2020届浙江省之江教育联盟高三上学期9月第一次联考数学试题(解析版)

1、2020届浙江省之江教育联盟高三上学期9月第一次联考数学试题、单选题1 .已知集合A xx1,B *0,则（）A. A B x x 0 B. aJ B R C. A B x x 1 D. A。B【答案】A【解析】分别根据集合交集与并集定义求解，再判断选择【详解】因为 A x x 1 , B x x 0 ,所以 AB xx 0 , A B x x 1 ,故选：A【点睛】本题考查集合交集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题 222.若双曲线x2与1（ a a bA. y 2xB. y【答案】B【解析】由双曲线的离心率为【详解】由题，因为e c 卜与 a a所以渐近线方程为 y x,故选:B【

2、点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程0, b 0）的离心率为42，则其渐近线方程为（）xC. y . 2xD. y *2-1b_J2,即可求得渐近线方程y bx.a:a2a,考查双曲线的离心率的应用2x 3y 33.若实数满足约束条件2x 3y 3y 1 0A. 5B. 9【答案】C【解析】由不等式组画出可行域，根据y代入求解.【详解】由不等式组画出可行域，如图所示，00 ,则z 2x y的最大值是（）C. 5D. 92x z ,即在可行域内找到满足截距最大的点，进而因为z 2x y,则y 2x z,作出直线y 2x z ,平移直线，当过点A时，截距最大，此时点 A 3, 1，则 z 2 3 1

3、 5,故选:C【点睛】本题考查利用线性规划求最值，考查数形结合思想.4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积（单位：cm）是（）工盟惘怖检用1A. 420 12.113B. 420 12 -11C. 420 12 10第1页共21页D. 420 12 10由三视图可分析，该组合体为一个直径为2的球及一个棱台，由此求得表面积.由图可得该组合体为一个直径为2的球及一个棱台，则球的表面积为412棱台的表面积为2 22 432 12 42012、10,故该几何体的表面积为42012,10 ,故选:D本题考查由三视图求组合体的表面积，考查空间想象能力.5.在同一平面直角坐标系中，函

4、数f x xa x 0 , glog 2a的部分图象可能是（A.B.a> 1C.对底数a进行讨论，结合募函数,对数的性质可得答案;D.时，哥函数f-1log1 x 一a 20< a<1,哥函数fax在0,0且 a 1)xa在 0,递增且过0,0 ,由01 d一1,得 a递减函数,0；是递增且过x lOgAa1x -第3页共21页一- 一1是递增函数，且g 0 log 1 - 0 . a 232第5页共21页时，哥函数f xax在a>1时比在0V av 1增长的快.故选:【点睛】本题考查了对数函数、哥函数的图象和性质，分类讨论思想，属于基础题.6. “a 3”是“关于x的

5、不等式|2x 1|x 1 a有解”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3x,x2x 1 x2,2x 1,由函数图象可得 f x的最小值，即求3x,x 1得a的范围，进而判断a|a与其关系，即可得到结论.2 3x, x由题，设f x 2x 1x 2,3x,x图象如图所示，1.当x 2时，fxW得最小值为八/3若不等式2x 1 x 1 a有解，则a万，3因为 a | a 3 a |a -,所以“ a 3”是“关于x的不等式|2x 1 x 1 a有解”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题考查求分段函数最小值，考查充分条件与必要条件的判定，考查分类讨论思想7

6、.在四面体 ABCD 中，AB BC, BC CD, AB BC CD 1, AD J3 ,点 E为线段AB上动点（包含端点），设直线DE与BC所成角为 ，则cos的取值范围为（）B.D.A.C.【解析】先利用勾股定理可得 CD AC,则CD平面ABC,再建立空间直角坐标系，利用空第#页共21页间向量及数量积求解即可由 AB BC, AB BC 1,所以 AC ， 又 AD V3, CD 1,所以 CD2 AC2 AD2,则 CD AC ,因为BC CD ,所以CD 平面ABC,如图所示建系，0,1则 B 0,0,0 , D 0,1,1 , C 0,1,0，设 E x,0,0BC0,1,0 ,

7、 EDx,1,1所以cos3 22X23，2故选:D【点睛】本题考查空间向量法求异面直线成角，考查空间想象能力.8.设椭圆C的两个焦点是Fi,F2,过点Fi的直线与椭圆C交于点P,Q3PFi4QFi则椭圆C的离心率为（PF2|FiF2 ,且A.i3B.C. 35QF2 ,由题可设PF1DQ由题，PF2因为3 PFi4k, QFi 3k ,作F2DPQ ,利用椭圆的定义用PD , PF2，再根据勾股定理可得 a,c的齐次方程,进而求解.叫 2c,则|PFi2a PF22a 2c,a,c,k表不4QFi ,设阳4k, QF1 3k.八 八,i，则 4k 2a 2c,即 k 2且 QF2 2a QF

