次课线性变换课件

1、1.1 导入导入次课线性变换PPT课件一、线性变换的概念一、线性变换的概念 二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数 4.5 向量组及线性组合 三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换1.1 导入导入次课线性变换PPT课件一、线性变换的概念一、线性变换的概念 前面我们学习了线性空间的概念，这节课我们来学习线性代数中的另一个重线要概念性变换。:VWT VW我们可以在两个向量空间 和之间建立一种对应关系，这就是映射。但为了研究线性空间的结构，仅仅是映射还不够，我们还需要它满足下列要求：). ()( )( ), ,iT xyT xT yx yV保持加法运算：). ()( ), ,.niiTxT

2、xxV 保持数乘运算：T满足上述两个条件的映射 称之为或线性映射线性变换。1.1 导入导入次课线性变换PPT课件: ( ),nmAnAAAmnTTxAxxT 设 是一个实矩阵，定义如下：则是一个例1.线性变换。111( , ) , 1( , ) , :( , )( , )( ) ()( ), ( , ), , ,Ca ba bC a ba bD Ca bC a bdf xDfxfCa bxa bdxD 设是定义在区间上的具有 阶连续导数的函数的全体，是上的连续函数的全体，定义映射如下则 是一个例2.线性变换。:(0)0.T VWT线性变换一定满足注1：1.1 导入导入次课线性变换PPT课件1(

3、 , ) , :( , )( , ) ()( )( ), ( , ), , ,xaCa ba bS C a bC a bSfxf s dsfC a bxa bS 设是定义在区间上的连续函数的全体，定义映射如下则 是一个线例3.性变换。VV通常称向量空间 到其自身的线上的线性变换为性变换。.:T VWTTVW 设是线性变换，如果 还是单满映射，则称 是从 到的定义51线性同构。:,( )nnAAnAnTxTxAx设 是一个 阶的非奇异方阵，则 例4 是上.的线性同构。1.1 导入导入次课线性变换PPT课件二、像空间与核空间二、像空间与核空间 : Im( )():.)(T VWTT VT vvVW

4、T 设是线性变换，则构成的一个线性子空间，称为线性定义51像变换 的，空间简称像。1212( )0(0)( )( ),( ),T VWWTT VT Vw wT Vv vV确实构成的一个子空间。事实上，中的零元素，因此非空；其次若注2：，则存在使得1122( ), (),T vwT vw121212111 ()( )(), ()( ),T vvT vT vwwTvT vw1.1 导入导入次课线性变换PPT课件121 , ( ),wwwT V( )( )T VWT VW这说明对中的加法与数乘运算封闭，因此构成的线性子空间。: Ker( ): ( )0.2T VWTvV T vVT 设是线性变换，则

5、构成 的一个线性子空间，称为线定义5核空间性变换 的，简称核。12Ker( )(0)00Ker( )Ker( ),( )TVTTTv vT V我们可以验证确实构成 的一个注2：子空间。事实上，因此非空；其次若，则1.1 导入导入次课线性变换PPT课件12121211( )0, ()0,()( )()0, ()( )0,T vT vT vvT vT vTvT v121, Ker( ),vvvTKer( )TVV这说明对 中的加法与数乘运算封闭，因此构成的线性子空间。 :). Im( );). Ker( )10 .T VWiTTWiiTT 设是线性变换，则是满射当且仅当是单射当且仅当定理5 )Ke

6、r( )0iiiTWT 是显然的，我们只需证。若 是单射，则中的零元素具有唯一的原像，因此证明：；1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 12121212Ker( )0( )()()00,TT vT vT vvvvvv反之，若，则T因此 是单射。:dimdimdim:2dim.VWT VWVWVWT VW 设 和都是有限维线性空间，若是线性同构，则；反之，若，则存在线同构定理5性121122:,(),(),()dimdimnnnT VWVTTTWVW 若是线性同构，设是 的一个基，则是的证明一个基，从而：。事实上112211220()0nnnncccT ccc1.1 导入导入次课线性变换PPT

