高等数学：1(1)映射与函数

1、1数学是科学的大门和钥匙数学是科学的大门和钥匙. . 培根培根(Advanced Mathematics)2 3集集 合合映映 射射小结小结 思考题思考题 作业作业函函 数数第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数(function and limit)( set )( mapping )( function )第一章第一章 函数与极限函数与极限41. 集合集合(set)概念与记号概念与记号具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该组成这个集合的事物称为该映射与函数映射与函数一、集合一、集合 集合集合元素元素(简称简称元元)(

2、集集)元素元素(element).集合的集合的通常以大写字母通常以大写字母,MBA等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等表示集合的元素等表示集合的元素.,mba;Aa Aa ,的元素的元素是是若若Aa否则记否则记记作记作,Aa属于属于则说则说或或.aA5映射与函数映射与函数集合分类集合分类 有限集有限集无限集无限集只含有限个元素只含有限个元素;不是有限集的集合不是有限集的集合.列举法列举法表示集合方法有两种表示集合方法有两种 描述法描述法 把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来, 例例 考察由下列元素考察由下列元素9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0,

3、A可以用可以用列举法列举法将其表示成将其表示成9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 , 0列举法有很大的局限性列举法有很大的局限性.组成的集合组成的集合 A外加花括号外加花括号.6xPx具有性质具有性质映射与函数映射与函数如如: :由不超过由不超过1010的奇数组成的集合的奇数组成的集合,其元素有其元素有50亿个亿个, 要把它们全部写出来要把它们全部写出来,且有很多集合且有很多集合, 其元素是其元素是很多纸张很多纸张!根本无法一一罗列出来根本无法一一罗列出来.得用得用很多时间很多时间,不可数的不可数的, 更常用的是列出规定这个集合特定性质更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办

4、法来表示集合的办法来表示集合, 就是就是 描述法描述法. . M花括号中竖线前的花括号中竖线前的x而竖线后而竖线后x是是 M 中元素的通用符号中元素的通用符号,则是则是 x 所具有的性质所具有的性质.Px具有性质具有性质可用可用列举法列举法表示为表示为.0322 xxx0322 xx的根组成的集合的根组成的集合也可用也可用描述法描述法表示为表示为 ,3 , 1 例例 由方程由方程7 映射与函数映射与函数注注对几个对几个常用的数集常用的数集规定记号如下规定记号如下数集的字母的数集的字母的数集内排除数集内排除0的集的集. “” “”数集内排除数集内排除0与负数的集与负数的集.全体全体非负整数非负整

5、数即自然数的集合即自然数的集合N;, 2, 1 , 0 n 即即N,全体全体正整数正整数的集合为的集合为N+;, 2, 1 n 全体全体整数整数的集合记作的集合记作 Z,即即Z;, 2, 1 , 0,1, 2,nn 右上角右上角标上标上:8映射与函数映射与函数全体全体有理数有理数的集合的集合即即Q; qpZ, pN+ q互质互质与与且且qp全体全体实数实数的集合的集合R为排除为排除0的实数集的实数集,R+为为全体全体正实数正实数的集的集.记作记作Q,记作记作R,全体全体复数复数的集合记作的集合记作C,即即CR,1,2 ibabia9,Ax 若若的的是是BA两个集合两个集合1,2 ,1,2,3,

6、4AB.BA中中的的每每一一个个元元素素都都属属于于一般地一般地,BA 若若.BA ,2 , 1 A如如,0232 xxxB.BA 则则,Bx 则则必必映射与函数映射与函数子集子集则称则称集合集合A与与B相等相等, ,BA 记作记作则称则称2. 集合集合(set)的关系及集合的运算的关系及集合的运算(1) 集合的关系集合的关系子集子集,(读作读作A包含包含于于B) 或或AB (读作读作B包含包含 A).集合相等集合相等,AB 且且记作记作10映射与函数映射与函数).(记作记作如如 01,2xRxx空集空集. .不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为,BABA 且且若若则称则称的的是是BA

7、真子集真子集记作记作A .B如如 NZQR. 真子集真子集,空集空集规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.今后在今后在提到一个集提到一个集合时合时,一般都是一般都是如不加特别声明如不加特别声明,非空集非空集.11映射与函数映射与函数2. 集合集合(set)的关系及集合的运算的关系及集合的运算 集合的基本运算有三种集合的基本运算有三种:并集并集, 交集交集, 差集差集.即即;BxAxx 或或记作记作设设 A, B 是两个集合是两个集合,由所有属于由所有属于A称为称为A与与B的的 并集并集,ABABAB ,(2) 集合的运算集合的运算于于B元素元素或者属或者属组成的集合组成的集合,12