8、i 2a 3k,作F2D PQ,则根据勾股定理可得即2c22kPDFiD22PF2 PD22a 3k解得a5c或ac （舍），2k,所以DQ_2_ 2QF2 DQ ,25k ,整理可得5k,_ 2_ 2_ 一5a 7c i2ac 0,所以e故选:B第6页共2i页【点睛】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆的定义的应用，考查数形结合思想.9.已知数列an,满足a1 3,an 1ananN ），则使an42020成立的最小正整数A. 10B. 11C.12D. 13an 1an 1 由一anan 11由题，因为an 1ananan2可得a112,即an2加 1an（ 21 ，则可得，即不等式an, 20

9、20 .4 转化为nW 1421 4 2020,进而求解.2an2an,所以an2an2anan则a2 12a1 1 , a3a2a1221，anan 1a12n 11所以an2n 1142 ,即 an1,因为an, 2020n 14，即 42d . 2020 又门1 4，乂 n，所以12,故选:C本题考查构造法求数列的通项公式，考查解数列的不等式.10.设函数f xVlnxXa (a R ),若存在 Xo2.3，使得ff XoXo,则的取值范围为（A.ln3 3,ln2B. ln3 6,ln 2C.ln3 6,ln 2D. ln2 2,ln3第15页共21页1，则当9,【解析】由f f %X

10、o可得f X f X ,利用反函数的性质可得f XoXoX02,3时f X02,3，即In Xo Xo 9 a In Xo Xo 4,进而利用单调性求解【详解】因为 f f XoXo,所以 f 1 X f X ,因为f x与f 1 x关于直线y x对称，所以f XoXo,因为 Xo2,3，所以 fXo2,3，即 2JlnXoXoa 3,则 4 InX。X。a所以 In xo xo 9 a lnxo xo 4,设hx Inx x,因为hx在x 2,3上单调递增，所以hx 2 ln2,3 ln3 ,因为存在Xo2,3，使得f f XoXo,所以 a ln3 6,ln 2 2 ,故选:B【点睛】本题

11、考查反函数的应用，考查运算能力与转化思想.二、双空题11.设复数z满足1 i z i ,则z , z 1 1i112 22先将z整理为a bi的形式，再求得复数的模i i 1 i i 11 1. -i,1 i 1 i 1 i 22 2所以|z J 11逅,2 222故答案为：1 1i； 2 22【点睛】本题考查复数的模，考查复数的除法运算12.过点P 3,1作圆C:y2 1的两条切线，切点分别为 A, B,则PA直线AB的方程为【答案】2 2x y 3【解析】利用勾股定理可得PAPC2 r2，代入求解即可；再求出以点P 3,1和点C 1,0为直径的圆的方程，将两圆的方程相减即可得到公共弦AB的

12、方程.2由题，圆C : x 12y 1的圆心为C 1,0，半径r则PAPC2,以点P 3,1和点C 1,0为直径的圆的方程为x与圆C的方程作差可得2x y 3 0,即为直线AB的方程，故答案为：2 ； 2x y 3 0本题考查圆的几何性质的应用，考查两点间距离公式的应用，考查求公共弦方程.2. 213.已知函数 f x sin x sin的最小正周期为递增区间为(k Z)先利用降哥公式及和（差）角公式可得1 .一 sin2一 一 22x 一,利用T 求得周6期，根据2k2x 一 62k,k Z求得单调增区间.由题，fsin2 xsin221cos2x 1 1 cos 2x 一 231cos2x

13、 4，2x41 . sin 22x 一 6所以T -22k 2x2k ,k Z,则k ,k Z即单调增区间为k , k (kZ)63故答案为：； 一k , k63(k Z)本题考查三角恒等变换的化简，考查正弦型函数的周期和单调区间，考查运算能力三、填空题14.等比数列an 中，al J2 , a2a2a20i3a8a2019，aa2a3a4【解析】根据已知条件,求出等比数列an的公比q,然后将所求式子进行化简，利用等比数列的基本量进行计算【详解】因为等比数列 an中,a2V3 ,所以qa2 al3 32 a2a2013a2 a20131所以6-6a8 a2019 a2a2013 q q46&a

14、mp;a2a3a4a1 q33-2故答案为:本题考查等比数列通项中基本量的计算，属于简单题15.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2 2px ( p 0)上任意一点，Q是线段PF上的点，且2PQ |QF,则直线OQ的斜率的最大值为【解析】要求直线OQ的斜率的最大值，由直线的斜率公式可知应求点 Q的横、纵坐标的关系2由题可设点P y-,y0，点F -,02p2,进而根据OQ20P3【OF求得0Q3,再由均值不等式求得最值.【详解】2由题可得F旦0，设P ”,y°，显然，当y°22p0 时，koQ0;当 y0 0 时，koQ0,要求koQ的最大值，设y因为 2 PQ, .

