导数与微分的MATLAB求解ppt课件

1、第7章 导数与微分的MATLAB求解编者 Outlinen7.1 7.1 导数概念导数概念n7.2 7.2 导数的导数的MATLABMATLAB符号求解符号求解n7.3 7.3 函数的微分函数的微分n7.4 7.4 微分中值定理微分中值定理n7.5 7.5 洛必达法那么洛必达法那么n7.6 7.6 泰勒公式泰勒公式n7.7 7.7 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性n7.8 7.8 函数的极值与最值函数的极值与最值n7.9 7.9 曲线的渐近线曲线的渐近线n7.10 7.10 曲率曲率n7.11 7.11 方程的近似解方程的近似解n7.12 7.12 导数的数值求解导数的数值

2、求解7.1 导数概念1.1.导数的定义导数的定义 设函数设函数 在点在点 的某个邻域内有定义，当自变量的某个邻域内有定义，当自变量 在在 处获得增处获得增量量 假设点假设点 仍在该邻域内时，相应的函数获得增量仍在该邻域内时，相应的函数获得增量 ；假设；假设 与与 之比当之比当 时的极限存在，那么称函数时的极限存在，那么称函数 在点在点 处处可导，并称这个极限为函数可导，并称这个极限为函数 在点在点 处的导数，记为处的导数，记为 ，即，即也可记作也可记作 或或 。 将上面导数的定义式中的将上面导数的定义式中的 换为换为 即可得到导函数的定义式即可得到导函数的定义式 根据函数根据函数 在点在点 处

3、的导数处的导数 的定义，导数的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此此 存在即存在即 在点在点 处可导的充分必要条件是左、右极限处可导的充分必要条件是左、右极限 及及 都存在且相等。这两个极限分别称为函数都存在且相等。这两个极限分别称为函数 在点在点 处的左导数和右处的左导数和右导数，记作导数，记作 及及 ，即，即 如今可以说，函数如今可以说，函数 在点在点 处可导的充分必要条件是左导数处可导的充分必要条件是左导数 和右导数和右导数 都存在且相等。都存在且相等。2.2.导数的几何意义导数的几何

4、意义 函数函数 在点在点 处的导数处的导数 在几何上表示曲线在几何上表示曲线 在点在点 处的切线的斜率，即处的切线的斜率，即 其中其中 是切线的倾角。是切线的倾角。 假设函数假设函数 在点在点 处的导数为无穷大，这时曲线处的导数为无穷大，这时曲线 的割的割线以垂直于线以垂直于 轴的直线轴的直线 为极限位置，即曲线为极限位置，即曲线 在点在点 处处具有垂直于具有垂直于 轴的切线轴的切线 。7.2 导数的MATLAB符号求解1.1.函数的导数与高阶导数函数的导数与高阶导数 MATLAB MATLAB符号工具箱中提供了函数符号工具箱中提供了函数diffdiff来求取普通函数的导数以及高阶导来求取普通

5、函数的导数以及高阶导数，该函数的调用格式如下：数，该函数的调用格式如下：D=diff(fx,x,n)D=diff(fx,x,n)运转结果如下图。运转结果如下图。 图图 函数导数的图形直观表示函数导数的图形直观表示2.2.隐函数的导数隐函数的导数 方程方程 表示一个函数，由于当自变量表示一个函数，由于当自变量 在在 内取值时，变量内取值时，变量 有确定的值与之对应。例如，当有确定的值与之对应。例如，当 时，时， ；当；当 时，时， ，等等，这样的函数称为隐函数。，等等，这样的函数称为隐函数。 普通的，假设变量普通的，假设变量 和和 满足一个方程满足一个方程 ，在一，在一定条件下，当定条件下，当

6、取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的独一取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的独一的的 值存在，那么就说方程值存在，那么就说方程 在该区间内确定了一个隐函数。在该区间内确定了一个隐函数。 隐函数求导的普通采用如下步骤：隐函数求导的普通采用如下步骤：方程两边同时对方程两边同时对 求导，这里应留意求导，这里应留意 ；整理求得整理求得 的表达式，即为隐函数的导数。的表达式，即为隐函数的导数。3.3.由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 假设知参数方程假设知参数方程 ，那么，那么 可以由如下递推公可以由如下递推公式求出：式求出：7.3 函数的微分n微分的定义微分的定义

