信号与系统Charpter 1

1、第一讲 信号与系统基本概念Basic Concepts1.几个基本的概念几个基本的概念（1）消息消息(Message)(Message)：人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。（2）信息信息(Information)(Information)：它是信息论中的一个术语，通常把消息中有意义的内容称为信息。（3）信号（信号（SignalSignal）：）：描述、记录消息的物理状态随时间变化的过程叫信号，包括：声信号、光信号、电信号。 2 信号的分类信号的分类 （1 1）随机信号与确定信号：）随机信号与确定信号：随机信号即为一随机过程，可分为平稳随 机过程与非平稳随机过程。例： 如果 、 为一确定常

2、数，则该信号为一确定信号，如果 为常数，是一个 上的均匀分布的随机量，则该信号为一随机信号。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础sinyt2,0Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（2）周期信号与非周期信号周期信号与非周期信号 f tf tnTn0,1,2（3）连续时间信号与离散时间信号）连续时间信号与离散时间信号Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础(4) (4) 能量信号与功率信号能量信号与功率信号能量信号：能量信号：信号的能量为有限值，而信号的平均功率为零。功率信号：功率信号：信号的能量为无限

3、值，而信号的平均功率为有限值。 信号的能量信号的能量EttfEd)(2def信号的功率信号的功率P P222defd)(1limTTTttfTPBasic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础3 信号的基函数表示法信号的基函数表示法信号的一般表示方法：信号的一般表示方法：显函数表示法， 特点：特点：在所有瞬间的函数值都有准确的定义。不同的信号有不同的表现形式，不利于信号的分析与比较。信号的基函数表示法信号的基函数表示法：将一组信号表示为一组基本函数的线性组合，该组基本函数简称为基函数。 特点：特点：系数的终结性，即可以单独求出任何指定的系数。 ( )nnnf ta

4、 ftBasic Concepts4 4 正交函数正交函数（1 1）正交矢量）正交矢量: :一个矢量在另一个矢量上的垂直投影为零的矢量为正交矢量。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础 垂直投影 非垂直投影 当 时，A1与A2非垂直投影时，A1与A2非垂直投影 当，时，A1与A2垂直投影 当 时，A1与A2垂直投影 Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（2 2）正交函数正交函数一个函数在另一个函数上的垂直投影为零的函数为正交函数。假设函数 ，当C12=0，且用 表示 误差为最小时，f1(t),f2(t)为正交函数。1122( )( )f t

5、C f t122( )Cft1( )f t误差函数为 方均误差正交条件是：f1(t)可用f2(t)近似地表示为：1122( )( )f tC f t可得：第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（3 3）正交函数集）正交函数集A 满足下列条件的函数集，称为正交函数集正交函数集设g1(t)，g2(t),.gn(t),n个函数构成一个函数集，有:类似的，假设：令：第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础B B 完备正交函数集：完备正交函数集： 若对任意函数f(t)都可以表示为：则g1(t)，g2(t),.,gn(t),.为完备正交函数集。C C 几种常用的完备正交函数集几种常用

6、的完备正交函数集：三角函数集Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础沃尔什函数集沃尔什函数集Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础 5 5 几种常用的函数几种常用的函数0( )sin(2)x tf t(1) (1) 正弦函数正弦函数：(2)(2)指数函数指数函数：(3)3)抽样函抽样函Sat(t)Sat(t):sin( )0( )10ttSa tttSat(t)Sat(t)的性质的性质：6 6 奇异函数奇异函数信号的各阶段导数、积分或其本身，都不是有限值的信号，所对应的函数叫奇异函数。第一章第一章 信号分析的理论基础

7、信号分析的理论基础 (1) 单位斜坡函数单位斜坡函数(2)(2)单位阶跃函数单位阶跃函数Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础 容易证明，单位阶跃函数与单位斜坡函数有下列关系a单位斜坡函数等于单位阶跃函数的积分b单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数(3)(3)符号函数符号函数: :第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础(4)(4)单位冲击函数单位冲击函数a a矩形脉冲演变为冲激函数矩形脉冲演变为冲激函数如果保持其面积为1,并使单位矩形脉冲宽度趋于零而得到单位冲激函数。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础b.b.秋拉克秋拉克(Dmc

