；（）设 m 为椭圆上任意一点，且 (,)omoao

7、br，证明22为定值解： （）设椭圆方程为)0,(),0(12222cfbabyax，则直线 ab 的方程为cxy，代入12222byax，化简得02)(22222222bacacxaxba. 设 a（11,yx） ，b22,(yx） ，则22222121222222,.a ca ca bxxx xabab由1212(,),(3, 1),oaobxxyyaoaob与a共线，得, 0)()(32121xxyy又cxycxy2211,，.23,0)()2(3212121cxxxxcxx即232222cbaca，所以36.32222abacba，故离心率.36ace（）证明：由（）知223ba，所以

8、椭圆12222byax可化为.33222byx设( ,)omx y，由已知得),(),(),(2211yxyxyx.,2121yyyxxx),(yxm在椭圆上，.3)(3)(2221221byyxx即.3)3(2)3()3(221212222221212byyxxyxyx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载由（）知.2

9、1,23,23222221cbcacxx2222212223,8a ca bx xcab121212122121222233()()43()33930.22x xy yx xxcxcx xxx ccccc又222222212133,33byxbyx，代入得.122故22为定值，定值为1. 3 （人教 a 版选修 11， 21 第 47 页习题 2.1a 组第 6 题）已知点 p 是椭圆22154xy上的一点，且以点p 及焦点1f，2f为顶点的三角形的面积等于 1，求点 p 的坐标变式 1（20xx 年湖北卷理） ：已知椭圆191622yx的左、右焦点分别为f1、f2，点 p在椭圆上，若p、f1

10、、 f2是一个直角三角形的三个顶点，则点p 到 x 轴的距离为a59b3 c779d49解： 依题意，可知当以f1或 f2为三角形的直角顶点时，点p 的坐标为97,4，则点 p 到 x 轴的距离为49，故选 d （可以证明不存在以点p 为直角顶点的三角形）变式 2（20xx 年全国卷） ：已知abc的顶点 b、c在椭圆2213xy上，顶点 a是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在bc边上，则abc的周长是a2 3b6c4 3d 12 解：由于椭圆2213xy的长半轴长3a，而根据椭圆的定义可知abc的周长为44 3a，故选 c精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

11、 - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载4 （人教 a 版选修 11， 21 第 47 页习题 2.1b 组第 3 题）如图，矩形abcd 中，2aba，2bcb，e，f，g，h 分别是矩形四条边的中点，r，s，t 是线段 of 的四等分点，r，s，t是线段 cf 的四等分点请证明直线er 与gr、es 与gs、et 与gt的交点 l，m，n 在同一个椭圆上变式 1：直线:1lykx与双

12、曲线22:21cxy的右支交于不同的两点a、b.若双曲线 c 的右焦点 f 在以 ab 为直径的圆上时，则实数k解： 将直线:1lykx代入双曲线c 的方程2221xy整理，得.022)2(22kxxk依题意，直线l 与双曲线c 的右支交于不同两点，故2222220,(2 )8(2)0,20,220.2kkkkkk解得22k设 a、b 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则由式得.22,22222221kxxkkxx双曲线 c 的右焦点 f ,0c在以 ab 为直径的圆上，则由fafb 得：.0)1)(1()(. 0)(21212121kxkxcxcxyycxcx即整理，得.01)

13、()1(221212cxxckxxk把式及26c代入式化简，得.066252kk解得)(2, 2(566566舍去或kk，故566knmlt/s/r/tsrohgfedcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载变式 2（20xx年广东卷）：a、 b 是双曲线2212yx上的两点，点n（1，2）是线段ab 的中点（）求直

14、线ab 的方程；（）如果线段ab 的垂直平分线与双曲线相交于c、d 两点，那么a、b、c、d 四点是否共圆？为什么？解： （）直线ab 的方程为1yx （求解过程略）（）联立方程组221,1.2yxyx得1,0a、3,4b由 cd 垂直平分 ab，得 cd 方程为3yx代入双曲线方程2212yx整理，得26110 xx记11,c x y，22,d xy以及 cd 的中点为00,mxy，则有12126,11.xxx x从而3,6m21212122244 10cdxxxxx x2 10mcmd又2231602 10mamb即 a、b、c、d 四点到点m 的距离相等故 a、b、c、d 四点共圆变式