7、n 设函数设函数 在某区间内有定义，在某区间内有定义， 及及 在该区间内，假设在该区间内，假设增量增量n可表示为可表示为n 其中其中 是不依赖于是不依赖于 的常数，那么称函数的常数，那么称函数 在点在点 是可微是可微的，而的，而 叫做函数叫做函数 在点在点 相应于自变量增量相应于自变量增量 的微分，记作的微分，记作 ，即即n 下面讨论函数可微的条件。设函数下面讨论函数可微的条件。设函数 在点在点 可微，那么由可微，那么由 两边同时除以两边同时除以 ，得，得n 于是，当于是，当 时，由上式就可得到时，由上式就可得到n 因此，假设函数因此，假设函数 在点在点 可微，那么可微，那么 在点在点 也一定

8、可导也一定可导即即 存在，且存在，且 n 反之，假设反之，假设 在点在点 可导，即可导，即 n 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成n 其中其中 ，由此又有，由此又有n 因因 ，且，且 不依赖于不依赖于 ，故，故 所以函数所以函数 在点在点 也是可微的。也是可微的。n 通常把自变量通常把自变量 的增量的增量 称为自变量的微分，记作称为自变量的微分，记作 ，即，即 。于是，函数。于是，函数 的微分又可记作的微分又可记作n n 从而有从而有 ，这就是说，函数的微分，这就是说，函数的微分 与自变量的微分与自变量的微分 之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做

9、之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商。微商。2.2.微分的几何意义微分的几何意义 在直角坐标系中，函数在直角坐标系中，函数 的图形是一条曲线。对于某一固定的的图形是一条曲线。对于某一固定的 值，曲线上有一个确定点值，曲线上有一个确定点 ，当自变量，当自变量 有微小增量有微小增量 时，就得时，就得到曲线上另一点到曲线上另一点 ，由，由图可知：图可知： 过点过点 作曲线的切线作曲线的切线 ，它的倾角为，它的倾角为 ，那么，那么 即即 。 微分的几何意义微分的几何意义7.4 微分中值定理1. 1. 罗尔定理罗尔定理 为更好地了解罗尔定理，先引见费马引理：设函数为更好地了解罗尔定理，先引见费马

10、引理：设函数 在点在点 的某邻的某邻域域 内有定义，并且在内有定义，并且在 处可导，假设对恣意的处可导，假设对恣意的 ，有，有那么那么 。 引见罗尔定理，假设函数引见罗尔定理，假设函数 满足：满足：在闭区间在闭区间 上延续；上延续；在开区间在开区间 内可导；内可导；在区间端点处的函数值相等，即在区间端点处的函数值相等，即 。那么在。那么在 内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 。罗尔定理的直观演示如下图。罗尔定理的直观演示如下图。 图图 罗尔定理图形直观表示罗尔定理图形直观表示 2.2.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 罗尔定理中罗尔定理中 这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的运用遭这个条件

11、是相当特殊的，它使罗尔定理的运用遭到限制。假设把到限制。假设把 这个条件取消，但仍保管其他两个条件，并相应的改动结论，这个条件取消，但仍保管其他两个条件，并相应的改动结论，那么就得到微分学中非常重要的拉格朗日中值定理。那么就得到微分学中非常重要的拉格朗日中值定理。 假设函数假设函数 满足：满足：在闭区间在闭区间 上延续；上延续；在开区间在开区间 内可导；内可导；那么在那么在 内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 成立。成立。 关于拉格朗日中值定理的证明此处从略，这里仅引见该定理的几何关于拉格朗日中值定理的证明此处从略，这里仅引见该定理的几何意义，如下图。由于上式可以改写为意义，如下图。由于上