8、)(Dmc)定义定义第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础冲击函数的性质冲击函数的性质(1) (1) 抽样性抽样性(2) (2) 冲击函数的积分为阶跃函数冲击函数的积分为阶跃函数(3) (3) 阶跃函数的微分等于冲激函数阶跃函数的微分等于冲激函数(4)(4)连续函数连续函数f(t)f(t)与冲激函数的乘积等于冲激点的函数值与冲激函数相乘与冲激函数的乘积等于冲激点的函数值与冲激函数相乘( ) ( )(0) ( )f ttft000( ) ()( ) ()f tttf ttt第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础 例例 1 2(23)(35)tttdt 7 7 信号的时域变

9、换信号的时域变换（1 1）信号的叠加与相乘）信号的叠加与相乘两信号迭加后形成一个新的信号，其任意时刻的数值等于两个信号同在两信号迭加后形成一个新的信号，其任意时刻的数值等于两个信号同在该时刻的数值之和。该时刻的数值之和。两信号的乘积将得出另一个信号，其任意时刻的数值等于两信号同在该两信号的乘积将得出另一个信号，其任意时刻的数值等于两信号同在该时刻数值的乘积。时刻数值的乘积。实际工作中使用的加法器和乘法器就是完成迭加和相乘的信号变换器。实际工作中使用的加法器和乘法器就是完成迭加和相乘的信号变换器。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（2 2）信号的翻转信号的翻转将表示信号的函数将表

10、示信号的函数f(t)f(t)的时间变量的时间变量t t换成换成-t-t, ,由由f(t)f(t)变为变为f(-t)f(-t)称为信号称为信号的翻转的翻转。（3 3）信号的时间平移）信号的时间平移将信号将信号f(t)f(t)的时间变量的时间变量t t变换成变换成t t+t+t0 0或或t-tt-t0 0。实际运算中使用的预测器和延迟器就可以实现这种变换实际运算中使用的预测器和延迟器就可以实现这种变换. .（4 4）信号波形展缩）信号波形展缩将信号将信号f(t)f(t)的时间变量的时间变量t t变换为变换为at,tat,t为正数，若时间轴保持不变，则为正数，若时间轴保持不变，则t1t1表示信号波形

11、压缩表示信号波形压缩,t1,t1表示信号波形扩展。表示信号波形扩展。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础8 离散时间信号离散时间信号序列序列只在某些规定的离散瞬间给出函数值，在其他时间函数没有定义，这些只在某些规定的离散瞬间给出函数值，在其他时间函数没有定义，这些时间上不连续的值称为序列时间上不连续的值称为序列，以以f(n)f(n)表示表示。常用的典型序列常用的典型序列（1 1）单位函数序列）单位函数序列 （2 2）单位阶跃序列）单位阶跃序列（3 3）矩形序列序列）矩形序列序列它们之间的关系：它们之间的关系：第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（4）指数序列指数序列

12、（5 5）正弦系列）正弦系列如果如果 不是整数不是整数, ,是有理数，则其周期应为是有理数，则其周期应为a a的某个整数倍。的某个整数倍。例：例： sinox nAnw00 .1w(1)(1)( (2 2) )(3)(3)83ow2ow 求求 x(n) x(n)的周期的周期Basic Concepts第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础9 卷积卷积设有两个函数设有两个函数 f1(t),f2(t)，则卷积的定义为：，则卷积的定义为：记：记：对于序列对于序列f f1 1(n)(n)和和f f2 2(n)(n)有如下类似的定义有如下类似的定义mmnfmfnfnfng)()()()()(

13、2121第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（1 1）卷积的解析计算）卷积的解析计算 例例1 1 计算下列两个函数计算下列两个函数 f f1 1(t)(t), ,f f2 2(t(t）的卷积的卷积. .积分限如何确定积分限如何确定? ? 积分结果的有效积分结果的有效存在时间存在时间? ?简单计算积分限方法简单计算积分限方法: :第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础例例2 2 计算下列两个函数计算下列两个函数f f1 1(n)(n), ,f f2 2(n)(n)的卷积的卷积)()3()(1nunfn2( ) ( 1)2( 2) ( )nnfnu n 121211010

