高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其线性运算课件6 苏教版选修2-1

1、一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量 平行(共线)向量、相等向量、相反向量1、定义2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)k向量的数乘aa b首尾相连共起点，指向被减3、平面向量的加法、减法与数乘运算律bkakbakcbacbaabba)()()(推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnaaaaaaaaaa11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221aaaaaaaan二、平面向量的

2、运算及其性质 运算运算类型类型 几何方法几何方法 坐标方法坐标方法 运算性质运算性质 向向量量的的加加法法向向量量的的减减法法平行四边 形法则三角形法 则 三角形法则 ab(x1x2，y1y2)ab(x1x2，y1y2)abba(ab)c a(bc)abbcacaba(b)abbaoboaab运算运算类型类型 几何方法几何方法 坐标方法坐标方法 运算性质运算性质 向向量量的的数数乘乘向向量量的的数数量量积积),(yxa a是一个向量是一个向量0时，时， a与与a同向；同向；0时，时， a与与a反向；反向；0时时,a0 0aa)()( aaa )(baba )(baba /2121yyxxba

3、abba )()()(bababa cbcacba )(22|aa 22|yxa |baba a b 是一个数是一个数a b |a|b|cos三、定理及重要结论 1、向量共线定理 如果有一个实数如果有一个实数，使，使ba(a0)，那么，那么b与与a是共线向量；反之如果是共线向量；反之如果b与与a(a0)是共是共线向量，那么有且只有一个实数线向量，那么有且只有一个实数，使，使ba.2、平面向量基本定理如果如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量a，有且只，有且只有一对实数有一对实数1、2，使得，使得a1e1

4、2e2. op (oaob)的几何意义？的几何意义？12存在存在， 使使ba(a0)x1y2x2y1x1x2y1y20ab0bb3、两个向量平行的充要条件：4、两个向量垂直的充要条件：若若 =(x1,y1)、 =(x2,y2)则则 / 的充要条件是的充要条件是 .(坐标表示坐标表示)aa/ 的充要条件是的充要条件是 ； (向量表示向量表示) a b 的充要条件是的充要条件是 ； (向量表示向量表示) ab若若 =(x1,y1)、 =(x2,y2)则则 的充要条件也可是的充要条件也可是 . (坐标表示坐标表示)aabb在空间，我们把具有大小和方向的量在空间，我们把具有大小和方向的量 叫做空间向量

5、叫做空间向量. 空间向量的表示空间向量的表示相等的向量（同一向量）相等的向量（同一向量） 空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示同一平面内的两条有向线段表示 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们量中有关结论仍适用于它们oaaboboboaabopa(r)一、空间向量的一、空间向量的运算运算oacbp空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广abba(ab)c a(bc)(ab)ab(r)二、空间向量的二、空间向量的运算

6、律运算律加法交换律加法结合律数乘分配律aa1cc1bdd1b1abc会证吗？加法结合律：加法结合律：)()(cbacbaabcab+c+()oabcab+abcab+c+()oabcbc+如果表示空间如果表示空间向量的有向线段所向量的有向线段所在的直线互相平行在的直线互相平行或重合，那么这些或重合，那么这些向量叫做向量叫做共线向量共线向量或或平行向量平行向量.aa1cc1bdd1b1abc零向量与任何向量共线！零向量与任何向量共线！向量向量 与向量与向量 平行，记作平行，记作 / .aabb三、共线向量定理三、共线向量定理对空间任意两个向量对空间任意两个向量a、b(a0)，b与与a共线的充要条

7、件是存在实数共线的充要条件是存在实数，使，使ba.例例1、在三棱柱、在三棱柱abca1b1c1中，中，m是是bb1的中点，化简下列各式，并在图中的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：标出化简得到的向量：cbba1；accbaa1；aa1accb.12acba1c1b1m例例2、在长方体、在长方体oadbcadb中，中，oa=3，ob4，oc2，oiojok1，点，点e、f分别是分别是db、db的的中点，设中点，设oii，ojj，okk，试，试用用i、j、k表示表示oe和和of.cadboabdefikj342abcda1b1c1d1g11121)4()(31)3()2()1 (cc

8、adabaaadabaaadabbcab;)1 (acbcab解：1111)2(acccacaaacaaadabm例3：已知平行六面体abcd- -a1b1c1d1, 化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图) 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量例4：已知平行六面体abcd- -a1b1c1d1，求满足下列各式的x的值。abcda1b1c1d1111111 )3(2 )2(acxadabacacxbdadacxccdaab1111 ) 1 (abcda1b1c1d1ccdaab1111 : 解解. 1 1111xaccccb

9、abacxccdaab1111 ) 1 (例4：已知平行六面体abcd- -a1b1c1d1，求满足下列各式的x的值。abcda1b1c1d1112 :bdad解 111bdadad)(111bdbcad111cdad 1ac1112 )2(acxbdad. 1x111 )3(acxadabac例4：已知平行六面体abcd- -a1b1c1d1，求满足下列各式的x的值。abcda1b1c1d111 :解adabac )()()(11adaaabaaabad)( 21aaabad12ac111 )3(acxadabac. 2x例4：已知平行六面体abcd- -a1b1c1d1，求满足下列各式的x

10、的值。1、在长方体、在长方体abcda1b1c1d1中，如图中，如图所示，所示，a1b1a，a1d1b，a1ac，e、f、g、h、p、q分别是分别是ab、bc、cc1、c1d1、d1a1、a1a的中点，的中点，求证：求证：efghpq=0.d1abca1c1b1efdgfhpq2、如图所示在平行六面体、如图所示在平行六面体abcda1b1c1d1中，中，a1b1a，a1d1b，a1ac，n是是c1d1的中点，的中点，q在在ca1上，且上，且cq qa14 1.用用a、b、c表示向量表示向量aq；若若anxaybzc， 求求x、y、z的值的值.abcdnqa1b1c1d1abmcgd)(21 )

11、 2()(21 ) 1 (acabagbdbcab练习1在空间四边形在空间四边形abcd中中,点点m、g分别是分别是bc、cd边的中点边的中点,化简化简abmcgd)(21 )2()(21 ) 1 (acabagbdbcabagmgbmab原式) 1 ()(21 acabmgbmab(2)原式)(21 acabmgbmmgmbmgbm 练习1在空间四边形在空间四边形abcdabcd中中, ,点点m m、g g分别是分别是bcbc、cdcd边的中点边的中点, ,化简化简abcddcba) ( ) 1 (ccbcabxacadyabxaaae ) 2 (练习2在立方体在立方体ac1中中,点点e是面

12、是面a c 的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x,y.eabcddcba) ( ) 1 (ccbcabxac练习2e在立方体在立方体ac1中中,点点e是面是面ac 的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x,y.abcddcbaadyabxaaae ) 2 (练习2e在立方体在立方体ac1中中,点点e是面是面ac 的中心的中心,求下列各式中的求下列各式中的x,y.3oaobocog 若o o为为abcabc平面外一点平面外一点, ,如果如果 那么那么g g的位置在图中哪里的位置在图中哪里? ?2oaobog obca思考思考: :ombgca若 g为abc的重心,证明 3oaobocog 2o ao bo m222occm om ococoa oboa ob 而2233occgcmoa ob 233ococogoc cgocoa oboa ob 平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义