12、式可以改写为且且 为弦为弦 的斜率，而的斜率，而 为曲线在点为曲线在点 处的切线的斜率。因此处的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义是：假设延续曲线拉格朗日中值定理的几何意义是：假设延续曲线 的弧的弧 上除端点上除端点外处处具有不垂直于外处处具有不垂直于 轴的切线，那么该弧上至少有一点轴的切线，那么该弧上至少有一点 ，使曲线在，使曲线在 点处的切线平行于弦点处的切线平行于弦 。而且易知，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一。而且易知，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形。种特殊情形。 拉格朗日中值定理图形直观表示拉格朗日中值定理图形直观表示( , )a b( , )a b3.柯西中值定理柯

13、西中值定理 前面曾经指出，假设延续曲线弧前面曾经指出，假设延续曲线弧 上除端点外处处具有不垂直于横轴上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点的切线，那么这段弧上至少有一点 ，使曲线在点，使曲线在点 处的切线平行于弦处的切线平行于弦 。设。设 由参数方程由参数方程表示，如下图。其中表示，如下图。其中 为参数，那么曲线上点为参数，那么曲线上点 处的切线的斜率为处的切线的斜率为弦弦 的斜率为的斜率为 假定点假定点 对应于参数对应于参数 ，那么曲线上点，那么曲线上点 处的切线平行于弦处的切线平行于弦 ，可表示，可表示为为 柯西中值定理图柯西中值定理图形直观表示形直观表示7.5 洛必

14、达法那么 1. 1. 型洛必达法那么型洛必达法那么假设当假设当 时，两个函数时，两个函数 与与 都区域零或趋于无穷大，那都区域零或趋于无穷大，那么极限么极限能够存在，也能够不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为能够存在，也能够不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为 或或 。关于未定式极限我们通常运用洛必达法。关于未定式极限我们通常运用洛必达法LHospitalLHospital那么求解那么求解，本小节先引见，本小节先引见 和和 时的时的 型未定式的求解方法。型未定式的求解方法。这里不加证明的给出如下两个定理：这里不加证明的给出如下两个定理：设函数设函数 与与 满足：满足：当当

15、时，函数时，函数 与与 都趋于无穷大；都趋于无穷大；在点在点 的某去心邻域内，的某去心邻域内， 与与 都存在且都存在且 ； 存在或为无穷大，存在或为无穷大，那么那么2. 2. 型洛必达法那么型洛必达法那么 下面我们着重引见下面我们着重引见 型的洛必达法那么，现实上，这种方式的型的洛必达法那么，现实上，这种方式的洛必达法那么在实践中用的洛必达法那么在实践中用的 较多，而且较多，而且 型也可以由型也可以由 型变换得到，关于该种类型的洛必达法那型变换得到，关于该种类型的洛必达法那么同样有以下两个定理：么同样有以下两个定理： 设函数设函数 与与 满足：满足：当当 时，函数时，函数 与与 都趋于零；都趋

16、于零；在点在点 的某去心邻域内，的某去心邻域内， 与与 都存在且都存在且 ； 存在或为无穷大，存在或为无穷大，那么那么7.6 泰勒公式 泰勒Taylor中值定理：假设函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，那么对任一 ，有 其中这里 是 与 之间的某个值。 多项式 称为函数 按 的幂展开的 次泰勒多项式，上述公式称为 按 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 阶泰勒公式，而 称为拉格朗日型余项。7.7 函数的单调性与曲线的凹凸性n函数单调性的断定法函数单调性的断定法n 设函数设函数 在在 上延续，在上延续，在 内可导，在内可导，在 上任取两点上任取两点 ，运用拉格朗日中值定理，得到，运用拉

17、格朗日中值定理，得到n由于由于 ，因此，假设在，因此，假设在 内导数内导数 坚持正号，即坚持正号，即 ，那么也有那么也有 。n于是于是 n即即n阐明函数阐明函数 在在 上单调添加。同理，假设在上单调添加。同理，假设在 内导数内导数 坚持负号，即坚持负号，即 ，那么也有，那么也有 。于是。于是 ，即，即 ，阐明函数，阐明函数 在在 上单调减少。上单调减少。n 归纳以上讨论，即得以下定理：设函数归纳以上讨论，即得以下定理：设函数 在在 上延续，在上延续，在 内可导，内可导，n假设在假设在 内内 ，那么函数，那么函数 在在 上单调添加；上单调添加；n假设在假设在 内内 ，那么函数，那么函数 在在 上