14、11101ff313113113131130 .51130 .511 .53mmnmmnmnmmnnmmmnnnmnmnnnngnnfnmfnmumunmununununununun 第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础 (2)(2)卷积的积分图解卷积的积分图解为实现一卷积运算为实现一卷积运算, ,需要完成下列五个步骤需要完成下列五个步骤：A A 变量置换：变量置换：将将 ， 变为变为 ;1( )f t2( )f t1( )f2( )fB B 翻转：将翻转：将 变为变为 ;C C 平移：将平移：将 变为变为 ; ;D D 相乘：将相乘：将 和 相乘；相乘；1()f2()ftE E

15、 积分：计算积分：计算 和和 乘积的积分。乘积的积分。2()f t1( )f例例1 1 已知已知x(t),y(t)x(t),y(t)的波形，计算卷积（用图形法）的波形，计算卷积（用图形法）Basic Laws第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础10 卷积的性质卷积的性质(1).(1).交换率交换率: :(2).(2).分配率分配率: :(3).(3).结合律结合律: :(4).(4).卷积的微分：卷积的微分：(5).(5).卷积的积分卷积的积分: :(6)(6)f(t)f(t)与冲击与冲击函数卷积函数卷积: :Basic Laws第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础

16、11 系统的概念系统的概念(1)(1) 什么是系统什么是系统? ?一些相互作用和相互依赖的事物组成的具有特定功能的整体，如，通信系一些相互作用和相互依赖的事物组成的具有特定功能的整体，如，通信系统，自动控制系统，机械系统，以及生产管理，交通运输，生物的群统，自动控制系统，机械系统，以及生产管理，交通运输，生物的群落，自然界中水的循环，太阳系等等，其中包括物理系统和非物理系落，自然界中水的循环，太阳系等等，其中包括物理系统和非物理系统，人工系统利自然系统统，人工系统利自然系统。e(t)：输入信号，激励：输入信号，激励; r(t)r(t)：输出信号，称为响应：输出信号，称为响应。Basic Law

17、s第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（2）系统的分类线性与非线性系统：由线性元件由线性元件R,L,CR,L,C组成；由非线性元件，如组成；由非线性元件，如“二二级管级管”组成。组成。时变系统与非时变系统：参数不随时间变化的系统；参数随时间变参数不随时间变化的系统；参数随时间变化的系统。化的系统。连续时间系统与离散时间系统：前者系统的输入与输出都连续信号；后者系统的输入与输出都离散信前者系统的输入与输出都连续信号；后者系统的输入与输出都离散信号。号。即时系统与动态系统：输出只决定于系统同时刻的激励信号与它过输出只决定于系统同时刻的激励信号与它过去的工作状态无关；输出不仅决定于系统

18、同时刻的激励信号还与它过去的工作状态无关；输出不仅决定于系统同时刻的激励信号还与它过去的工作状态有关。去的工作状态有关。前者用代数方程描述，后者用微分方程描述。前者用代数方程描述，后者用微分方程描述。集总参数系统和分布参数系统前者用微分方程、差分方程描述；后者用偏微分方程描述。前者用微分方程、差分方程描述；后者用偏微分方程描述。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（3）系统的数学模型要分析一个系统首先要建立描述该系统基本持性的数学模型，然后用数要分析一个系统首先要建立描述该系统基本持性的数学模型，然后用数学方法求出它的解答，并对所得结果赋予实际含义学方法求出它的解答，并对所得结果

19、赋予实际含义。例例 1 1 建立建立RLCRLC串联电路的数学模型，选电压源串联电路的数学模型，选电压源us(t)us(t)是激励，电容两端电是激励，电容两端电压压uc(t)uc(t)为响应为响应 它是二阶线性微分方程它是二阶线性微分方程. .第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础例例 2 2 建立一个简单力学系统的数学模型，选建立一个简单力学系统的数学模型，选f(t)f(t)是激励是激励, ,位移位移y(t)y(t)为响为响应。假设弹性系数为应。假设弹性系数为K K，物体与地面的粘性摩擦系数为，物体与地面的粘性摩擦系数为a a, ,物体质量为物体质量为M M. .弹力为弹力为:

20、:摩擦力为摩擦力为: : 这也是二阶线性微分方程这也是二阶线性微分方程. .Basic Laws第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础例例3 3 设某地区在第设某地区在第k k年的人口为年的人口为y(k)y(k)，人口的正常出生率和死亡率分别为人口的正常出生率和死亡率分别为a a和和b b，而第，而第k k年从外地迁入的人口为年从外地迁入的人口为f(k)f(k)，那么，那么, ,该地区第该地区第k k年的人口总数为：年的人口总数为：这是一阶差分方程。这是一阶差分方程。 例例4 4 某人向银行贷款某人向银行贷款M M元，月息为元，月息为，他定期于每月初还款设第他定期于每月初还款设第k

