运用坐标法解决平面向量的最值问题

1、运用坐标法解决平面向量的最值问题运用坐标法解决平面向量的最值问题摘要：本文通过对三个数学例题的简耍分析，简要谈了应如何 运用坐标法解决平而向量的最值问题，并提出了笔者的一些体会。关键词：坐标法；平面向量；最值问题在平面向量中，解决有关最大、最小值问题是高考命题屮一个比 较常见的热点问题，题目主耍考查平面向量的数量积、向量的模、向 量的基本运算等重要知识点。解题的方法除了运用数量积的定义，也 可运用数量积的坐标运算。知识综合运用三角、不等式、函数等内容。 解题的思想体现了数形结合、等价转换、函数与方程等思想方法。在 高考和平时的课堂教学中，学生解题过程时很难联想到引入直角坐标 系、运用坐标建立函

2、数模型、不等式模型解决问题。那么，如何建立适当的直角坐标系呢？ 一是抓住题中直接或间接 的垂直关系；二是抓住题中定量与不定量的关系；三是抓住是否有利 于图形写出方程的简单化；以是抓住点的坐标更容易写出；五是所建 立的直角坐标系不影响求解的结论。下面用具体例子说明建立直角坐标系、运用坐标法解决平面向量 最值问题（以下的解法仅给出坐标法说明,原标准方法在此不再列出）例1. （2010年高考全国卷）已知圆0的半径为1, pa, pb为该 圆的两条切线，a、b为两切点，那么的最小值为（）o解：建立直角坐标系如图，设圆的方程，不妨设p在y轴上，设p （0, t） （t>l）则，化简得故当且仅当时等

3、号成立，的最小值为.说明：在例1中原题中没有给出图形，学生在解决问题时虽然能 作出图形，由于点p的不确定性，所以学生不容易联想到建立直角坐 标系把问题代数化，在p点的选择技巧上，由于圆外一点均可作出圆 的两条切线，并且无论点p位于何处，总可以以p0为x轴或y轴建 立适当的直角坐标系。本题运用了重要的知识点一一平均值不等式求 最值。例2. （2011高考全国卷）设向量满足，则的最大值等于（）解：建立直角坐标系如图，设则ac, bc的斜率化简得：即圆的最大值即为圆m上的点到原点距离的最大值为.说明：在原题冃中没有给出相应的图形，在画出的常规图形也难 以使学生联想出到建立直角坐标系，用坐标法去解决问

4、题。在原标准 解法中，难点在于学生在作图中存在不定点c的确定，还有向量夹角 的理解，另一难点发现不了对角互补时四点共圆，且在情况下，才使 得0c可以过圆心，作为直径吋，弦长最大即最大。对于运用坐标法 解决问题，学生存在对建立坐标的意识不够，对如何建立适当的直角 坐标系，认知也不透。木题考虑到的特殊性，并且坐标易写出的特征， 问题得以转化为坐标法，再进一步结合了儿何法解决。例3. （2009安徽高考）给定两全长度为1的平面向量和，它们 的夹角为1200,如图所示，点c在以0为圆心的圆弧ab上变动，若， 其中，则的最大值是解：不妨令，问题转化为求的最大值，如图建立宜角坐标系，则，点c在圆上即由平均

5、值不等式且所以的最大值为2 （这里也可以令构造函数模型）说明：在原标准解法中，在两边点乘向量、转化为模，且点乘后 相加，还有得出，在教学中发现，学生都不容易推理得到。本题从所 给出的图形中就可以联想到建立坐标系，由a, b的坐标写出c点坐 标进一步构造成不等式或函数的模型解决问题。从以上三道例题可以看出，在解决向量数量积、向量的模、向量 的夹角等有关问题，以及在求有关最大、最小值问题时，常常会碰到 某些难以突破的儿何关系。在题目所给出的儿何条件、儿何关系或所 隐藏的儿何关系和对较难寻找的情况下，运用数量积的定义、向量的 儿何意义难以完成解题思路吋，培养学生建立直角坐标系、运用处标 法解决问题的意识、运用向量的坐标运算、寻找岀变量与变量z间的 关系、运用函数与方程求最值的方法、平均值不等式等解决问题的方 法是一种非常好的思想方法。这使学牛在碰到困难时，有更强的解决 问题的能力。所以，在教学中，教师要想办法贯穿儿何法、坐标法两 条教学主线，让学生能在学习中站在高处看问题