18、单调减少。上单调减少。2.2.曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 我们从几何上可以看到，在有的曲线弧上，假设任取两点，那么我们从几何上可以看到，在有的曲线弧上，假设任取两点，那么结合这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有的曲线弧，那么结合这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有的曲线弧，那么正好相反。曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。因此曲线的凹凸性可以正好相反。曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。因此曲线的凹凸性可以用结合曲线弧上恣意两点的弦的中点与曲线弧上相应点即具有一样横用结合曲线弧上恣意两点的弦的中点与曲线弧上相应点即具有一样横坐标的点的位置关系来描画，下面给出曲线凹凸性的定义。

19、坐标的点的位置关系来描画，下面给出曲线凹凸性的定义。 设设 在区间在区间 上延续，假设对上延续，假设对 上恣意两点上恣意两点 ，恒有，恒有那么称那么称 在在 上的图形是向上凹的或凹弧；假设恒有上的图形是向上凹的或凹弧；假设恒有那么称那么称 在在 上的图形是向上凸的或凸弧。上的图形是向上凸的或凸弧。 假设函数假设函数 在区间在区间 内具有二阶导数，那么可以利用二内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来断定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的断定定阶导数的符号来断定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的断定定理。这里仅就理。这里仅就 为闭区间的情形来表达曲线凹凸性的断定定理，当为闭区间的情形

20、来表达曲线凹凸性的断定定理，当 不是闭区间时，定理类同。不是闭区间时，定理类同。 设设 在区间在区间 上延续，在上延续，在 内具有一阶和二阶内具有一阶和二阶导数，那么导数，那么假设在假设在 内内 ，那么，那么 在在 上的图形上的图形是凹的；是凹的；假设在假设在 内内 ，那么，那么 在在 上的图形上的图形是凸的。是凸的。 普通的，设普通的，设 在区间在区间 上延续，上延续， 是是 的的内点，假设曲线内点，假设曲线 在经过点在经过点 时，曲线的凹时，曲线的凹凸性改动了，那么就称点凸性改动了，那么就称点 为曲线的拐点。为曲线的拐点。7.8 函数的极值与最值1.1.函数的极值及其求法函数的极值及其求法

21、 设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域 内有定义，假设对于去心邻域内有定义，假设对于去心邻域 内的任一内的任一 ，有，有那么就称那么就称 是函数是函数 的一个极大值或极小值。的一个极大值或极小值。 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数获得极值的点称函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数获得极值的点称为极值点。下面给出可导函数获得极值的必要条件和充分条件：为极值点。下面给出可导函数获得极值的必要条件和充分条件：必要条件：设函数必要条件：设函数 在点在点 处可导，且在处可导，且在 处获得极值，那么处获得极值，那么 。第一充分条件：设函数第一充分条件：设函数 在点在点 处延续，且在

22、处延续，且在 的某去心邻域的某去心邻域 内可导，内可导，假设假设 时，时， ，而在，而在 时，时， ，那么，那么 在点在点 处获得极大值；处获得极大值；假设假设 时，时， ，而在，而在 时，时， ，那么，那么 在点在点 处获得极小值；处获得极小值；假设假设 时，时， 的符号坚持不变，那么的符号坚持不变，那么 在在 处没有极值。处没有极值。 第二充分条件：设函数第二充分条件：设函数 在点在点 处具有二阶导数，且处具有二阶导数，且 ， ，那么，那么当当 时，函数时，函数 在在 处获得极大值；处获得极大值；当当 时，函数时，函数 在在 处获得极小值。处获得极小值。2.2.最大值最小值问题最大值最小值

