财务管理第二章 财务管理基础

1、1-1u 第二节第二节 风险与收益风险与收益1-2一、基本概念一、基本概念二、复利的终值和现值计算二、复利的终值和现值计算三、年金的终值和现值计算三、年金的终值和现值计算四、货币时间价值的特殊问题四、货币时间价值的特殊问题1-3第一节第一节 货币的时间价值货币的时间价值一、基本概念一、基本概念1 1、资金的时间价值、资金的时间价值 2 2、利息（、利息（InterestInterest）3 3、利息率、利息率( (Interest rate)Interest rate) 4 4、现值、现值( (Present value)Present value)5 5、终值（、终值（Future valu

2、e/Terminal valueFuture value/Terminal value） 6 6、年金（、年金（AnnuitiesAnnuities） 是指货币经过一定时间的投资和再投资所增加的价值。所以也称货币的时间价值。 俗称“子金”。是指借款人支付给贷款人的报酬。延伸概念是由于使用货币而支付（或挣取）的货币。在具体计算时分单利和复利。 是一定时期内的利息额同贷出金额的比例。有年利率、月利率和日利率。 是指未来的一笔钱或一系列支付款项按给定的利率计算所得到的在现在的价值。 是指现在的一笔钱或一系列支付款项按给定的利息率计算所得到的在某个未来时间点的价值。对于存款和贷款而言就是到期将会获得（

3、或支付）的本利和。 是指一定期限内一系列相等金额的收付款项。最典型的是等额分期付款的贷款或购买，还有我国储蓄中的零存整取存款。 1-4第一节第一节 货币的时间价值货币的时间价值二、复利的终值和现值计算二、复利的终值和现值计算 1 1、复利、复利 俗称“利滚利”。是指在计算利息时，不仅要对本金计息，而且还要对前期已经生出的利息也逐期滚算利息。 【例【例1 1 】某人存入】某人存入10001000元存款，假如年利率元存款，假如年利率10%10%，存期三年。如果按单利计算在第三年到期时的单存期三年。如果按单利计算在第三年到期时的单利和为多少呢？利和为多少呢？答：三年后的单利和答：三年后的单利和=10

4、00=100010%10%3=3003=300（元）（元）那么，如果按那么，如果按复利复利计算，三年后的利息又是多少呢？计算，三年后的利息又是多少呢？那么一年后的本利和那么一年后的本利和=1000+100=1100=1000+100=1100（元）。（元）。答：答：第一年的利息第一年的利息=1000 =1000 10%=10010%=100（元），（元），也就是说一年后的利息也就是说一年后的利息=1000 =1000 10%=10010%=100（元），（元），1-5第二年的利息第二年的利息=1100 =1100 10%=11010%=110（元），（元），那么二年后的本利和那么二年后的本利和

5、=1100+110=1210=1100+110=1210（元）。（元）。 二年后的利息和二年后的利息和=100+110=121=100+110=121（元）（元）第三年的利息第三年的利息=1210 =1210 10%=12110%=121（元）（元）三年后的利息和为三年后的利息和为100+110+121=331100+110+121=331（元）（元）三年的利息和比单利计算方式下多三年的利息和比单利计算方式下多331-300=31331-300=31（元）（元）当年利率为当年利率为10%10%时，时，10001000本金采用复利计算情况图：本金采用复利计算情况图：0 第第1年末年末 第第2年末

6、年末 第第3年末年末 利息利息100 利息利息110 利息利息12111001210133110001-6第一节第一节 货币的时间价值货币的时间价值二、复利的终值和现值计算二、复利的终值和现值计算2 2、复利终值、复利终值 按复利计算到期的本利和。 如例如例1 1：按复利计算：按复利计算10001000元到第三年末的价值元到第三年末的价值（三年后的终值）为（三年后的终值）为1000+331=13311000+331=1331（元）（元） 我们来寻找规律：我们来寻找规律： 一年后的终值一年后的终值= =11001100=1000+1000 =1000+1000 10%=1000 10%=1000

7、 (1+10%)(1+10%)二年后的终值二年后的终值= =12101210=1100+1100 =1100+1100 10%10% =1100 =1100(1+10%)(1+10%) =1000 =1000(1+10%)(1+10%(1+10%)(1+10%）210%)1000(1= =1-7三年后的终值三年后的终值= =13311331=1210+1210 =1210+1210 10% 10% 210%)1000(1= =310%)1000(1 (1+10%(1+10%）=1210=1210(1+10%)(1+10%)= = 依此类推，利率为依此类推，利率为10%10%，10001000元