15、QFI ,所以 2PQ QF ,即 2 OQoP OF OQ,所以 OQ 3OP 3OFy2 *所以kOQ2y0丁2V。 p3p 6当且仅当2 y02p2时等号成立，即kOQ的最大值为J2,故答案为：.、,2本题考查与抛物线有关的最值问题，考查利用均值不等式求最值，考查运算能力与转化思想16.已知AB .aC, 1,另 与iC所成角为60，点P满足AP aC 1 ,若AP xAB yAC，则x y的最大值为【解析】可建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设可得动点 p在圆内运动，设点1 .3，, A ，一，一，P - cos , sin ，则可用 的二角函数表小 x y,进而求得取大值.2 2由

16、题，如图建系，A 0,0 , B 1,0,c -,，则 aB1 /32,-22第21页共21页1 ,则点P在以点因为sinC为圆心，半径为1的圆内（包括边界）因为aP xaB yAC,所以12招2cossin1x 2yJ3Ty所以3 f y sin 3cos2、3 .sin3因为R,所以sinmax1,所以y的最大值为2 .33本题考查平面向量中基底向量的系数和的最值,考查坐标法表示向量的应用17.当x ,1则设P cos,4时，不等式0 ax3 bx22 .4a 4x恒成立，则7a b的取值范围是【答案】4,8【解析】先对不等式进行整理，得到 0 ab 4对x 1,4恒成立，设t利用导数求出

17、t的值域，然后根据一次函数保号性得到关于a,b的不等式组，通过配凑系数,得到答案.【详解】因为 0 ax3 bx24a 4x2对x 1,4恒成立,c一4两边同除以x2得0 ax b 4对x 1,4恒成立， x4 _故令t x , x 1,4 ,不等式转化为0 at b 4, xt 12，令t0得x 2,x所以x 1,2 , t 0, t单调递减，x 2,4 , t 0, t单调递增,所以x 2时，t取最小值为3,17当 x 1 时，t 5;当 x 4时，t 17；4所以t的值域为3,5 ,根据一次函数保号性可知0 3a b 40 5a b 4令 m 3ab n 5ab 7a b ,3m 5n

18、7 m 1得，解得m n 1n 2所以4 7ab 8,故答案为： 4,8本题考查不等式恒成立问题，利用导数求函数的最值，一次函数保号性，属于中档题四、解答题18.已知ABC的内角AB, C的对边分别为a, b, c,且b2ABC的面积为3bB(1)求 sin Asin C ；(2)若6cos AcosC 1 , b 3,求角B的大小及 ABC的周长,2【答案】(1) SinAsinC 一(2)B ,周长3 底331【解析】（1）先利用三角形面积公式可得S ARC1bcsin AABC 一b2b，即 3csinBsinA 2b, 3sin B再利用正弦定理化边为角即可求解;1-(2)由(1)及

19、6cosAcosC 1 可得 cosAcosC sin AsinC 一，可解得 B 一，再根据 23b正弦定理可得 2R 2J3,则可得ac 8,进而根据余弦定理可得 a c,即可求解.sin B【详解】解：（1）由三角形的面积公式可得S ARCABC1 . bcsin A2b23sin3csin Bsin A 2b,由正弦定理可得 3sin Csin B sin A 2sinB,sin B 0, sin AsinC,(2)6cos AcosC 1,即 cosAcosC16,cosAcosCsin Asin Ccos AcosB12,1sin Asin B3sin C2R273,sin Asi

20、n Cac8,b22 c ac9, a c33,2accosB,c J33,，周长为a本题考查三角形面积公式的应用,考查利用正弦定理化边为角,考查余弦定理的应用，考查运算_1 _AB BC PA PC 2 ,2能力.19.如图，已知三棱锥 P ABC ,平面PAC 平面ABC ,ABC 120 .K(1)证明：PA BC;(2)设点E为PC中点，求直线 AE与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) 叵 7【解析】(1)由题可利用余弦定理计算 AC,再利用勾股定理证明 PA AC,进而彳#到PA 平 面ABC,进而证明PA BC(2)由(1)可知PA 面ABC,故可以A为坐标原点

21、建立空间直角坐标系，求出AE对应的向量与面PBC的法向量即可求得 AE与平面PBC所成角的正弦值.【详解】(1) AB BC 2, ABC 120 ,由余弦定理得AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC 12,故 AC 273.又 PA2 AC2 4 12 16 PC2，故 PA AC .又平面 PAC 平面 ABC ,且平面 PAC平面ABC AC,故PA 平面ABC.又BC 平面ABC,故PA BC .证毕.(2)由(1)有PA 平面ABC ,故以A为坐标原点，垂直AC,AP为x轴，NC为y轴正向，AP为z轴正向建如图空间直角坐标系则 A(0,0,0) , B(1, .3,0)