23、问题 在求函数的最大值或最小值时，特别值得指出的是下述情：在求函数的最大值或最小值时，特别值得指出的是下述情： 在一个区间有限或无限、开或闭内可导且只需一个驻点，并在一个区间有限或无限、开或闭内可导且只需一个驻点，并且这个驻点且这个驻点 是函数是函数 的极值点，那么，当的极值点，那么，当 是极大值时，是极大值时， 就是就是 在该区间上的最大值；当在该区间上的最大值；当 是极小值时，是极小值时， 就是就是 在该在该区间上的最小值。区间上的最小值。7.9 曲线的渐近线 假设存在直线 ，使得当 时，曲线 上的动点 到直线 的间隔 ，那么称 为曲线 的渐近线。 渐近线通常有以下三种：程度渐近线：假设函

24、数 的定义域是无限区间，且 ，其中 为常数，那么直线 为曲线 的程度渐近线；垂直渐近线：假设存在常数 ，使得 ，那么称直线 为曲线 的垂直渐近线；斜渐近线：假设 成立，那么称 是曲线 的斜渐近线，可以证明： 7.10 曲率1.1.弧微分弧微分 函数函数 在区间在区间 内具有延续导数。在曲线内具有延续导数。在曲线 上取固定点上取固定点 作为度量弧长的基点如下图，并规定依作为度量弧长的基点如下图，并规定依 增大的方向作为曲线的正增大的方向作为曲线的正向。对曲线上任一点向。对曲线上任一点 ，规定有向弧段，规定有向弧段 的值的值 简称为弧简称为弧 如如下：下： 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的绝

25、对值等于这弧段的长度，当有向弧段 的方向与曲线的正向的方向与曲线的正向一致时一致时 ，相反时，相反时 。显然，弧。显然，弧 与与 存在函数关系存在函数关系 ，而且，而且 为为 的单调添加函数。而且我们可以求得的单调添加函数。而且我们可以求得 这就是弧微这就是弧微分公式。分公式。 图图 弧微分求解表示图弧微分求解表示图2.2.曲率及其计算公式曲率及其计算公式 在实践中，我们通常运用曲率来描画曲线的弯曲程度。在实践中，我们通常运用曲率来描画曲线的弯曲程度。 设曲线设曲线 是光滑的，在曲线是光滑的，在曲线 上选定一点上选定一点 作为度量弧作为度量弧 的基点。的基点。设曲线上点设曲线上点 对应于弧对应

26、于弧 ，在点，在点 处切线的倾角为处切线的倾角为 这里假定曲线这里假定曲线 所所在的平面上已设定了在的平面上已设定了 坐标系，曲线上另外一点坐标系，曲线上另外一点 对应于弧对应于弧 ，在点在点 处切线的倾角为处切线的倾角为 ，如下图，那么，弧段，如下图，那么，弧段 的长度为的长度为 ，当动点从，当动点从 挪动到挪动到 时切线转过的角度为时切线转过的角度为 。 我们用比值我们用比值 ，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段 的平均弯曲程度的平均弯曲程度，把该比值叫做弧段，把该比值叫做弧段 的平均曲率，并记作的平均曲率，并记作 ，即，即 当当 时即时

27、即 时，上述平均曲率的极限叫做曲线时，上述平均曲率的极限叫做曲线 在点在点 处的曲率，记作处的曲率，记作 ，即，即 曲率推导表示图曲率推导表示图 对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线挪动时，切线的倾角 不变， ，从而 。这就是说，直线上恣意点 处的曲率都等于零，这与我 们直觉认识到的“直线不弯曲一致。 对于半径为 的圆，其上点 、 处的切线所夹的角 等于中心角 为圆心，又 ，于是 从而 ，即圆上各点处的曲率都等于半径 的倒数 ，这就是说，圆的弯曲程度四处一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害。 下面不加证明地给出曲线 上恣意点的实践计算曲率的公式，如下：假设曲线由参数方程给出，那么

