第三章电阻电路的分析

1、2有向图匚23第一个问题就是如何确定有效355.52009-8-29452其余均为树支单连支回673i I000现可列出六个独立的电流0解方程组82009-8-299选支路3、 则支路1、 在树T上,囲10有多少个网孔回路，就有多少个基本回路。RhR4i4R6i6i 1n + 11、2、4、Us50R3i3 R4i4Lb：2009-8-29 因此基本回路组都是独立的 n +1。R2i2R5i5R4i4可列 3个独立的KCL方程。 （流出为正，流入为负）Us1R3i3R2i2i 2。四个方程中，任意一 个，均可由其它三个推出 来，因此n个KCL方程并不都 独立。去掉其中的任意一 个，其它三个就是

2、独立的。 因此，独立的KCL方程数为 （n 1）。恳。5 is5）0、独立的KVL方程数1、基本回路-例题1:求图示电路的支路电流4；5；6。树：包含所有节点，不包含任何回路 节点数为：n ;则树支数为：（nG。KVL方程 la :lb2009-8-29(n 1)个1。O3、3、5、la lb lcIDV05、子图一一由图G的部分节点和支路组成的集合。 6、树：连通图G的一个树T是指：G的一个连通子图，包含G的全部节点 但不包含任何回路，而且，这些节点都是连通的。树应具有这样的特点：若 去掉任意一条支路，则就成为非连通的。7、 连支：图g中除树支以外的y其它支路叫连支。8、平面图：平面上不交叉

3、的图。1、 节点和支路：节点一一三条或三条以上支路的交汇点称为节点；支路组成电路的一个元件或流过同一电流的几个元件的串联组合，称为一条支路。2、电路的图一一一个图G,是一组由节点和支路组成的集合。如上图b 通常，电阻和电压源的串联代表一个有内阻的实际电压源，可看作一条支路。而电阻和电流源的并联也代表一个有内阻的实际电流源，也作为一条支 路。这样，图中共有4个节点，节点数用n表示，则n= 4 ;共有6条支路，支路数用b表示，则b= 6。如上图c。3、有向图一一将图G的每条支路都标上电流参考方向，就构成了有向图 （通常，支路电压和电流取关联参考方向。）2009-8-2920 10i21、KCL方程

4、：3个独立节点m : i 1 + 匚2 + i 6 =0 n2 : 2 +3 +4=0 n : i4 + i5 i6=02、KVL方程：独立方程数 若选支路2、3、4为树，节点数n= 4，独立的KCL方程数=n 仁3个。 支路数b= 6，独立的KVL方程数=b n+ 1=3个 若以各支路电流作为变量，则应有六个电流 变量，以上六个方程刚好可以可求解。得： b=0A， i2=1A，i3 = b + i2=1A校验（可略）：满足 KCL方程； 电源发出的功率：二 电阻消耗的功率：一、支路电流法-*_>图的有关概念Ps=20 X 仁20W ；刀 Pr=10 X 12+ 10 X 12 =20W

5、。是连通的。-1） O如O解：画出图，确定独立的 KCL、KVL方程数，（可省略） 设定并标出支路电流及参考方向。KCL方程4、5为树支构成树T，树支数为:2、6为连支，连支数为：b n 加入一个连支1，形成一个回路： 加入一个连支2,形成一个回路： 加入一个连支6,形成一个回路： 以上回路，构成回路的支路中，只有一条连支, 路。单连支回路数=连支数=b n + 1o *基本回路一一单连支回路称为基本回路，： *对于平面电路一一网孔数=基本回路数=b 2009-8-29i1 1010i2 20 10(i2 i1)(ni1 +b n +§ 3-2 KCL和KVL勺独立方程数我们知道在写

6、KCL、KVL时，只是根据电路的连接方式就可写出刀 u=0 和刀i=0,不需要考虑各支路的元件分别是什么。因此，KCL、KVL方程是只考虑电路结构的方程。以前遇到的电路分析问题，电路都很简单，有效的方程数目总是可以通过 观察凑出来的，人工求解也不复杂。当一个电路很复杂很庞大时，要想全靠人 工求解就非常困难了，单是写出所有有效方程就不是一件容易的事，这就必须 借助计算机来分析和求解。利用计算机来分析（独立）的KCL、KVL方程数。一、独立的KCL方程数（=基本回路数）=b n+ 1=3个。1、5、6为连支，则3个网孔回路即为基本回路。连通图一一图中的每个节点和支路都是连通的。如上图中的图为连通图

7、 若图中的节点和支路不都是连通的，则为非连通图。 比如，由变压器、光电隔离器等器件构成的图就为非连通图。 如下图：第三章：电阻电路的一般分析（8）通过前面两章的学习，我们已经可以分析较简单的电阻电路了。 所用工具为：电阻的串并联等效化简、Y 变换； 欧姆定律、KCL、KVL ； 电源等效变换。但以上方法仅限于较简单电路的分析计算。如果电路较复杂，且所 含受控源较多，就不便于用等效化简法来分析计算了，必须寻求其他更 为通用的一般分析方法。但最基本的东西仍为KCL、KVL、Q定律及等 效变换。§ 3-1电路的图我们在学KCL、KVL时知道，写KCL、KVL方程时，只要知道电路 的结构即可

8、，不需要知道各支路的元件是什么。也就是说，KCL、KVL只与电路结构有关，而与元件性质无关。但一个电路往往可列出很 多个KCL、KVL方程，而这些方程并不全是独立的，即其中某个方程可 由其他另几个方程推出来。如果列出的方程不独立，就解不出要求解的 变量。为分析KCL、KVL方程的独立性，我们先介绍一些有关图论的基 本知识。2009-8-29请看下图电路：2、独立的KVL方程数 独立的KVL方程数=电路的基本回路数=b n + 1 o 对于平面电路，有几个网孔，就可写出几个独立的KVL方程。§ 3-3支路电流法以电路中各支路电流作为变量列方程求解电路的分析方法。1=1 )个is =0