8、本金在元本金在n n期后的期后的终值就是：终值就是： 。 我们将这个公式一我们将这个公式一般化，那么，本金为般化，那么，本金为PVPV，利率为，利率为i, ni, n期后的终值就期后的终值就是：是：n)%10PV(1FV =FV =其中其中, ,FV FV 终值（终值（Future Value)Future Value) 假设假设P=1P=1，那么我们可否求出一系列与不同的，那么我们可否求出一系列与不同的n n和和i i相对应的值呢？相对应的值呢？ 显然这是可以的，下表是在利率分别为显然这是可以的，下表是在利率分别为1%1%、5%5%和和10%10%，时，时，1 1元本金各年对应的终值。元本金

9、各年对应的终值。（2.12.1）nnFV =FV =nn)PV(1i1-8第第n年末年末终值终值1% 5% 10%11.01001.0500 1.100021.02011.1205 1.210031.03031.1576 1.331041.04061.2155 1.464151.05101.2763 1.610561.06151.3401 1.771671.07211.4071 1.948781.08291.4775 2.1436利率分别为利率分别为1%1%，5%5%，10%10%时，时，1 1元本金的从第元本金的从第1 1年末到第年末到第8 8年年末的终值末的终值n)(1i1-9 知道了知道

10、了1 1元本金在不同利率、不同期时的终值，元本金在不同利率、不同期时的终值， 也就会知道本金为其他金额时不同利率和不也就会知道本金为其他金额时不同利率和不同期时的终值。因此我们称同期时的终值。因此我们称为为1 1元本金在利率为元本金在利率为i i时，时，n n期的终值利息因子（或系数），我们用期的终值利息因子（或系数），我们用FVIFFVIF（i i，n)n)来表示。为了方便起见，一般把来表示。为了方便起见，一般把(1+i) (1+i) 按照不同的按照不同的期数，再按不同的利率编成一张表，我们称其为复期数，再按不同的利率编成一张表，我们称其为复利终值表。这个表请看教材。利终值表。这个表请看教材

11、。n)(1in【练习【练习1 1 】章虹将】章虹将1000010000元款项存入银行，假如年元款项存入银行，假如年利率为利率为4%4%，存期，存期5 5年。如果按复利计算，请问到期年。如果按复利计算，请问到期时章虹可以获得多少款项？时章虹可以获得多少款项？1-10解题步骤解题步骤：第一步第一步，在教材中查找利率为，在教材中查找利率为4%4%，期数为期数为5 5时的复利终值因子，查找结果时的复利终值因子，查找结果是是1.21671.2167，即：，即：FVIFFVIF（4%4%，5 5）=1.2167=1.2167；第二步第二步，计算，计算1000010000元的终值：元的终值：=PV=PV F

12、VIF FVIF（4%4%，5 5）=10000 =10000 1.21671.2167 =12167 =12167（元）（元）3 3、复利现值、复利现值 是指按复利计算时未来某款项的现在价是指按复利计算时未来某款项的现在价值，或者说是为了取得将来一定本利和现值，或者说是为了取得将来一定本利和现在所需要的本金在所需要的本金。 现值可用终值倒求本金的方法计算，用终值来现值可用终值倒求本金的方法计算，用终值来求现值，称为贴现；贴现时所用的利息率称为贴求现值，称为贴现；贴现时所用的利息率称为贴现率。现率。5FV1-113 3、复利现值（、复利现值（Present Value) Present Val

13、ue) 现值现值可用终值倒求本金的来方法计算，可用终值倒求本金的来方法计算，用终值来求现值，称为用终值来求现值，称为贴现贴现；贴现时所用的利息率；贴现时所用的利息率称为称为贴现率贴现率。 现值现值PVPV的计算可由终值的计算公式导出。由公的计算可由终值的计算公式导出。由公式（式（2.12.1）得：）得：n)PV(1iFV =FV =nPV=PV=nnnniFViFV)1 (1)1 (2.2)(2.2) 从公式（从公式（2.22.2）可见，某未来值的现值是该未来值）可见，某未来值的现值是该未来值与终值因子倒数的乘积。终值因子的倒数与终值因子倒数的乘积。终值因子的倒数 被称为被称为1 1元终值在利

14、率为元终值在利率为i, i,期数为期数为n n时的时的现值系数现值系数（或现值因子），可用（或现值因子），可用PVIFPVIF（i,n)i,n)来表示。这个系来表示。这个系数同样可以编成表格供查找数同样可以编成表格供查找。ni )1(11-12 通过查表，一旦知道了通过查表，一旦知道了1 1元终值的现值，就元终值的现值，就可以求出其他金额终值的现值。可以求出其他金额终值的现值。【例【例2 2 】李海想在第二年末得到李海想在第二年末得到1000010000元的存款，元的存款，按年利率按年利率5%5%计算，他现在应该存入多少元？计算，他现在应该存入多少元？解题步骤：解题步骤：第一步第一步，从，从P