28、可利用参数方程所确定的函数的求导法，求出 及 ，代入曲率公式有3222( )( )( )( )( )( )ttttKtt3.3.曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 设曲线设曲线 在点在点 处的曲率为处的曲率为 ，在点，在点 处的曲线的法线上，在凹的一侧取处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点一点 ，使，使 ，以，以 为圆心，为圆心， 为半径作圆，如图为半径作圆，如图1 1所示，这个圆叫做曲线在点所示，这个圆叫做曲线在点 处的曲率圆，曲率圆的圆心处的曲率圆，曲率圆的圆心 叫做曲线在点叫做曲线在点 处的曲率中心，曲率处的曲率中心，曲率圆的半径圆的半径 叫做曲线在点叫做曲线在点 处的曲率半径。处的曲率半径

29、。 图图1 1 曲率圆表示图曲率圆表示图 设知曲线的方程是设知曲线的方程是 ，且其二阶导数，且其二阶导数 在点在点 不为零，那么曲不为零，那么曲线在对应点线在对应点 的曲率中心的曲率中心 的的坐标为的的坐标为 当点 沿曲线 挪动时，相应的曲率中心 的轨迹曲线 称为曲线 的渐屈线，而曲线 称为曲线 的渐伸线，如图2所示。所以曲线 的渐屈线的参数方程为 其中 ， 为参数，直角坐标系 与 坐标系重合。 图2 曲线的渐屈线表示图7.11 方程的近似解1.1.隔根区间隔根区间 在用近似方法求方程的根时，需求知道方程的根所在的区间。假设在用近似方法求方程的根时，需求知道方程的根所在的区间。假设在区间在区间

30、 内只需函数内只需函数 的一个零点，那么称区间的一个零点，那么称区间 为方程为方程 的的一个隔根区间。通常我们可以用逐渐扫描法来寻觅方程一个隔根区间。通常我们可以用逐渐扫描法来寻觅方程 的隔根区的隔根区间。逐渐扫描法的普通执行流程如下图。间。逐渐扫描法的普通执行流程如下图。 图图 隔根区间的搜索流程隔根区间的搜索流程2.二分法及其二分法及其MATLAB实现实现 在求方程近似根的一切方法中，二分法是非线性方程求解最直观、最在求方程近似根的一切方法中，二分法是非线性方程求解最直观、最简单的方法。它是经过将非线性方程简单的方法。它是经过将非线性方程 的零点所在小区间逐次收缩一半的零点所在小区间逐次收

31、缩一半，使区间的两个端点逐渐逼近函数的零点，以求得函数零点的近似值的，使区间的两个端点逐渐逼近函数的零点，以求得函数零点的近似值的方法。二分法是以延续函数的介值定理为根底建立的。由介值定理可知方法。二分法是以延续函数的介值定理为根底建立的。由介值定理可知，假设函数，假设函数 在在 上延续且上延续且 ，在方程，在方程 在在 上必有一根上必有一根 。 为表达方便，记为表达方便，记 ，用中点，用中点 将区间将区间 分成分成2个小区间个小区间 和和 ，计算，计算 。假设。假设 ，那么，那么 就是方程的解；否那么，就是方程的解；否那么， 与与 有且仅有且仅有一式成立，假设有一式成立，假设 ，令，令 ，

32、；假设；假设 ，那么令，那么令 。于。于是有是有 ，因此，因此 为新的有根区间且为新的有根区间且 的长度为的长度为 长度的一半，对新的区长度的一半，对新的区间执行一样的操作可以得到一系列有根区间间执行一样的操作可以得到一系列有根区间 图图1给出了二分法的几何意义。给出了二分法的几何意义。 图图1 二分法几何意义二分法几何意义 由图1可知，二分法每一步执行的操作就是将有根区间一分为二，直至所求得的根到达所要求的精度为止，其执行流程如图2所示。 图2 二分法执行流程3. 3. 牛顿法及其牛顿法及其MATLABMATLAB实现实现 对于方程对于方程 ，假设，假设 是线性函数，那么它的求根是容易的。是线性函数，那么它的求根是容易的。牛顿法本质上就是一种线性化方法，其根本思想是将非线性方程牛顿法本质上就是一种线性化方法，其根本思想是将非线性方程 逐渐归结为某种线性方程来求解。逐渐归结为某种线性方程来求解。 设方程设方程 有近似根有近似根 ，将函数，将函数 在点在点 处展开，那么有处展