7、课件11220nnccc120,nccc12,n 因此线性无关；12121122( ), ,nnnnwWvVT vwVvvddd 其次，对任意的，存在使得，由于是 的基，因此 可以由线性表示：11221122( )(),nnnnwT vT dddddd12,nw 即 可以由线性表示。1212dimdim,:nnVWVWT VW 反之，若，设和分别是 和的基，则按如下方式定义映射( )( )( )( )( )( )11221122( ),xxxxxxnnnnxcccT xccc1.1 导入导入次课线性变换PPT课件( )( )TT xT y则容易验证 是线性映射，且若，则( )( )( )( )

8、( )( )11221122=,xxxyyynnnncccccc( )( )( )( )( )( )1122, , , ,xyxyxynncccccc( )( )( )( )( )( )11221122=,xxxyyynnnncccccc,xyT因此 是单射；121122,nnnwWc ccwccc其次，对任意，存在系数使得 1122( )nnvcccT vwT令，则，因此 是满射；T综上所述，因此 是线性同构。1.1 导入导入次课线性变换PPT课件,:dimKer( )dimIm(.3).V WnmT VWTTn 设分别是 维和 维的线性空间，是一个线性变换，则定理512121dimKer(

9、 ),dimKer( ) ,kkknTkTV 设，是的一个基，则通过添加元素将其扩充为 的一个基：证明：112212(), (),() ,Im( )( )dimIm( )kkkknnkknTTTTT VTnk记，则构成的一个基，从而，dimKer( )dimIm( )().TTknkn1.1 导入导入次课线性变换PPT课件三、齐次线性方程组的解空间三、齐次线性方程组的解空间 0 (1)AxAmnxn现在我们来考虑齐次线性方程组 的解，其中 是的系数矩阵， 是 维的未知向量。:,( ),nmAATxTxAx定义线性变换 0( )0,AAxTx则 Ker().AATT因此方程组(1)解集就是线性变

10、换的核空间Im()AATT的像空间又是什么呢？1212112212,(,)( ),( ,),nnTnAnnnAATxAxxxxxx xx 设是矩阵 的列向量，则 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件12 Im()Span,.AAnTAT 的像空间就是矩阵 的列向量所生成线性空间，即12,( ) dimIm()( ),nAAAR ATR A 由于矩阵 的列向量组的秩等于矩阵 的秩，因此 dimKer()dimIm()( ),AATnTnR A再由定理5.3，于是我们得到了下面的重要定理：(1)(.4).nR A 齐次线性方程组的解空间的维数是定理51.1 导入导入次课线性变换PPT课件12(

11、)(1) ,n rR Arnrnr 现在设，则线性方程组的解空间的维数是，因此任意个线性无关的解向量都构成解空间的一个基，我们称之为线性方程组(1)的基础解系；121 122(1),n rn rn rxccc 线性方程组的任何一个解都可以由线性表示 我们称之为线性方程组(1)的通解。(B行初等变换求基础解系的方法：A最简形阶梯矩阵)1.1 导入导入次课线性变换PPT课件00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax1.1 导入导入次课线性变换PPT课件现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1

12、rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分别别代代入入., 100, 010, 0011.1 导入导入次课线性变换PPT课件依次得依次得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,1.1 导入导入次课线性变换PPT课件例例5 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,00

13、00747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 .7475,7372432431xxxxxx 便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对对应应有有xx,107473,01757221 即得基础解系即得基础解系1.1 导入导入次课线性变换PPT课件).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解1.1 导入导入次课线性变换PPT课件例例6 解线性方程组解线性方程组 07653023055

14、3203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A对系数矩阵施对系数矩阵施行初等行变换行初等行变换1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 00000000001311034111 ,rn,n,rAR352 即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量. 543254321334xxxxxxxxx代代入入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 1001.1 导入导入次课线性变换PPT课件所以原方程组的