15、408P408中查找利率为中查找利率为5%5%，期数为，期数为2 2年的年的1 1元终值的现值因子，可知元终值的现值因子，可知PVIFPVIF（5%5%，2 2）=0.9070=0.9070，第二步第二步，计算，计算1000010000元的现值：元的现值：PV=PV=2FVPVIFPVIF（5%5%，2 2）=10000=100000.9070=9070(0.9070=9070(元元) ) 。 【练习【练习2 2 】如果你的父母预计你在如果你的父母预计你在3 3年后要再继续年后要再继续深造（如考上研究生）需要资金深造（如考上研究生）需要资金3000030000元，如果按元，如果按照利率照利率4

16、%4%来计算，那么你的父母现在需要存入多来计算，那么你的父母现在需要存入多少存款？少存款？1-13 答案：答案：PV=30000PV=300000.8890=266700.8890=26670（元）（元） 提问（提问（1 1）利率相同时某终值的现值，当利率相同时某终值的现值，当期限不等时有什么特点？期限不等时有什么特点？ （2 2）期限相同的某一终值，当利率不等时）期限相同的某一终值，当利率不等时又有什么规律？又有什么规律？ 课堂思考：课堂思考：上面提到的是单项款项收支的现值和上面提到的是单项款项收支的现值和终值问题，但在实践中，经常会涉及到一系列连终值问题，但在实践中，经常会涉及到一系列连续

17、的收支，这些收支的现值和终值又如何计算呢？续的收支，这些收支的现值和终值又如何计算呢？ 其实很简单，如果各个期间的收支不等，则先其实很简单，如果各个期间的收支不等，则先逐个计算其现值（或终值），然后再加总即可。逐个计算其现值（或终值），然后再加总即可。 【例【例3 3 】如果你去存款，想在如果你去存款，想在第一年末取第一年末取2000020000元，元，第二年末取第二年末取3000030000元后全部取完，按年利率元后全部取完，按年利率8%8%复利复利计算，你现在该存入多少才行？计算，你现在该存入多少才行？ 1-14解题步骤：解题步骤：第一步第一步，首先要弄明白这是一个什么问题，其，首先要弄明

18、白这是一个什么问题，其实这是一个求现值的问题，是求未来实这是一个求现值的问题，是求未来2 2年两笔年两笔资金的现值和。从资金的现值和。从P408P408中分别查找利率为中分别查找利率为8%8%，期数为期数为1 1年和年和2 2年的现值因子，可知年的现值因子，可知PVIFPVIF（8%8%，1 1）=0.9259=0.9259，PVIFPVIF（8%8%，2 2）=0.8573=0.8573。第二步第二步，分别计算这两笔资金的现值：，分别计算这两笔资金的现值：1FVPVIFPVIF（8%8%，1 1）=20000=20000 0.9259 =18518( 0.9259 =18518(元元) )

19、。 2FVPVIFPVIF（8%8%，2 2）=30000=30000 0.8573 = 25719( 0.8573 = 25719(元元) ) 。 第三步第三步，将这两笔现值加起来：，将这两笔现值加起来：PV=18518+25719=44237 PV=18518+25719=44237 熟悉后就可以将第二步和第三步合起来为一步：熟悉后就可以将第二步和第三步合起来为一步：1FVPVIFPVIF（8%8%，1 1）+ +2FVPVIFPVIF（8%8%，2 2）= =20000200000.92590.92593000030000 + +0.85730.857318518+25719=44237

20、18518+25719=44237（元）（元）= = 我们可以把现金的现值、终值用现金流量图来表我们可以把现金的现值、终值用现金流量图来表示：示： 0 第1年末 第 2 年末 0 第1年末 第2年末10000PV=9070例题例题2 2现金流量图现金流量图 例题例题3 3的现金流量图的现金流量图再思考再思考：如果我们：如果我们碰到的是一系列等额的现金收碰到的是一系列等额的现金收支，则其现值和终值的计算又如何呢？（年金）。支，则其现值和终值的计算又如何呢？（年金）。2000030000PV=442371-16年金年金：是指一定期限内一系列相等金额的收付款项。是指一定期限内一系列相等金额的收付款项

