拱的侧倾课件

1、拱的侧倾第第8章章 拱的面外稳定拱的面外稳定任课教师：强士中拱的侧倾第8章 拱的面外稳定n拱的弯扭变形基本方程n简单拱的侧倾n非保向力效应n拱桥侧倾的有限元方法拱的侧倾8.1 拱的弯扭变形基本方程拱的侧向弯曲和扭转微分方程：拱的侧向弯曲和扭转微分方程： (1)yydzzEIMGIEIM拱的侧倾变形几何关系变形几何关系绕绕y轴的转角增量：轴的转角增量：变换为：变换为：挠曲率：挠曲率： (2)绕绕z轴的转角增量：轴的转角增量：变换为：变换为：挠曲率：挠曲率： (3) (4)cossindddddd yddddsdsR cossindddddd zddddsdsR 221yzd uRdsddudsR

2、 ds拱的侧倾力的平衡条件 (5) (6) (7)sincos0FQdQp dsNdQd0ydQp dsNds0ydQpNdscossin0nMMdMMdMdm dsQ ds0ndMMQmdsRcossin0MMdMMdMdm ds0dMMmdsR拱的侧倾(5)式中取式中取 ，(6)式中忽略式中忽略 则有：则有： (8)侧倾平衡方程：侧倾平衡方程： (9)将式将式(1)、(4)代入到式代入到式(9)，可得：，可得： (10)NN0ydQpNds0dMMQdsRm220zd MMdNpdsdsR00zMMRNpMMRm 00dyydGIEIuuEIuNupRRRRRREIuuGIEIumRRRR

3、 拱的侧倾等截面圆弧拱，式等截面圆弧拱，式(10)，可写为：，可写为： (11)(4)(4)22(4)(4)200yddydyydEIGIEIGIEINEIuN upRRRRRGIEIEIEIuuEIGImRRR拱的侧倾8.2 简单拱的侧倾均布径向荷载矩形等截面圆弧拱均布径向荷载矩形等截面圆弧拱代入式代入式(11)，则有：，则有： (12)式中：式中：圆拱侧倾微分方程：圆拱侧倾微分方程： (13)0INqRsinqqq0m(4)22111010uuRRuRR4224222222111010d ud udRddd udRRdd ydEIGI3yqREI4242210dddd 刚度比刚度比本征参数

4、本征参数拱的侧倾微分方程式微分方程式(13)(13)的解为：的解为： (14)(14) (15) (15) (16)铰支拱铰支拱边界条件：边界条件： 及及 时，时，代入式代入式(14)(14)，则有：，则有： 及及 所以：所以： (17)(17)11sincosshchAkBkCkDk222122k2122122k000 0BCDsin0ksin0Akknmink 拱的侧倾将式将式(17)(17)代入式代入式(15)(15)，可得：，可得： (18)(18)将本征参数将本征参数 代入上式，有：代入上式，有： (19) (19) 由边界条件可得：由边界条件可得： (20)(20)2222223y

5、qREI222233211yycrEIEIqRR sinA2222211ycrcrEINq RS 拱的侧倾固端拱边界条件：边界条件： 及及 时，时，代入式代入式(14)(14)，则有：，则有：可解得：可解得： (21)若若k1足够小，则足够小，则 (22)000 11111110sincosshch00cossinchsh0BDAkBkCkDkkAk CkAkkBkk Ckk Dk2211112sinsh2cosch0kkkkkkk k2112sin2cos0kkkkk k2sin2cos0kkk拱的侧倾式式(22)(22)的解为：的解为：所以：所以：min2k 2222212212ycrcr

6、EINq RS拱的侧倾开口薄壁等截面圆弧拱开口薄壁等截面圆弧拱 (23)式中：式中：半波对称侧倾变形半波对称侧倾变形利用伽辽金法，可得：利用伽辽金法，可得： (24) 6426421210dddddd 2dEIGI Rsinc222222111ycrcrEINq RS 拱的侧倾8.3 非保向力效应均布径向荷载作用下的等截面圆弧拱均布径向荷载作用下的等截面圆弧拱侧倾后的变形能：侧倾后的变形能：将式将式(1)代入上式，得：代入上式，得： (25)将式将式(2)、(3)代入上式，得：代入上式，得： (26)1122yzssUUUMdsMds221122yydzssUEIdsGIds222222001

7、111122ydd udduUEIRdGIdRR dR dR d2223230022ydEIGId udduRdRdRdRdd拱的侧倾外力势能：外力势能： 拱轴不可压缩条件：拱轴不可压缩条件：则：则： (27)总势能：总势能： (28)可由瑞利法求得临界荷载。可由瑞利法求得临界荷载。侧向铰支圆弧拱侧向铰支圆弧拱代入式代入式(12)中的第二式中的第二式ssVqvdsq vds 22ssRduvdsdsds22022sqRduqduVdsddsddd udduqduUVEIRdGIddRR dR dR ddsinA拱的侧倾 (29)积分一次积分一次 (30)将式将式(29)、(30)代入式代入式(28)，由瑞利法可获得拱侧倾，由瑞利法可获得拱侧倾时临界荷载：时临界荷载： (31)将式将式(30)积分一次积分一次 (32)2222221sin11d udRRARdd 22cos1duARd22223211ycrEIqR 200012uquVRdudqu dR 222sin1uAR拱的侧倾将式将式(32)(32)代入式代入式(31)(31)，得：，得： (33)(33)由由 可解得侧倾临界荷载：可解得侧倾临界荷载