15、3（20xx 年湖北卷）：设 a、b 是椭圆223yx上的两点，点n（1，3）是线段 ab 的中点，线段ab 的垂直平分线与椭圆相交于c、d 两点 . （）确定的取值范围，并求直线ab 的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 a、b、 c、d 四点在同一个圆上？并说明理由. （） 解法 1：依题意，可设直线ab 的方程为223, 3) 1(yxxky代入整理，得.0)3()3(2)3(222kxkkxk设是方程则212211,),(),(xxyxbyxa的两个不同的根，0)3(3)3(422kk精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，

16、共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载)3, 1(.3)3(2221nkkkxx由且是线段 ab 的中点，得.3)3(, 12221kkkxx解得k 1，代入得，12，即的取值范围是（12，）. 于是，直线ab 的方程为. 04),1(3yxxy即解法 2：设则有),(),(2211yxbyxa.0)()(33,32121212122222121yyyyxxxxyxyx依题意，.)(3,212121yyxxkxxab.

17、 04),1(3).,12(.12313,)3, 1(. 1, 6, 2,)3 , 1 (222121yxxyabnkyyxxabnab即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是（）解法 1：. 02, 13,yxxycdabcd即的方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得. 04442xx是方程则的中点为又设43004433,),(),(),(xxyxmcdyxdyxc的两根，).23,21(,232,21)(21, 10043043mxyxxxxx即且于是由弦长公式可得).3(2|)1(1|432xxkcd将直线 ab 的方程代入椭圆方程得, 04yx.016842xx同理可得. )

18、12(2|1|212xxkab. |, )12(2)3(2,12cdab时当假设在在12，使得 a、b、c、d 四点共圆，则cd 必为圆的直径，点m 为圆心 .点m 到直线 ab 的距离为.2232|42321|2|4|00yxd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载于是，由、式和勾股定理可得.|2|2321229|2|

19、22222cdabdmbma故当12时， a、b、c、d 四点均在以m 为圆心，2|cd为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：a、b、c、d 共圆acd 为直角三角形，a 为直角即|,|2dncnan).2|)(2|()2|(2dcddcdab由式知，式左边.212由和知，式右边)2232)3(2)(2232)3(2(,2122923式成立，即a、b、 c、d 四点共圆解法 2：由（）解法1 及12. , 13,xycdabcd方程为直线垂直平分代入椭圆方程，整理得.04442xx解得2314,3x. 将直线 ab 的方程,04yx代入椭圆方程，整理得.016842xx解得

20、21222, 1x. 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(dca)21233,23123(ca)21233,23123(da计算可得0daca， a 在以 cd 为直径的圆上 . 又点 a与b 关于 cd 对称， a、 b、c、d 四点共圆 . （注：也可用勾股定理证明acad）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - -

21、 - - -优秀学习资料欢迎下载5 （人教 a 版选修 11， 21 第 59 页习题 2.2b 组第 1 题）求与椭圆2214924xy有公共焦点，且离心率54e的双曲线的方程变式 1（20xx 年北京卷文） ： 已知椭圆1532222nymx和双曲线1322222nymx有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是ayx215bxy215cyx43dxy43解： 依题意，有22223523mnmn， 即228mn， 即双曲线方程为22221163xynn，故双曲线的渐近线方程是22220163xynn，即xy43，选 d变式 2（20xx 年全国卷理） ：已知椭圆的中心在原点，离心率21e，且它

22、的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则此椭圆方程为（）a13422yxb16822yxc1222yxd1422yx解：抛物线xy42的焦点坐标为 （ 1，0） ，则椭圆的1c，又21e，则2a，进而23b，所以椭圆方程为13422yx，选 a6 （人教 a 版选修 11， 21 第 66 页例 4）斜率为 1 的直线l经过抛物线24yx的焦点，且与抛物线相交于a，b 两点，求线段ab 的长变式 1： 如果1p，2p， ，8p是抛物线24yx上的点， 它们的横坐标依次为1x，2x， ，8x，f 是抛物线的焦点，若12810 xxx，则128pfpfpf_解： 根据抛物线的定义，可知12iiip