21、。如以下分别为两个系列的收款和付款现金流量图：如以下分别为两个系列的收款和付款现金流量图：这是期限为这是期限为5年每年收入年每年收入2000元的普通年金的现金流元的普通年金的现金流0 1 2 3 4 5 年末 2000 2000 2000 2000 2000这是期限为这是期限为5年每年支付为年每年支付为3000元的预付年金的现金流元的预付年金的现金流 1 2 3 4 5 年初 3000 3000 3000 3000 30001-17 年金包括年金包括普通年金普通年金和和预付年金预付年金（或叫（或叫先付年金先付年金） 普通年金，普通年金，是指收付款项发生在每期期末的年金。是指收付款项发生在每期期

22、末的年金。 预付年金，预付年金，是指收付款项发生在每期期初的年金。是指收付款项发生在每期期初的年金。 注：如果年金的收付是无限地延续下去的，则称为注：如果年金的收付是无限地延续下去的，则称为永续年金永续年金。 普通年金的终值普通年金的终值，是指在一定时期（，是指在一定时期（n)n)内，在一定利内，在一定利率率(i)(i)下，每期期末等额系列收付值下，每期期末等额系列收付值(A)(A)的终值之和。其的终值之和。其计算方式可以下面的图加以说明。首先看一个例题。计算方式可以下面的图加以说明。首先看一个例题。 2000 2000 2000 2000 20000 1 2 3 4 5 年末 终值终值4%1

23、012000）（ 3%1012000）（ 2%1012000）（ 1%1012000）（ 0%1012000）（ FVA =12210FVA =122105 【例题【例题1 1 】求每年收入为】求每年收入为20002000元，元，期限为期限为5 5年，利息率为年，利息率为10%10%的这一系列金额的这一系列金额的终值。的终值。期限为期限为5 5年，利率为年，利率为10%10%，金额为，金额为20002000元的年金的终值计算图元的年金的终值计算图1-19例题例题1 1用列式来计算就是：用列式来计算就是：0%1012000）（ 3%1012000）（ 2%1012000）（ 1%1012000）

24、（ 464. 12000331. 1200021. 120001 . 120002000 我们可以将以上例题的图示和计算列式一般化，我们可以将以上例题的图示和计算列式一般化，将期限为将期限为n n，利率为，利率为i i的的 年金年金A A的终值用下面的图表的终值用下面的图表和计算公式表示，就可以得出计算年金终值的一般和计算公式表示，就可以得出计算年金终值的一般性解：性解：51-200 1 2 n-1 n A A A A终值终值0)1(iA1)1(iA2)1(niA1)1(niAFVAFVA：n普通年金终值计算图示普通年金终值计算图示 上述计算可以列式如下：上述计算可以列式如下：01）（iA1)

25、1 (niA21 (niA）11 (）iA （1 1） 将将（1 1）式两边乘以式两边乘以（1+1+i) i), ,得得（2 2）式：式：11 (）iA 21 (）iA 1)1 (niA21 (niA）niA)1 ( （2 2） （2 2）式减式减（1 1）得得: :niA)1 ( 01）（iAniA)1 ( AA)1)1(niFVA FVA = =nFVA FVA (1+i)= (1+i)=nFVA (1+i) FVA =FVA (1+i) FVA =nn即：即：FVA i=FVA i=nA)1)1(ni所以，所以，FVA =FVA =niin1)1( 2.32.3A= =A AFVIFAF

26、VIFA（i,n)i,n)1-22 我们称年金终值计算公式（我们称年金终值计算公式（2.32.3式）中的式）中的为年金终值因子（系数），也可为年金终值因子（系数），也可以编成表，以便于计算，请参见有关教材。以编成表，以便于计算，请参见有关教材。 用公式用公式2.32.3计算例题计算例题1 1的结果为：的结果为：FVA =FVA =5 5A AFVIFAFVIFA（10%,5)10%,5)= =200020006.10516.1051 = =1221012210（元）（元）结论结论：年金终值等于年金与年金终值系数的乘积年金终值等于年金与年金终值系数的乘积 普通年金的现值：普通年金的现值：是指在一

27、定期间内是指在一定期间内(n)(n)，在一定，在一定利率下利率下(i),(i),每期期末等额系列收付金额每期期末等额系列收付金额(A)(A)的现值之和。的现值之和。这里也先以例题来进行说明。这里也先以例题来进行说明。 其中：其中：A A年金，年金，i i利率，利率，n n期限期限iin1)1(期限为期限为5 5年，利率为年，利率为10%10%，金额为，金额为10001000元的年金的终值计算元的年金的终值计算 1 2 3 4 5 年末 1000 1000 1000 1000 10001%1011000）（ 现值现值2%1011000）（ 3%1011000）（ 4%1011000）（ 5%10