8、映射与函数映射与函数称为称为A与与B的的记作记作即即;BxAxx 且且交集交集, ,由所有既属于由所有既属于A由所有属于由所有属于A称为称为A与与B的的差集差集, ,记作记作即即,BABA.BxAxx 且且又属于又属于B元素元素ABAB 集合的基本运算有三种集合的基本运算有三种:并并, 交交, 差差.ABAB,组成的集合组成的集合,而不属于而不属于B的元素的元素组成的集合组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集两个集的并与交可推广到任意多个集推广推广并与交并与交.13映射与函数映射与函数注注研究某个问题时所考虑的对象的全体研究某个问题时所考虑的对象的全体记作记作.CA例如例如, , ,6

9、, 5 , 4 , 3,4 , 3 , 2 , 1 BA设设则则BA .2 , 1 ,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,4 , 3 余集余集或或补集补集. .ABAB并用并用 I 表示表示,称为称为全集全集或或基本集基本集, ,并把差积并把差积特别称为特别称为A的的AI例如例如, ,在在实数集实数集R中中, 集合集合10 xxA的的余集余集 CA10 xx或或.x143. 集合集合(set)的运算法则的运算法则映射与函数映射与函数CBA,设设为任意三个集合为任意三个集合, 则下列法则成立则下列法则成立:(1) 交换律交换律 AB =BA, AB=BA ;(2) 结合律结合律 ( A

10、B ) C = A ( B C ) , ( AB ) C = A ( B C ) ;(3) 分配律分配律 ( AB )C= ( A C )( B C ) , ( AB )C= ( A C ) ( B C ) ;(4) 对偶律对偶律 (AB)C= AC BC ,(AB)C= AC BC ;15映射与函数映射与函数(5) 幂等律幂等律 AAAA(6) 吸收律吸收律 A= A,= A;= A, A= .4. 直积直积 (乘积集或笛卡儿乘积乘积集或笛卡儿乘积)法国数学家、哲学家法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年年)设设 A,B 是两个集合是两个集合, 则称则称 BA),(yxA

11、x By 且且为为 A, B 的的直积直积. .如如,),1 , 1( ABA 则则),( yx 10, 11 yxOxy1 11,1 , 0 B又如又如,即为即为xOy面上面上R,),( RR yxyx全体点全体点的集合的集合,RR 常记作常记作,R2即即R.RR2 xyOA BBA165. 区间区间(interval)区间是指介于某两个实数之间的全体实数区间是指介于某两个实数之间的全体实数. ba 且且bxax 称为称为),(ba记作记作bxax 称为称为,ba记作记作这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,都都是是实实数数和和设设ba映射与函数映射与函数开区间开区间, ,闭区

12、间闭区间, ,xOabxOab17bxax bxax 称为称为),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb 有限区间有限区间无限区间无限区间映射与函数映射与函数半开半闭区间半开半闭区间. . 全体实数的集合全体实数的集合R 也可记作也可记作),( 是无限区间是无限区间.xOaxOb18映射与函数映射与函数区间长度的定义区间长度的定义两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的称为区间的今后在不需要辨明所论区间是否包含今后在不需要辨明所论区间是否包含有限区间、有限区间、称它为称它为 “区间区间”, , 常用常用I 表示表示.长度长度. .无限区间的场合无限区间的

13、场合,注注端点、端点、简单地简单地193. 邻域邻域(neighbourhood). 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a,中中心心点点a为为半半径径 ),( aU| axx 的的称称为为点点a 数集数集即即映射与函数映射与函数 邻域邻域, , 记作记作它它是是以以.的的开开区区间间几何表示几何表示:),(表示表示 aU.的全体的全体的一切点的一切点距离小于距离小于与点与点xa . axaxxOa a a( , ).U a20映射与函数映射与函数),( aU 有时简记为有时简记为).(aU),( aU记记作作的的点点a,邻域邻域的的 去心去心( (空心空心) ) 0. axx ）， aU(

14、 即即ax 开区间开区间开区间开区间的的称为称为a),(aa ,邻域邻域左左 ),( aa的的称为称为a.邻域邻域右右 两个闭区间的直积表示两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形平面上的矩形区域区域.如如, ,dcba ,),(dcybaxyx 即为即为xOy平面上的矩形区域平面上的矩形区域, 这个区域在这个区域在x轴与轴与y轴上的投影分别为闭区间轴上的投影分别为闭区间,ba和闭区间和闭区间.,dc214. 逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号. 、 “ ”表示表示 “任取任取 ”, 或或“任意给定任意给定”.“ ” 表示表示 “存在存在