15、一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为, 001121 故原方程组的通解为故原方程组的通解为.kkkx332211 .k,k,k为为任任意意常常数数其其中中321,xx 1221依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件我们再来看几个其他的应用。0( )( )m nn lABR AR Bn设，试证例7.1212( ,)(,)(0,0,0),llBb bbABAb AbAb设，则 证明：040( )BAxAxnR A因此 的列向量都是方程组的解，根据定理5.，方程组的解空间的维数是，因此( )( ),R BnR A( )( )( )

16、( ).R AR BR AnR An从而 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件, 00m nl nABAxBx证明矩阵的行向量组相互等价的充要条件是齐次方程组与例8.同解。0000AxABxAxxB必要性是显然的，往证充分性。设证明：若与同解，则与亦同解，( )( )AR AR BRB于是，即()()(,),TTTTR AR BR ABTTAB从而与的列向量相互等价，AB即 与 的行向量相互等价。1.1 导入导入次课线性变换PPT课件例例9).()(ARAART 证证明明证证.,维维列列向向量量为为矩矩阵阵为为设设nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxxTT即即则则有有满满

17、足足若若 . 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAxTTTT从而推知从而推知即即则则满足满足若若 ,0)(0同解同解与与综上可知方程组综上可知方程组 xAAAxT).()(ARAART 因因此此1.1 导入导入次课线性变换PPT课件.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明 . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质四、非齐次线性方程组的解四、非齐次线性方程组的解 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件证明证

18、明 AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bAxx 证毕证毕.,0,2)( 的的解解仍仍是是方方程程则则的的解解是是方方程程的的解解是是方方程程设设bAxxAxxbAxx 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件.11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程组的任意一个特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为1.1 导入导入次课线性变换PPT课件与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx ;, 21线

19、线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的的秩秩相相等等与与矩矩阵阵矩矩阵阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件例例9 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行变变换换对对增增广广矩矩阵阵B 2132111311101111B,00000212100211011 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件并并有有故故方方程程组组有有解解可可见见, 2)()( BRAR .212,2143421

20、xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个解即得方程组的一个解.021021 取取中中组组在在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程,2,43421 xxxxx 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件,100142 及及xx,210131 及及则则xx程组的基础解系程组的基础解系即得对应的齐次线性方即得对应的齐次线性方,1201,001121 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件于是所求通解为于是所求通解为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx 1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 .123438,23622, 2323, 754

21、32154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 12134382362120231213711111B例例10 求下述方程组的解求下述方程组的解1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 0000000000002362120711111 .,知知方方程程组组有有解解由由BRAR , 3, 2 rnAR又又所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组 236227543254321xxxxxxxxx1.1 导入导入次课线性变换PPT课件求基础解系求基础解系.100,010,001543 xxx 令令依次得依次得.32,10,2

22、12121 xx 236227543254321xxxxxxxxx代入代入1.1 导入导入次课线性变换PPT课件.10032,01010,0012121321 求特解求特解.223,29, 021543 xxxxx得得令令所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系1.1 导入导入次课线性变换PPT课件.0002232910032000100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk另一种解法另一种解法 12134382362120231213711111B1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 0000000000002362120711111

23、00000000000022331211029202101则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组1.1 导入导入次课线性变换PPT课件 223321292215432531xxxxxxx 5544335432531223322922xxxxxxxxxxxxx所以方程组的通解为所以方程组的通解为1.1 导入导入次课线性变换PPT课件.0002232910032010100012121321 kkkx.,321为为任任意意常常数数其其中中kkk1.1 导入导入次课线性变换PPT课件五、线性变换的矩阵表示五、线性变换的矩阵表示121212,:(), (), (),nnnVnVT VVTTT 设 是一个 维向量空间，是 的一个基，是线性变换，则可以由线性表示11112121212122221122(),(),().nnnnnnnnnnTaaaTaaaTaaa1212(,)( (), (), ()nnTTTT 记，则上式可表示为1.1 导入导入次课线性变换PPT课件1212111212122212(,)(,) , .nnnnnnnnTAaaaaa