28、11000）（ PVA =3791PVA =37915 5【例题【例题2 2 】假设某人承租房屋，每年末支付】假设某人承租房屋，每年末支付10001000元，租元，租期期5 5年，问在利率为年，问在利率为10%10%时，这些现金相当于现在的多时，这些现金相当于现在的多少金额？少金额？例题例题2 2用列式来计算就是：用列式来计算就是：621. 02000683. 01000751. 01000826. 01000909. 01000 我们可以将例题我们可以将例题2 2的图示和计算列式一般化，将的图示和计算列式一般化，将期限为期限为n n，利率为，利率为i i的的 年金年金A A的现值用下面的图表

29、和的现值用下面的图表和计算公式表示，就可以得出计算年金现值的一般性计算公式表示，就可以得出计算年金现值的一般性解：解：1%1011000）（ 2%1011000）（ 3%1011000）（ 4%1011000）（ 5%1011000）（ =3791 =3791（元）（元）PVA =PVA =5 51-250 1 2 n-1 n现值现值PVAPVA：n普通年金现值计算图示普通年金现值计算图示1)1iA（2)1iA（1)1niA（niA)1 （ 上述计算可以列式如下：上述计算可以列式如下： （3 3） 将将（3 3）式两边乘以式两边乘以（1+1+i) i), ,得得（4 4）式：式： （4 4）

30、（4 4）式减式减（3 3）得得: :APVA =PVA =nPVA (1+i)=PVA (1+i)=nPVA (1+i) PVA =PVA (1+i) PVA =nn即：即：PVA i=PVA i=nA所以，所以，PVA =PVA =nAiin)1(1 2.42.4A A= =PVIFAPVIFA（i,n)i,n)1)1iA（2)1iA（1)1niA（niA)1 （0)1iA（1)1iA（3)1niA（2)1niA（1)1niA（0)1iA（niA)1 （AniA)1 （)1(11ni)1(11ni= =A11ni）（1-27 我们称年金现值计算公式（我们称年金现值计算公式（2.42.4式）

31、中的式）中的iin)1(1为年金现值因子（系数），也可为年金现值因子（系数），也可以编成表，以便于计算，参见教材以编成表，以便于计算，参见教材P410411P410411。 用公式用公式2.42.4计算例题计算例题2 2的结果为：的结果为：结论结论：年金现值等于年金与年金现值系数的乘积年金现值等于年金与年金现值系数的乘积 其中：其中：A A年金，年金，i i利率（或贴现率），利率（或贴现率）， n n期限期限PVA =PVA =5 5A AFVIFAFVIFA（10%,5)10%,5)= =100010003.7913.791 = =37913791（元）（元） 所以所以90009000元年金

32、的终值为：元年金的终值为：FVA =9000FVA =9000FVIFAFVIFA（3%, 3) 3%, 3) =9000 =90003.09093.0909 =27818.1 =27818.1（元）（元）3 3 课堂练习课堂练习2 2：你的父母替你买了一份你的父母替你买了一份1010年期的医年期的医疗保单，交费方式有两种：一是每年年末交疗保单，交费方式有两种：一是每年年末交400400元，元，一种是趸交一种是趸交23002300元（现在一次性缴足），两种交费元（现在一次性缴足），两种交费方式在交费期间和到期的待遇一样，假设利率为方式在交费期间和到期的待遇一样，假设利率为4%4%，你认为哪种方

33、式更合算？你认为哪种方式更合算？解题思路：解题思路： 事实上这是一道已知年金求其现值的问题，只事实上这是一道已知年金求其现值的问题，只不过要进行一个小小的比较，然后再得出结论。不过要进行一个小小的比较，然后再得出结论。1-29 我们先求出我们先求出400400元年金的现值，然后元年金的现值，然后再与再与23002300相比较，如果大于趸交数，则相比较，如果大于趸交数，则趸交更合算，否则按期交更合算。趸交更合算，否则按期交更合算。 已知：已知：普通年金的现值普通年金的现值等于等于普通年金普通年金乘以乘以普通普通年金现值系数，即年金现值系数，即PAV =APAV =APVIFA(i, n), PV

34、IFA(i, n), 这里的这里的A=400A=400，i=4%, n=10i=4%, n=10。n n 从从P410P410查表可知：查表可知： PVIFA(4%,10)=6.1446PVIFA(4%,10)=6.1446 所以所以400400元年金的现值为：元年金的现值为： PAV =400PAV =4006.1446=2457.846.1446=2457.84（元）（元）23002300元元1010 结论：结论： 从计算上来看从计算上来看趸交更合算。趸交更合算。1-30 课堂练习课堂练习1 1：如果你的父母从现在开始每年年如果你的父母从现在开始每年年末替你存一笔教育金末替你存一笔教育金9