15、”,“至少存在一个至少存在一个”,或或“能够找到能够找到”. 如如实数的阿基米德实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样公理是这样叙述的叙述的:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,. bna 使使得得用逻辑符号用逻辑符号, 和和将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写: . bna 使使得得 , 0, ba,Nn Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写映射与函数映射与函数Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写22符号符号“ ” 表示表示 “蕴含蕴含 ”,或或 “推推出出”.符号符号“ ” 表示表

16、示 “等价等价 ”,或或 “充分必充分必要要”.5. 绝对值绝对值(absolute value) 00aaaaa)0( a运算性质运算性质baab baba ababab)0( aaxaxa )0( aax. axax 或或绝对值不等式绝对值不等式映射与函数映射与函数23映射与函数映射与函数X中所有元素的像所组成的集合中所有元素的像所组成的集合记作记作fR 或或f 的的),(Xf或或即即 fR )(Xf .)(Xxxf 称为称为在中学数学中所接触的在中学数学中所接触的函数函数实际是实际是:实数集实数集(或其子集或其子集) 到实数集的到实数集的映射映射.例如例如, ,映射映射f :,RR ,s

17、in)(xxfy 正弦函数正弦函数值域值域,像集像集,24映射与函数映射与函数二、映射二、映射1. 映射概念映射概念(mapping)定义定义 设设 X、Y 是两个非空集合是两个非空集合,如果存在如果存在一个法则一个法则f ,使得对使得对通过通过f ,在在Y中有中有唯一唯一确定的确定的元素元素 y 与之对应与之对应,则称则称f 为为从从 X 到到 Y 的的映映(或或算子算子),记作记作:f并称并称y为为x(在映射在映射f下下)的的像像,并记作并记作),(xf即即),(xfy ,YX x称为称为y的的原像原像.,Xx 射射定义域定义域 即即,fD.XDf 记记25对对,Xx 元素元素 x 的像的

18、像y是是唯一唯一的的;映射与函数映射与函数而对而对,fRy 元素元素 y 的原像不一定是唯一的的原像不一定是唯一的;映射映射 f 的值域的值域fR是是Y 的一个子的一个子集集,YRf 即即不一定不一定.YRf (2)注注(1)集合集合X, 即定义域即定义域;XDf 集合集合Y, 即值域的范围即值域的范围:;YRf 对应法则对应法则f , 使对使对,Xx 有有唯一唯一确定的确定的)(xfy 与之对应与之对应.三个要素三个要素:构成一个构成一个映射映射必须具备以下必须具备以下 26映射与函数映射与函数设映射设映射:f.YX ,YRf 若若值域值域即即Y 中任一元素中任一元素y 都是都是X中某中某元

19、素的像元素的像, 则称则称f 是是满射满射.若若,21xx 必有必有),()(21xfxf 则称则称f 是是单射单射.若映射若映射f 则称则称f 是是一一 一一 映射映射( (或或双射双射).).2. 几类重要映射几类重要映射又是单射又是单射,21Xxx 既是满射既是满射,27映射与函数映射与函数例例 设设),(1 X,2,22 X),(1 Y.1 , 12 Y,:111YXf,:212YXf,:123YXf,:224YXf,sin)(xxfi , 1 i对应关系对应关系:, 2, 3 4既既非满射非满射, 又又非单射非单射;满射满射, 非单射非单射;单射单射, 非满射非满射; 满射满射, 单

20、射单射, 即为即为一一映射一一映射.对定义域内的任一对定义域内的任一x ,28映射与函数映射与函数(1) 如图如图,1 , 0 X设设.,),( XxxyyxY xOyxy x1令由令由X 到到Y 的对应关系为的对应关系为:fXx ,),(Yxx 则则f 是一个从是一个从X 到到Y 的映射的映射.满射满射, 单射单射, 即为即为一一映射一一映射.(2) , 2, 1 nX 设设.,2, 4, 2nY 令令nn2), 2 , 1( n则则f 是一个从是一个从X 到到Y 的映射的映射.:f满射满射, 单射单射, 即为即为一一映射一一映射.29映射与函数映射与函数2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映

