高中数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件2 北师大版选修2-2

1、鲁班给铁皮加上齿制成了锯，便于切割。对我们的启发：对我们的启发：最早的餐刀和水果刀相似，怎样对餐刀进行改造？加上齿加上齿 即：类比推理是由即：类比推理是由特殊到特殊特殊到特殊的推理的推理类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤：观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论222121212,()221aaaaa ar例例 ：若若则则有有不不等等式式成成立立， 此此不不等等式式能能推推广广吗吗？“没有大胆的猜测就没有伟大的发明” 牛顿牛顿问题：有学生根据等式的性质类比不等式的性质。问题：有学生根据等式的性质类比不等式的性质。等式的性质：等式的性质：(1) a=ba+c=b+c;(2

2、) a=b ac=bc;(3) a=ba2=b2;等等。等等。类比不等式的性质：类比不等式的性质：(1) aba+cb+c;(2) ab acbc;(3) aba2b2;等等。等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？ 123(),()()_,()2nnnnnannaaaabnnnannbnn例例 ：若若数数列列是是等等差差数数列列，则则数数列列也也是是等等差差数数列列。类类比比上上述述性性质质，相相应应的的：若若数数列列是是等等比比数数列列，则则数数列列也也是是等等比比数数列列。123nna a aa “ “类比是一个伟大的引路人类比是一个伟大的引路人, ,求

3、解立体几何往往求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题有赖于平面几何的类比问题.”.” 数学家波利亚数学家波利亚 . . .例例3.半径为半径为r的圆的面积的圆的面积 ，周长，周长 若将若将r看作看作 上的变量，则上的变量，则 ，式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为圆的周长函数。对于半径为r的球，若将的球，若将r看看作作 上的变量，请你写出上的变量，请你写出 类似于类似于的式子：的式子：_，式可用语言叙述为式可用语言叙述为_ _ 2)(rrsrrc2)(), 0( rr2)(2)34(3r.42r球的体球的体积函数的导数等于球

4、的表面积函数。积函数的导数等于球的表面积函数。), 0( 24rabacabcdab =bd bc.defpdefpo例例 ：在在平平面面几几何何中中，有有射射影影定定理理“在在 t t a ab bc c中中，点点 在在边边上上的的射射影影为为 ，有有”类类比比平平面面几几何何定定理理，研研究究三三棱棱锥锥的的侧侧面面积积与与射射影影定定理理，地地面面面面积积的的关关系系，可可以以得得出出的的正正确确结结论论是是：“在在三三棱棱锥锥中中，面面d de ef f, ,面面d df fp p, ,面面d dp pe e两两两两垂垂直直，点点 在在底底面面上上的的射射影影为为 ，则则有有_ _ _

5、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .”2defoefefps=ss例例5：类比平面内直角三角形的勾股定：类比平面内直角三角形的勾股定理理,试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想 例例6:已知三角形的面积为已知三角形的面积为 其中其中a、b、c 为三角形边长，为三角形边长，r 为内为内 切圆的半径。利用类比推理写出四面切圆的半径。利用类比推理写出四面 体的体积公式。体的体积公式。rcbas)(21 rssssv)(31321练习练习1 1：正三角形内任意一点到三边距：正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值。离之和是一个定值。正四面体内任

6、意一点到四个面的距离之和正四面体内任意一点到四个面的距离之和是一个定值。是一个定值。 “ “每当理智缺乏可靠论证的思路时，每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往指引我们前进。类比这个方法往往指引我们前进。”康德 从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理小结： 对这两种推理在数学活动中的作用，对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家著名的数学教育家 g g 波利亚作了精辟波利亚作了精辟的论

7、述：的论述：“数学的创造过程与任何其他知数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思详细的证明之前，先得推测证明的思路创造过程是一个艰苦曲折的过程数路创造过程是一个艰苦曲折的过程数学家创造性的工作是论证推理，即证学家创造性的工作是论证推理，即证明但这个证明是通过合情推理、通过猜明但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的想而发现的”练习练习2 2：计算机中常用的十六进位制是逢：计算机中常用的十六进位制是逢进的计算制，采用数字进的计算制，采用数字- -和字母和字母- -共个计数符号，这些符号与十进制共个计数符号，这些符号