35、0009000元，准备元，准备3 3年后给你深造年后给你深造之用，假设年利率为之用，假设年利率为3%3%（不考虑利息税）。请问（不考虑利息税）。请问三年后这笔钱有多少？三年后这笔钱有多少？ 解题思路：解题思路： 先要弄清楚这是一个什么问题，显然这是一个先要弄清楚这是一个什么问题，显然这是一个已知普通年金求其终值的问题。我们前面已经知已知普通年金求其终值的问题。我们前面已经知道道普通年金终值普通年金终值等于等于普通年金普通年金乘以乘以年金终值系数，年金终值系数，即：即：FVA =AFVA =AFVIFAFVIFA（i, n)i, n)。这里。这里n=3, i=3%, n=3, i=3%, A=9

36、000,A=9000,查表可知查表可知FVIFAFVIFA（3%, 3)=3.09093%, 3)=3.0909 思考思考：上面讲的都是年末付款的情况，如：上面讲的都是年末付款的情况，如果每笔收支款项是在年初，这种年金的现值和果每笔收支款项是在年初，这种年金的现值和终值会与上面的计算一样吗？终值会与上面的计算一样吗？1-32预付年金预付年金：是指收付款项发生在每期期初的年金。是指收付款项发生在每期期初的年金。3000 3000 3000 3000 3000这是期限为这是期限为5 5年每年支付为年每年支付为30003000元的预付年金的现金流元的预付年金的现金流 1 2 3 4 5 年初 预付年

37、金的终值：预付年金的终值：是指在一定时期（是指在一定时期（n)n)内，在一定内，在一定利率利率(i)(i)下，每期期初等额系列收付值下，每期期初等额系列收付值(A)(A)的终值之和。的终值之和。其计算方式可以下面的图加以说明。我们首先也看其计算方式可以下面的图加以说明。我们首先也看1 1例。例。1-33 1 2 3 4 5 年初 3000 3000 3000 3000 3000终值终值1%1013000）（ 2%1013000）（ 3%1013000）（ 4%1013000）（ 5%1013000）（ FVAD =20146.83FVAD =20146.835 5列式计算为：列式计算为： 【例

38、题【例题3 3 】求每年年初支付】求每年年初支付30003000元，元，期限为期限为5 5年，利息率为年，利息率为10%10%的这一系列金的这一系列金额的终值。额的终值。1%1013000）（ + +2%1013000）（ + +3%1013000）（ 4%1013000）（ + +5%1013000）（ + +FVAD =FVAD =5 5= = (1+10%)(1+10%)1%1013000）（ + +2%1013000）（ + +3%1013000）（ + +4%1013000）（ 思考：思考：大家看一看中括号中的式子是什么？再与下大家看一看中括号中的式子是什么？再与下面的现金流量图比较

39、，会得出什么结论？面的现金流量图比较，会得出什么结论？ 0 1 2 3 4 5 年末 3000 3000 3000 3000 3000普通年金普通年金3000 3000 3000 3000 3000 1 2 3 4 5 年初 预付年金预付年金1-35即：即：FVAD =FVAD =n n 结论结论：预付年金终值等于普通年金终值与一期复预付年金终值等于普通年金终值与一期复利终值系数的乘积。利终值系数的乘积。 注意注意：这个结论的条件是预付年金与普通年金金：这个结论的条件是预付年金与普通年金金额相等，期数相同，利率也相等。额相等，期数相同，利率也相等。 预付年金的现值：预付年金的现值：是指在一定时

40、期（是指在一定时期（n)n)内，在一定内，在一定利率利率(i)(i)下，每期期初等额系列收付值下，每期期初等额系列收付值(A)(A)的现值之和。的现值之和。其计算方式也可以下面的图加以说明。我们再看其计算方式也可以下面的图加以说明。我们再看1 1例。例。n n（1+i1+i）FVIFA(iFVIFA(i，n)n)AA2.52.5FVAFVAn n(1+i)(1+i)= = 【例题【例题4 4 】求每年年初收到】求每年年初收到30003000元，元，期限为期限为5 5年，利息率为年，利息率为10%10%的这一系列的这一系列金额的现值。金额的现值。 1 2 3 4 5 年初 3000 3000 3

41、000 3000 3000现值现值0%1013000）（ 1%1013000）（ 2%1013000）（ 3%1013000）（ 4%1013000）（ PVAD =12509.7PVAD =12509.75 5利率利率10%10%，期限为，期限为5 5的的30003000元预付年金现值计算图元预付年金现值计算图上图列式计算如下：上图列式计算如下：PVAD =PVAD =5 50%1013000）（ 1%1013000）（ 2%1013000）（ 3%1013000）（ 4%1013000）（ 1%1013000）（ 2%1013000）（ 3%1013000）（ 4%1013000）（ =