21、射设有设有单射单射,:YXf则由定义则由定义,fRy 对对有有唯一唯一的的,Xx .)(yxf 适合适合于是于是, 可定义一可定义一个从个从,:XRgfXRf到到的新映射的新映射g, 即即,fRy 对对规定规定,)(xyg 这这 x 满足满足.)(yxf 这个映射这个映射g称为称为 f 的的逆映射逆映射, ,记作记作,1 fg其定义域其定义域,fR值域值域 1fR,21xx 必有必有),()(21xfxf 则称则称f 是是单射单射.,21Xxx 若若 1fD.X30映射与函数映射与函数设有两个映射设有两个映射:g:f其中其中2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射Xx 显然显然.21YY 由由f

22、g和和它将它将映成映成这个对应法则是从这个对应法则是从 X到到Z 的一个映射的一个映射,此映射称为由此映射称为由g和和f 构成的构成的 复合映射复合映射, ,记作记作,gf 即即:gf ,ZX )(xgf ,1YX ,2ZY 对应法则对应法则,).(xgffgDR gRg的值域的值域的定义域的定义域ff)(xg.Z 可确定出从可确定出从 X到到Z 的一个的一个,Xx 对对31映射与函数映射与函数例例 设有映射设有映射,1 , 1: Rg,sin)(xxgu 和映射和映射,1 , 01 , 1 : f,)(2uufy 则映射则映射g和和f 构成的复合映射构成的复合映射:gf ,1 , 0R,Rx

23、 对对有有 )(xgf f)(f xsin.)(2 )(xgxsin321.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注三、函数三、函数(function)而是相对而是相对“过程过程”而言的而言的.映射与函数映射与函数常量常量; ; 变量变量. .在某过程中数值保持不变的量称为在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量一个量是常量还是变量,不是绝对的不是绝对的,常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法:在高等数学中在高等数学中,通常用字母通常用字母 a, b, c等表示常量等表示常量,用字母用字母

24、 x, y, t 等表示等表示变变量量.33 初等数学初等数学, ,就其总体来说是就其总体来说是进入变量的数学进入变量的数学 微积分微积分. .映射与函数映射与函数“常量的数学常量的数学”, ,从现在开始从现在开始, ,34映射与函数映射与函数 定义定义 设数集设数集,RD 则称映射则称映射RDf:为定义在为定义在D上的上的函数函数, ,通常简记为通常简记为自变量自变量因变量因变量定义域定义域(domain)定义中定义中,按对应法则按对应法则f , 总有总有唯一唯一确定的值确定的值y与之对应与之对应, 这个值称为函数这个值称为函数f 在在x处的处的函数值函数值, ,记作记作函数关系函数关系(

25、),fyf x xDD记D )(DfRf函数值函数值全体组成的集合称为全体组成的集合称为)(xfrange记作记作fR),(Df或或即即. ),(Dxxfyy 函数函数f 的的值域值域, ,2. 函数概念函数概念,xD 如果对( ),yf x35映射与函数映射与函数注注)(xff 和和记号记号含义的区别含义的区别.:f自变量自变量x和因变量和因变量y之间的对应法则之间的对应法则;:)(xf与自变量与自变量x对应的函数值对应的函数值;:),(),(DxxfyDxxf 或或定义在定义在D上的函数上的函数,应理解为由它所确定的函数应理解为由它所确定的函数f.(1) (2) 函数的记号函数的记号: 除

26、常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如如 、Fg相应地相应地, 函数可记作函数可记作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可记作也可记作:y)(x y在同一个问题中在同一个问题中,讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时.36映射与函数映射与函数(3) 对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:,xy 单值函数单值函数, ,多值函数多值函数. .约定约定:.xy 今后今后无特别说明无特别说明时时, 函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(4) 构成函数的构成函

27、数的xyxylg2lg2 、是是两个不同的函数两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如与对应法则与对应法则f .定义域定义域fD两个要素两个要素:,xD 对37 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即即简称函数表示法的简称函数表示法的).(, 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其中其中设设 1111)( xxxxf答案答案表达式求解表达式求解)(xf这是由这是由 )(xgf的的映射与函数映射与函数(5)而与用什么字母无关而与用什么字母无关,的有效方法的有效方法.无关特性无关特性, ,xut( )( )( )fff38利用函数表示与

28、变量字母无关的特性利用函数表示与变量字母无关的特性. .,1xxt ,11tx 代入原方程得代入原方程得,12)()11(ttftf ,111uux ,11ux 代入上式得代入上式得uuuufuf)1(2)1()11( 令令即即令令即即三式联立三式联立映射与函数映射与函数).(, 1, 0,2)1()(xfxxxxxfxf求求其中其中设设 解解1111)( xxxxfxxxxxxxxt39定义域定义域一般有两种一般有两种:(1)自变量所能取的使算式有意义的一切自变量所能取的使算式有意义的一切定义区间定义区间. .由问题的实际意义所确定由问题的实际意义所确定.(2)函数的定义域常用区间来表示函数