23、pfxx（1i，2， 8） ，1281288 118pfp fp fxxx变式 2（20xx 年湖南卷理） ： 设 f 是椭圆16722yx的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),ip i使123,fpfpfp，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载解 ： 设11

24、fpa， 则11nf pand， 于 是11nf pf pnd， 即11nf pf pdn，由于21n，122nfpfpacacc，故110d，又0d，故d11,00,1010变式 3（20xx 年重庆卷文） ：如图，对每个正整数n，(,)nnnaxy是抛物线24xy上的点，过焦点f的直线nfa交抛物线于另一点(,)nnnbst（）试证：4(1)nnx sn；（）取2nnx，并记nc为抛物线上分别以na与nb为切点的两条切线的交点试证：112221nnnfcfcfc证明： （）对任意固定的1n,因为焦点(0,1)f,所以可设直线nna b的方程为1nyk x,将它与抛物线方程24xy联立，得2

25、440nxk x，由一元二次方程根与系数的关系得4nnx s（）对任意固定的1n，利用导数知识易得抛物线24xy在na处的切线的斜率2nnaxk，故24xy在na处的切线方程为()2nnnxyyxx，类似地，可求得24xy在nb处的切线方程为)(2nnnsxsty，由减去得2222nnnnnnxsxsytx，从而22224422nnnnnnxsxsxsx，2224nnnnxsxsx，2nnxsx，将代入并注意到4nnx s得交点nc的坐标为) 1,2(nnsx. 由两点间距离公式, 得2222|()42244nnnnnxsxsfc=2222)22(244nnnnxxxx. 从而|2|2|nnn

26、xfcx. 现在2nnx，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，12|nfcfcfc+|1212111(|)2(2|nxxxxx+|1)|nx+22111(22)2(222n+21)2n+=11(21)(22)221nnnn. bn f an cn o x y 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载7 （人教 a

27、版选修 21 第 67 页例 5）过抛物线焦点f 的直线交抛物线于a，b 两点，通过点 a 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点d，求证：直线db 平行于抛物线的对称轴变式（20xx 年全国卷）：设抛物线22ypx（0p）的焦点为f，经过点f 的直线交抛物线于a、b两点点c 在抛物线的准线上，且bcx 轴证明直线ac 经过原点 o证明1： 因为抛物线22ypx（0p）的焦点为,02pf，所以经过点f 的直线 ab 的方程可设为2pxmy，代人抛物线方程得2220ypmyp若记11,a x y，22,b xy，则21, yy是该方程的两个根，所以212y yp因为 bcx 轴，且点c 在准线2p

28、x上，所以点c 的坐标为2,2py，故直线 co 的斜率为21112.2yypkpyx即k也是直线 oa 的斜率，所以直线ac 经过原点o证明 2：如图，记x 轴与抛物线准线l 的交点为e，过 a 作 adl， d 是垂足则adfebc连结 ac，与 ef 相交于点n，则|,|encnbfadacab|.|nfafbcab根据抛物线的几何性质，|af|=|ad|， |bf|=|bc| ，|,|nfabbcafabbfaden即点 n 是 ef 的中点，与抛物线的顶点o 重合，所以直线ac 经过原点oo ebcnf ax y do bcf ax y 精品学习资料 可选择p d f - - - -

29、 - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载8 （人教 a 版选修 11 第 74 页， 2 1 第 85 页复习参考题a 组第 8 题）斜率为 2 的直线l与双曲线22132xy交于 a，b 两点，且4ab，求直线的方程变式 1（20xx 年上海卷）：已知点3,0a和3,0b，动点 c 到 a、b 两点的距离之差的绝对值为2，点 c 的轨迹与直线2yx交于 d、e 两点，求线段de 的长解： 根据双曲线的定义，可知c 的