42、= 5%1013000）（ (1+10%)事实上，上述中括号中的计算结果就是：事实上，上述中括号中的计算结果就是： 金额、期限和利率都相等的普通年金的现值，请看下图金额、期限和利率都相等的普通年金的现值，请看下图 1 2 3 4 5 年末 3000 3000 3000 3000 3000普通年金普通年金 1 2 3 4 5 年初 3000 3000 3000 3000 3000预付年金预付年金所以，这个例题的预付年金现值和普通所以，这个例题的预付年金现值和普通年金现值之间的关系就是：年金现值之间的关系就是：预付年金现预付年金现值等于值等于其其普通年金现值乘以一期的复利终值系数。普通年金现值乘以

43、一期的复利终值系数。即：即：PVAD =PVAD =5 5PVAPVA5 5 (1+10%)(1+10%)PVIFA(10%,5)PVIFA(10%,5)AA= =(1+10%)(1+10%) 上述公式还有一种表示方式，那就是：预付年金现值等上述公式还有一种表示方式，那就是：预付年金现值等于比于比其其期限少一期的普通年金现值加上一期不贴现的年金期限少一期的普通年金现值加上一期不贴现的年金之和。即：之和。即：PVAD =PVAD =5 5PVIFA(10%,4)PVIFA(10%,4)AAAPVAPVA4 4= =A3000 3000 3000 3000 1 2 3 4 5 年初 5 5期预付年

44、金期预付年金3000 0 1 2 3 44 4期普通年金期普通年金年末将上述例题一般化就是：将上述例题一般化就是：(1+i)(1+i)PVAPVA n n= =（1+i1+i）PVIFA(iPVIFA(i，n)n)AA2.62.6或者或者PVAD =PVAD =n nPVIFA(iPVIFA(i，n-1)n-1)AAA= =PVAPVAn-1n-1A2.72.7所以，所以， 结论结论：期限为期限为n n，利率为，利率为i i的预付年金的预付年金A A的现值等于其的现值等于其普通年金现值普通年金现值与与其其利率相同的利率相同的一期复利终值系数一期复利终值系数的乘积。的乘积。以以2.62.6式表示

45、。式表示。或者等于比其少一期的普通年金现值加上或者等于比其少一期的普通年金现值加上不贴现的一期年金之和。以不贴现的一期年金之和。以2.72.7式表示。式表示。为了便于记忆，我们以为了便于记忆，我们以2.62.6式为主。式为主。1-40 （1 1）预付年金的终值等于其普通年金的终值与预付年金的终值等于其普通年金的终值与其利率相同的一期复利终值系数的乘积，即：其利率相同的一期复利终值系数的乘积，即： FVAFVAn n(1+i)(1+i)（1+i1+i）FVIFA(iFVIFA(i，n)n)AA= =总结：总结：（2 2）预付年金的现值等于其普通年金的现值与其利率预付年金的现值等于其普通年金的现值

46、与其利率相同的一期复利终值系数的乘积，即：相同的一期复利终值系数的乘积，即： (1+i)(1+i)（1+i1+i）PVIFA(iPVIFA(i，n)n)AAPVAPVAn n= =FVAD =FVAD =n n 检验：检验：请将例题请将例题3 3和例题和例题4 4分别用三种方法进行检验：分别用三种方法进行检验：用教材用教材P52P52的公式，用这里的公式，用这里2.52.5式和式和2.62.6式以及直接采用复式以及直接采用复利终值和复利现值进行加总计算，看看结果是否一样？利终值和复利现值进行加总计算，看看结果是否一样？2.52.52.62.6PVAD =PVAD =n n1-41 永续年金永续

47、年金：是指无限期支付（或收入）的年金。典是指无限期支付（或收入）的年金。典型的例子有：永久债券，优先股股利。型的例子有：永久债券，优先股股利。 是指未规定偿还期的债券 有固定股利但无到期日的股利 提示：提示：当我们谈到永续年金时，往往想知道的是这个当我们谈到永续年金时，往往想知道的是这个年金的现在价值，即年金的现在价值，即永续年金的现值永续年金的现值，其终值是没有意义，其终值是没有意义的，因为它根本就无终点。的，因为它根本就无终点。思考：思考：假如我们想存一笔钱，以后不取本，而是每年一假如我们想存一笔钱，以后不取本，而是每年一次地取一笔相同的利息，请问现在该存入多少本钱？次地取一笔相同的利息，