29、的定义域常用区间来表示,又可称为又可称为:映射与函数映射与函数实际问题实际问题(几何或物理问题几何或物理问题);在纯数学的研究中在纯数学的研究中 (函数由一个公式函数由一个公式实数组成的集合实数组成的集合,这种定义域称为这种定义域称为自然定义域自然定义域. .表示的表示的).40例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(映射与函数映射与函数01 x11 x1712 x定义域是定义域是定义域是定义域是012 x(2)2160

30、x211x 41常用的函数关系表示法常用的函数关系表示法公式法公式法(解析法解析法);主要有主要有三种形式三种形式表格法表格法.各种表示法各种表示法,都有其都有其优点和不足优点和不足. 图形法图形法;公式法公式法(解析法解析法)图形法图形法表格法表格法今后以公式法为主今后以公式法为主, 映射与函数映射与函数 便于进行理论分析和计算便于进行理论分析和计算;形象直观形象直观,富有启发性富有启发性,便于记忆便于记忆;便于查找函数值便于查找函数值, 但它常常是不完全的但它常常是不完全的.也可用语言描述也可用语言描述.配合使用图形法和表格法配合使用图形法和表格法. 是多种多样的是多种多样的. 42函数的

31、图形函数的图形(图象图象)取自变量在横轴上取自变量在横轴上在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指则函数的图形是指变化变化,平面点集平面点集:通常是一条或几条通常是一条或几条映射与函数映射与函数曲线曲线(包括直线包括直线).),(yxP),(xfy Dx RR 中的集合中的集合xyOyx ),(yx)(xfy fRDC43例例 按国家规定按国家规定,个人月收入个人月收入x不超过不超过880元不纳税元不纳税,超过超过880元而小于元而小于1380元的部分按元的部分按 5纳税纳税,而而超过超过1380元小于元小于2000元的部分按元的部分按 10

32、纳税纳税,则则个人月收入个人月收入x与交纳所得税与交纳所得税 y 的函数关系为的函数关系为 y880 x1380880 x20001380 x, 0)880( x 除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,有些有些函数随着自变量取不同的值函数随着自变量取不同的值, 1005)8801380(分段函数分段函数. .我国部分工薪人员应纳多少税我国部分工薪人员应纳多少税映射与函数映射与函数,10010)1380( x25,1005 这种函数称为这种函数称为函数关系也不同函数关系也不同,44 0, 10, 12)(2xxxxxf12 xy12 xy映射与函数映射与函数例例xyO45

33、几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数映射与函数映射与函数绝对值函数绝对值函数例例 | xy, 0 x0 x ,x,x 定义域定义域),( D值域值域)., 0 fRxyO| xy 46xyO符号函数符号函数 xysgnxxx sgn 定义域定义域),( D值域值域.1 , 0 , 1 fR对对例例映射与函数映射与函数, 0 x,1, 0 x,00 x,1 11 ,Rx 有有或或.sgn|xxx 47 取整函数取整函数如如 5 . 25 例例映射与函数映射与函数,n Znnxn ,1当当xy 2 2 . 55 9 . 77 5 5 . 2 3 xy xyo 3 2 1 12 3 阶梯曲线阶梯

34、曲线 定义域定义域),( D值域值域.整数整数 fR表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数1421 1 2 48例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Qx .CQx 狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859(x为有理函数为有理函数)(x为无理函数为无理函数)映射与函数映射与函数, 1, 0 定义域定义域),( D值域值域.1 , 0 fR 有理数点有理数点无理数点无理数点 xyO149设设则则f (x)的定义域的定义域 )0(f )1(f)3 , 1 20(1) 填空填空:映射与函数映射与函数2 ,10;( )2,01;1,13.xxf xxxx 502. 用

35、分段函数表示函数用分段函数表示函数13 xy分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案: 1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注映射与函数映射与函数而不是几个函数而不是几个函数.1-243xyO51有界性有界性 (bounded)设函数设函数y=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,Axf )(则说则说 f(x) 在区间在区间I上上有上有上 界界.),)(Bxf (下下), Ix 使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有映射与函数映射与函数(B),3. 函数的几种特性函数的几种特性52 若存在常数若存在常数使得对所有使