21、 k月月初还款初还款f(k)f(k)元。若令第元。若令第k k月初尚未还清的钱款数为月初尚未还清的钱款数为y(k)y(k)，则有，则有Basic Laws第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础（4 4）线性非时变系统的基本性质）线性非时变系统的基本性质 A A 齐次性：齐次性：e(t)e(t)产生的响应产生的响应r(t)r(t)，则激励，则激励ae(t)ae(t)产生的系统响应产生的系统响应ar(t),aar(t),a为为任意常数任意常数B B 叠加性叠加性: :如果如果e e1 1(t)(t)产生的响应产生的响应r r1 1(t)(t)，e e2 2(t)(t)产生的响应产生的响

22、应r r2 2(t),(t),则由激励则由激励k k1 1e e1 1(t)+k(t)+k2 2e e2 2(t) (t) 产生的系统响应产生的系统响应k k1 1r r1 1(t)+k(t)+k2 2r r2 2(t).(t).K K1 1, ,k k2 2为任意常数。为任意常数。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础C C 非时变性：非时变性：系统的响应与激励施加于系统的时刻无关。系统的响应与激励施加于系统的时刻无关。D D因果性：因果性：如果如果tttt0 0时，系统的激励等于零，相应的输出在时，系统的激励等于零，相应的输出在tttt0 0时也等于零。激励是产生响应的原因，而

23、输出是激励引起的后果。时也等于零。激励是产生响应的原因，而输出是激励引起的后果。任何物理系统都是因果的，而非因果系统在物理上是不可实现的。任何物理系统都是因果的，而非因果系统在物理上是不可实现的。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础例：例： 提示：齐次性提示：齐次性, ,两边同乘两边同乘 a a; ;叠加性叠加性: :两边分别同乘两边分别同乘 a a1 1、a a2 2 再相加，非时变性再相加，非时变性: : 用用t=t-tt=t-t0 0 代入代入 E E 系统的稳定性：系统的稳定性：是指对有界的激励，系统的零状态响应也是是指对有界的激励，系统的零状态响应也是有界的。这常称为有

24、界输入有界输出稳定，简称为稳定。有界的。这常称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础(5)(5)系统的响应系统的响应A A 零输入响应：零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产 生的响应。生的响应。B B 零状态响应：零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，仅由系统不考虑起始时刻系统储能的作用，仅由系统 的外加激励信号所产生的响应。的外加激励信号所产生的响应。C C 全响应：全响应： 全响应全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应。零状态响应。D D 冲激响应：冲激响应： 以单位冲激信

25、号以单位冲激信号 作激励时，系统产生的零作激励时，系统产生的零 状态响应状态响应, ,以以h(t)h(t)表示表示。 E E 单位阶跃响应：单位阶跃响应：以单位阶跃信号以单位阶跃信号u(t)u(t)作激励时作激励时, ,系统产生系统产生的的 零状态响零状态响, ,以以g(t)g(t)表示。表示。F F 零状态响应的计算：零状态响应的计算：零状态响应零状态响应= =冲激响应与系统输入的冲激响应与系统输入的 卷积。卷积。第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础G G 系统框图基本单元系统框图基本单元基本单元有：基本单元有：标量乘法器、延时器、微分器和积分器标量乘法器、延时器、微分器和积分

26、器标量乘法器标量乘法器延时器延时器微分器微分器积分器积分器第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础13 13 综合题综合题例例1 1 如图（如图（a a）给出了周期为）给出了周期为T T的周期性单位冲激函数序列，的周期性单位冲激函数序列，可称为梳状函数，它可用符号可称为梳状函数，它可用符号 表示表示( (有些文献用有些文献用combcombT T(t)(t)表示表示) )，它可写为，它可写为: :式中式中m m为整数，函数为整数，函数f f0 0(t)(t)如图如图(b)(b)所示，试求所示，试求解解 根据卷积运算根据卷积运算的分配律可得的分配律可得第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础第一章第一章 信号分析的理论基础信号分析的理论基础例例 2 2 计算下列各题卷积计算下列各题卷积（1 1）（2 2）例例3 3 如图如图(a)(a)的复合系统由三