48、请问现在该存入多少本钱？ 例如在年利率为例如在年利率为8%8%，以后每年能够取到，以后每年能够取到10001000元的利元的利息，并永远如此地取下去的情况下，你现在该存入多少息，并永远如此地取下去的情况下，你现在该存入多少才行？才行？ 显然这是一个存本取息的例子，我们显然这是一个存本取息的例子，我们可以很容易地解出这个题目：现在该存入可以很容易地解出这个题目：现在该存入1250012500元。元。 因为因为12500125008%=10008%=1000，那么，那么12500=12500=%81000 把这个式子一般化可否得到：把这个式子一般化可否得到：pvpv= = ，即：永续年金，即：永续

49、年金的现值等于永续年金与利率的商？的现值等于永续年金与利率的商？iA 已知普通年金的现值为：已知普通年金的现值为：PVA =nAiin)1(1 如果这项年金为永续年金，则如果这项年金为永续年金，则nn，那么：永续年金，那么：永续年金的现值为：的现值为：PVA =iA2.72.7答：答： 【例题【例题5 5 】某著名学者拟建立一项永久性的奖学】某著名学者拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发金，每年计划颁发10 00010 000元奖金。如果利率为元奖金。如果利率为5%5%，请问现在他应存入多少钱？请问现在他应存入多少钱？PVA =iA=%510000= 200 000（元）所以，该学者现在该存

50、入所以，该学者现在该存入200 000元。元。 年金是指每次收入或付出相等金额的系列款项，而单年金是指每次收入或付出相等金额的系列款项，而单利和复利终值和现值的计算则是就一次收付而言的。但在利和复利终值和现值的计算则是就一次收付而言的。但在经济活动中，往往要发生每次收付款项金额不相等的系列经济活动中，往往要发生每次收付款项金额不相等的系列款项，这就要计算不等额系列收付款的现值或终值之和。款项，这就要计算不等额系列收付款的现值或终值之和。 例如，下图是一笔现金流量，贴现率为例如，下图是一笔现金流量，贴现率为5%5%，求这笔，求这笔不等额现金流量的现值。不等额现金流量的现值。 0 1 2 3 4

51、40001000200020003000提示提示：先画出现金流量图，然后可以分段：先画出现金流量图，然后可以分段计算年金的现值，然后再加总。计算年金的现值，然后再加总。计算列式：计算列式：PV =PV =9 930003000PVIFAPVIFA（10%10%，3 3）+2000 +2000 PVIFAPVIFA（10%10%，5 5）3%101）（ +1000 +1000 9%101）（ = = 1358113581（元）（元） 前面介绍的都是假设复利计息和贴现都是以年为单前面介绍的都是假设复利计息和贴现都是以年为单位。然而在现实种，复利计算会在一年内发生几次，所位。然而在现实种，复利计算会

52、在一年内发生几次，所以对于利率为年利率时，就必须对以上模型进行修正。以对于利率为年利率时，就必须对以上模型进行修正。 例如一个银行声明付给储户例如一个银行声明付给储户10%10%的年利率，半年复利的年利率，半年复利计息。这样该储户一年的存款价值为：计息。这样该储户一年的存款价值为：（元）（5 .110205. 110002%101100022 显然这个结果不会等于按年复利计算的结果显然这个结果不会等于按年复利计算的结果1100元。元。所以其实际利率要高于名义利率，可以计算出来其实际所以其实际利率要高于名义利率，可以计算出来其实际利率为：利率为：%25.101025. 0100010005 .1

53、102 实际利率也可以通过下列公式来求出：实际利率也可以通过下列公式来求出：22%1011PVPV实际利率）（%25.1012%1012实际利率 可以从上述计算中推导出实际利率的一般计算公式：可以从上述计算中推导出实际利率的一般计算公式：11mmi实际利率2.8 其中：其中：i名义利率名义利率; m为一年内的复利次数为一年内的复利次数 所以，如果一项投资的期限为所以，如果一项投资的期限为n年，当其一年内复利计年，当其一年内复利计息息m次时，该投资的终值为：次时，该投资的终值为：mnmiPVFV1 【例题【例题6 6 】如果你采用贷款来购买汽车，期限一年，】如果你采用贷款来购买汽车，期限一年，每个月支付一次金额为每个月支付一次金额为4396.104396.10元，年利率为元，年利率为5.2%5.2%。请。请问：该贷款的终值是多少？实际利率是多少？问：该贷款的终值是多少？实际利率是多少？2.9 解：解： 110,935.122412%2 . 510000012%2 . 511000001212，FVIFmiPVFVmn%33. 51053257. 1112%2 . 5112实际利率 前面的分析说明了复利计息一年可以不止一次。人们可前面的分析说明了复利计息一年可以不止一次。人们可以半年、