22、 , P(0,0,2) , C(0,2、3,0) , E(0, ,3,1).(0, <3,1), PC (0,2、,3, 2), BC ( 1,.3,0),设平面PBC的法向量皿m pC(x,y,z)则 I m bc02、.3y 2z 00 x J3y 0x , 3令y 1有 y 1 ，故m (J3173)，设ae与平面PBC所成角为，则z 、,3故答案为：_217【点睛】本题主要考查线面垂直的一般证明方法，包括线线垂直与勾股定理等基本方法.一般求解先与面的夹角的正弦值 ，均先求直线的向量与平面法向量 ，再根据直线与法向量的夹角的余弦值等于直线与平面夹角的正弦值求得即可220.已知各项均

23、为正数的数列an的前n项和为Sn ,且4Sn an 2an .(1)求数列 an的前n项和Sn ；22求证：胃西因百I"反匕仝【答案】(1) s n n 1 (2)证明见解析【解析】(1)先求得当n 1时，a1 2,再利用an Sn Sn 1可得an an 1 2,即数列an为以2位首项,2为公差的等差数列，进而求解；1(2)由(1) JS； Jn n 1，可知 n nn1 n -,进而求证.【详解】2_(1)解：当 n 1 时，由 4al a1 2al，得 a1 2 ,22当 n 2 时，由 4an4Sn4Sn 1anan 12anan 1,得 anan12 ,所以数列 an为以2

24、为首项,2为公差的等差数列，所以an 2n,所以Snn n 1(2)由(1)知,n n 1一. 1因为 n n n 1 n ,，所以 1 2 3 $ n SS；区 § 12 3 111n ；n,2忑5 IIIn匕空【点睛】 本题考查由an与Sn的关系求数列的通项公式，考查数列的不等式的证明，考查等差数列的应用.21.已知抛物线y2 2 Px ( P 0)上的两个动点 A X1,y1和B X2,y2 ,焦点为F.线段AE的中点为M 3,y0 ,且点到抛物线的焦点F的距离之和为8(1)求抛物线的标准方程;第23页共21页(2)若线段AE的垂直平分线与x轴交于点C,求 ABC面积的最大值【

25、答案】(1)264.3y 4x (2)9【解析】(1)先利用中点公式可得 X1 X2 6,再根据抛物线的定义可得AF BF x X2 p,进而求解；1(2) S；abc - AB d , d为点C到直线AB的距离，可设直线AB： X my n( m 0) u 2则AB的中垂线方程为：y 2m m x 3 ,可得到点C的坐标，将直线AB的方程与抛物线 联立，利用弦长公式求得弦长 AB ,再利用点到直线距离公式求得 d,则可得到 ABC的面积为关于m的函数，进而利用导函数求得最大值即可【详解】解：(1)由题意知X1X26,AFBFx1x2 P 6 P 864 39第25页共21页P 2,抛物线的标

26、准方程为 y2 4x(2)设直线 AB : x my n ( m 0 ),x my n 2由 2，得 y 4my 4n 0,y 4xyi y2 4m.22xi x2 4m 2n 6,即 n 3 2m2，16 3 m20即 y1y24m , 2 y1 y28m 12AB Vm21 yi y 4Vm1 v3m2 ,设AB的中垂线方程为：y 2m mx3,即y m x可得点C的坐标为5,0直线 AB ： x22my 3 2m，即x my 2m 3 0,点C到直线AB的距离d_2_5 2m232 .m2 1S 1 AB d 4 m2 1 / m2 2令 t J3 m2，则 m2 3 t2(0 t 73

27、)2令 ft 4 4 t2 t,4 43t2 ,令 ft0,则t2、3在0,R3上f t 0；在号3#上f t 0, 332.3 2.3-故f t在 0, 单倜递增，J3 单倜递减,33当t述，即m3,15 口行时,Smax【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查利用导函数求最值，考查抛物线内的三角形面积问题，考查运算能力.22.已知函数 f(x) ln x ax2c1nxi x2 x1x 21nxi x2 2x1x2 2 In 2 3,f x1f x23 1n2. bx(a,b R).(1)当a 1时，设x1，x2为f (x)的两个不同极值点，证明： f % f x23 1n2 ；(2)设x1, *2为f(x)的两个不同零点，证明： f x1 x2x x2 3.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)求出函数f (x)的导函数f (x) , x1 , x2为f (x)的两个不同极值点，转化为x1,x2为方程2x2 bx 1 0的两不等正根，再利用韦达定