36、得对所有, Ix Mxf )(则称则称 f(x) 在在I上上有界有界. 在在 I上上无界无界;映射与函数映射与函数MxfM )(, 0 M都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在, 则称则称 f(x)即为对于任何即为对于任何, 0 M 总存在总存在,0Ix ,)(0Mxf 使使则称则称 f(x)在在 I上上无界无界.有界有界无界无界xyOab)(xfMM ,baI xyO20 xMxy1 )2 , 0( I53在定义域上有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例xysin 是有界函数是有界函数;xy1 是无界函数是无界函数, 但它在区间但它在区间 上上), 0( 在区间在区间 上上), 1(

37、 注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数, 就是无界函数就是无界函数.显然显然,映射与函数映射与函数(bounded function)有界函数有界函数. .有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界.54).(1)(2在定义域内为在定义域内为函数函数xxxf A. 有上界无下界有上界无下界B. 有下界无上界有下界无上界C. 有界有界, 且且21)(21 xfD. 有界且有界且2122 xx解解21)(xxxf 21|xx 22|1|2|1|xx21 |)|21(2xx C解题提示解题提示将函数取绝对值将函数取绝对值, 然后用

38、不等式然后用不等式放缩法放缩法.21)(21 xf故故映射与函数映射与函数55六个常见的有界函数六个常见的有界函数, 1|sin| x,|arccos| x, 1|cos| x),(,2|arcsin| x,2|arctan| x,|cotarc| x),(1 , 1 映射与函数映射与函数56单调性单调性(monotonicity),)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数时时当当2121,xxIxx 上上在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(),()(21xfxf 是是单调增加单调增加;映射与函数映射与函数.DI 区区间间如果对如果对恒有恒有 monotone increasingxyOI

39、)(xfy )(1xf)(2xf1x2x57I,)(Dxf的的定定义义域域为为设设函函数数 注注 应指明单调区间应指明单调区间 ,否则会产生错误否则会产生错误. 是是单调减少单调减少.映射与函数映射与函数)(xfy )(1xf)(2xf1x 2x .DI 区区间间时时当当2121,xxIxx ),()(21xfxf 如果对如果对恒有恒有上上在在区区间间则则称称函函数数Ixf)(monotone decreasingxyO58 (1) 选择题选择题:.2)(; 34)(; 25)(; 1)(xxyDxyCxyBxyA :, 0, 0,), 0()()2(21求证求证上有定义上有定义在在设设 xx

40、xf,)(单调增加单调增加若若xxf映射与函数映射与函数在区间在区间 上由上由( )0 , 1( 是单调增加的是单调增加的.,)(单调减少单调减少若若xxf).()()(2121xfxfxxf 则则);()()(2121xfxfxxf 则则给出的函数给出的函数B59证证12120,0,xxxx设且22()f xx于是于是1221212(),f xxxxxxx又)()()(2121xfxfxxf )()(2221xfxxfx 映射与函数映射与函数11)(xxf22)(xxf )(212xxfx )(22xfx )(12xfx1221()()x f xx f x121212( )(0,),0,0,

41、:( ),()()()f xxxf xf xxf xf xx设在上有定义求证若单调减少 则60奇偶性奇偶性偶函数的图形偶函数的图形,关于原点对称关于原点对称设设D),()(xfxf 称称 f(x)为为偶函数偶函数 (even function); 映射与函数映射与函数有有对于对于,Dx xyO)( xf )(xfy )(xfxx61,关于原点对称关于原点对称设设D),()(xfxf 奇函数的图形奇函数的图形称称 f(x)为为奇函数奇函数 (odd function). 映射与函数映射与函数有有对于对于,Dx xyO)( xf )(xf)(xfy xx62(1) 不要把奇偶函数当作两个完全相反的

42、不要把奇偶函数当作两个完全相反的(2) 奇偶性是对称区间而言的奇偶性是对称区间而言的,否则无从谈否则无从谈奇偶函数的运算性质奇偶函数的运算性质:(1) 奇奇(偶偶)函数的代数和仍为奇函数的代数和仍为奇(偶偶)函数函数;(2) 偶数个奇偶数个奇(偶偶)函数之积为偶函数函数之积为偶函数;奇数个奇函数的积为奇函数奇数个奇函数的积为奇函数.(3) 一奇一偶的乘积为奇函数一奇一偶的乘积为奇函数.注注映射与函数映射与函数概念概念.奇、偶奇、偶.63)1ln()1(2 xxy为为是判别是判别)(0)()(xfxfxf 判别给定函数的奇偶性判别给定函数的奇偶性,解题提示解题提示奇函数奇函数的的有效方法有效方法

43、.判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性:)2111)()2( xaxFy.)(, 1, 0为奇函数为奇函数其中其中xFaa 奇函数奇函数偶函数偶函数有时也用其运算性质有时也用其运算性质.映射与函数映射与函数主要是根据主要是根据奇偶性的定义奇偶性的定义,64周期性周期性(periodicity)的的周期周期.)()(xflxf ,Dx 使得使得周期函数周期函数(period function).映射与函数映射与函数如果存在一个如果存在一个正数正数l且总有且总有称为称为f (x)通常称周期函数的通常称周期函数的周期周期是指是指最小正周期最小正周期. ., l周期为周期为 的周期函数的周期函数l

44、,)(Dlx 有有23l23l 2l 2lOxy设函数设函数 f (x)的定义域为的定义域为D,则称则称f (x)是是65映射与函数映射与函数例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Qx .CQx , 1, 0狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数, 任何正有理数任何正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.66周期函数的运算性质周期函数的运算性

45、质:的周期为的周期为则则的周期的周期为为若若)(,)()1(baxfxfl 则则为为周周期期的的函函数数均均是是以以若若,)(),()2(lxgxf;)()(为周期的函数为周期的函数也是以也是以lxgxf ,)(),()3(21llxgxf分别是以分别是以若若解题提示解题提示判别给定函数是否为周期函数判别给定函数是否为周期函数,有时也用其运算性质有时也用其运算性质.映射与函数映射与函数为周期的函数为周期的函数.函数函数,主要是根据周期的定义主要是根据周期的定义,21ll ;|al为周期的为周期的的最小公倍数的最小公倍数12( )( ),f xg xl l则是以674. 反函数与复合函数反函数与

46、复合函数映射与函数映射与函数).(),(1Dfxxfy :1 f设函数设函数f :单射单射则它存在则它存在逆映射逆映射称此称此映射映射1 f为函数为函数f 的的反函数反函数. .习惯上习惯上,Dxxfy ),(的反函数记成的反函数记成(1)定义定义反函数反函数(inverse function)D)(Df)(DfD,3xy ,3yx 如如Rx 单射单射.Ry 反函数反函数直接函数直接函数3yx 通常将通常将写作写作,3xy Rx 一般地一般地,68映射与函数映射与函数 直接函数与反函数的图形直接函数与反函数的图形xy 直线直线对称对称.关于关于xyO ),(baP ),(abQ)(1xfy 反

47、函数反函数)(xfy 直直接接函函数数xy 69映射与函数映射与函数如如xy10 其反函数为其反函数为yxlg 指数函数指数函数),( 定义域为定义域为值域为值域为);,0( 写成写成xylg Oxyxy 1xy10 1xylg 注注并不是所有函数都存在反函数并不是所有函数都存在反函数.2xy 如如 函数函数),( 定义域为定义域为值域为值域为);,0 但对但对), 0( y都有两个都有两个yx 1和和yx 2与之对应与之对应, x不是不是y 的函数的函数,2xy 不存在反函数不存在反函数.并称为对数函数并称为对数函数.70( (减减) ),而且反函数也是而且反函数也是单调递增单调递增( (减

48、减).).映射与函数映射与函数在什么条件下在什么条件下, 一个函数存在反函数一个函数存在反函数反函数存在定理反函数存在定理若直接函数若直接函数f在在D上单调递增上单调递增,1 f求反函数的步骤求反函数的步骤;)(中解出中解出从方程从方程把把xfyx ,对换对换与与的的把刚才所得的表达式中把刚才所得的表达式中yx).(1xf (1)(2)即得所求函数的反函数即得所求函数的反函数则函数则函数f :单射单射D),(Df则它必存在反函数则它必存在反函数71选择题选择题(1) 函数函数 的反函数是的反函数是( ).2101 xy).2lg(1)(;1log)(; 2log)(;2lg21)(2 xyDx

49、yCyBxxyAx D(2) 函数函数(A) 完全不同的完全不同的; (B) 部分相同部分相同,部分不同部分不同;(C) 完全相同的完全相同的; (D) 可能相同可能相同,也可能不同也可能不同. C映射与函数映射与函数)(xfy )(yx 与它的反函数与它的反函数在同一坐标系中的图象是在同一坐标系中的图象是( ).72映射与函数映射与函数,uy 设设21xu 21xy 4. 反函数与复合函数反函数与复合函数(2)复合函数复合函数 (compound function ) 定义定义 设函数设函数)(ufy 的定义域是的定义域是,1D函数函数)(xgu 上上在在D有定义有定义,且且,)(1DDg

50、则由下式则由下式确定的函数确定的函数),(xgfy Dx 称为由函数称为由函数)(ufy 、)(xgu 构成的构成的复合函数复合函数. .记作记作,gf 即即).()(xgfxgf 它的定义域为它的定义域为.D中间变量中间变量ufDDg )(73(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数;2122 xuuy和和如如(2) 复合函数可以由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.注注因为因为 的值域的值域22xu )2 ，不能构成复合函数不能构成复合函数.不能包含于不能包含于21uy 的定义域的定义域 1 , 1 映射与函数映射与函

51、数之中之中.(3) 反过来反过来,一个复杂的函数根据需要也可以一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合分解为若干简单函数的复合.fDDg )(74,211xey ,ey ,1 u.12xv 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最由函数的最外层运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.映射与函数映射与函数如如uv都是中间变量都是中间变量.vu,复合函数的定义域是复合函数的定义域是, 12 x即即), 1()1 , 1()1,( 而不是而不是21xv 的定义域的定义域).,( 剥皮法剥皮法75例例.)3

52、(,21, 210, 1)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 231, 2130, 1)3(xxxf 12, 223, 1xx.1, 3 故定义域为故定义域为映射与函数映射与函数求复合函数的定义域求复合函数的定义域,的值要落在外边函数的定义域内的值要落在外边函数的定义域内.注意保证套在里边的函数注意保证套在里边的函数76 将两个或两个以上函数进行复合是本节的将两个或两个以上函数进行复合是本节的难点难点,根据函数的特点分别讲几种复合的方法根据函数的特点分别讲几种复合的方法.(1) 代入法代入法 将一个函数中的自变量用将一个函数中的自变量用另一个函数另一个函数的表的表达式来替代达

53、式来替代,这种构成复合函数的方法这种构成复合函数的方法,法法,称为代入称为代入该法适用于初等函数的复合该法适用于初等函数的复合.例例 设设,1)(2xxxf 求求 次次nxfff)(解解)()(2xffxf )(1)(2xfxf 221xx 222111xxxx 映射与函数映射与函数77映射与函数映射与函数2221)(xxxf 由以上两式可推测由以上两式可推测:21)(nxxxfn 由数学归纳法可证明上式成立由数学归纳法可证明上式成立.)()(23xffxf )(1)(222xfxf 231xx 22221121xxxx 21)(xxxf 78(2) 分析法分析法及中间变量的定义域进行及中间变

54、量的定义域进行抓住最外层函数定义域的各区间段抓住最外层函数定义域的各区间段, 结合结合该法适用于初等函数与分段函数或分段函该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合数之间的复合.映射与函数映射与函数中间变量的表达式中间变量的表达式分析分析.例例).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设 79例例).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设 解解,1)()1(时时当当 x , 0 x或或12)( xx ;20 x, 0 x或或11)(2 xx ; 1 x映射与函数映射与函数,1,1,)( xxxexfx)(x )

55、(x )(x )(x )(x )(x 2)( xexf 12)( xexf 80,1)()2(时时当当 x , 0 x或或12)( xx ;2 x, 0 x或或11)(2 xx ; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设 映射与函数映射与函数2)( xxf 1)(2 xxf 81映射与函数映射与函数5. 函数的运算函数的运算设函数设函数)(),(xgxf的定义域分别为的定义域分别为,21DD21DDD , 则可定义这两个函数的下列运算则可定义这两个函数的下列运

56、算:和和( (差差) ) )(xgf:gf ;Dx 积积:gf )(xgf;Dx 商商:gf )(xgfDx 且且; 0)( xg线性组合线性组合:gf ,为实数为实数, )(xgf Dx ),()(xgxf ),()(xgxf ,)()(xgxf),()(xgxf 821) 幂函数幂函数(power function)( 是常数是常数 xy 定义域与定义域与 的取值有关的取值有关. 6. 初等函数初等函数(elementary function)(basic elementary function)映射与函数映射与函数(1) 基本初等函数基本初等函数xyO11)1 , 1(xy 2xy xy

57、1 xy 832) 指数函数指数函数(exponential function)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0(xey 定义域为定义域为),( 值域为值域为)., 0( 映射与函数映射与函数xyO 843) 对数函数对数函数(logarithm function)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a定义域为定义域为).,( 值域为值域为), 0( 映射与函数映射与函数xyO)0 , 1( 854) 三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 映射与函数映射与函数11 xyO 2 2 23 2 23 286xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 映射与函数映射与函数11 xyO 2 2 23 2 23 25 87正切函数正切函数xycot 余切函数余切函数xytan xytan xycot 定义域定义域).,(值域值域 Znnx ,212 定义域定义域).,(值域值域Znnx , 映射与函数映射与函数xyO2 2 23 23 xyO 22 2 23 885) 反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)x