9、OR:h + i? = i3仁3 2 + 1=2 个。共有六条支路，有六个电流变量变量方程，因此，可以完全求解。而求出了六个支路电流后， 各支路电压也就可以方便地求出了。思考：如果第5条支路是电阻和电流源的并联，怎么办？如上图。KCL方程：n：i一 i4 i6=0n2： b 2 + 匚3=0n4： i3 + i4 i5=0n3：i2 + i5 + i6 =0Rd© J/7_VV2009-8-29J (令a)思考：如何求下图所示电路各支路电流?三、含受控源电路处理办法：受控源暂按独立源处理，列写KCL、KVL方程;补充控制量与支路电流关系的方程。例2：求下图电路各支路电流。解 n=2,

10、 b=3,可写1个KCL方程，2个KVL方程。（可略） KCL : b + i2= i3 KVL :如图选取两个回路，则有：6 h 24+ 10 i2 +24 2 i2 = 0 或 6X（ i, -4） + 10 i2 + 24 2 i2 = 02 i2 24 + 4 i3 = 0 解方程组可得：i, = 8A i2 = 7A i3 = 1A这里受控源的控制量刚好就是要求的支路电流变量，故不需要补充 方程。如果控制量为6Q电阻上的电压u 6，则须补充方程： 2009-8-29U 6Q = 6X（ i 1 4）10Un这类电路，节点数很少，而支路数却相对较多，若每条 支路设一电流变量，用支路电流

11、法求解，就须解多元方程 组，工作量较大。如果能方便地求出节点电压U n,则就可方便地求出各条支路的电流。2009-8-2911§ 3-4节点电压法一、节点电压以电路中某一节点作为参考节点（电位为0）,其他节点与此参考 节点之间的电压（电位差）称为节 点电压。1、选参考节点2、规定各独立节点的节点电压二、节点法% 1=1-7*1、某节点电压方程一般形式：自电导X该节点电压 一互电导X相邻节点电压= 流入该节点的电源电流代数和2009-8-2912自电导:n1 ：n2 :和该节点相连的所有电导的代数和。1R1R3G11G2211R2R31R4某节点对相邻节点的互电导为该节点和该相邻节点相

12、连的所有电导代数和互电导:G12 耳、流入节点的电源电流和:i s11's22's1R112009-8-2931R2Un1G21£ r'l11HuLi?L 0崖苦节点Us1R31Un1问题：节点电压方程为什么是这种形式？其实质是什么?2、节点电压方程的实质1111usR；R；R；Un1R3Un2-R1Un1R1Un1&Un1Un2UsR3UsR3n1R11 1R3R4 Un2Is1一 UR3R3R4Un2则方程为:G11 Un1G» u21 n1G12 Un 2's11G22 Un 2's22n2isUsR1(1)(2)13例

13、题1：列写图示电路的节点电压方程。 解：取节点0为参考节点，节点1、 的节点电压分别为2、1R11R51R6Un1Un11汇"2Un2、Un3°1R6Un3's1U 4R5 n11Un1R6R41Un 2R41U oR4n31一 一一 U.R3R4ReR2 R51 1Un2'n 3Un2 Un1R3i 3 i4Un2R4'Sis(2')可见，节点电压方程的实质就是该节点的基尔霍夫电流 定律（KCL ）。2009-8-29特例2：电路中含有理想电压源支路时，如何处理？见右图。（1）办法一：合理选择参考节点，使其 中一个独立节点的电压为已知数。如

14、图B选节点0为参考节点，则节点3的 电压就为Un3 =10V。节点电压方程为：1 1111 _Un1Un210 is1 is6& &R6&&11111U n1Un210 0R5n1R4&R5R414n参考节点如果支路1也是一个理想电压源支路 Us1=8V，则三个节点电压 就只有一个未知量Un2。如图。节点电压方程为：1R51R41R21R5Un21R410 02009-8-29163ie0CTJB1E1Ais6Us3R3特例1：电流源支路串电阻时，节点电压方程如何写?处理办法是：和电流源串联的电阻 R7不予考虑。请看上图原因是：R7的大小及有无，一点不能

15、影响电流源is6的值，或者说在不要求求解该支路内部参数时，电流源 和R7串联支路完全可由电流源is6支路等效。2009-8-29（2）办法二： 给理想电压源设一电 流iUo此时，节点3的电压为已知量 10V，由于是电源，必然要贡献电 流，其电流iU为待求未知量。11111 “ R1艮RsUn1u艮n2r10is11111R51 “R5Un1R4R2Un2R4 101n1Un2UR6110'uis6E1015具体在解题时，这两种处理办法视具体情况和个人习惯而 定。一般情况下，若不要求求解电压源支路电流，就不必采用办法二去多解一个变量。下面看一个例题:2009-8-2917例题2：求图示电

16、路的U1、U2 解：如图，取节点0为参考节点，则 节点3的电压即为 流出的电流为iu,则节点电压方程为：U3=7V o设4V电压源1 0.5 U11 0.5 U2U1 U20.54iuiu例题3、求图示电路中的电流I。解：如图，选节点0为参考节点，节点 1、2的节点电压分别为Un1、Un2,可列 写节点电压方程为：解得：U1 =6vU2=2v iu=0.5A三、含受控源电路处理原则：1、受控源先按独立源处理，列写节点电压方程;2、再将控制量用节点电压表示（补充一个方程）；下面看一个例题。2009-8-29 口181.5U n1 0.5U n220.5Un1 1.5Un2 3 2 II Un1

17、Un22整理得：3Un1 Un2 4Un1 526解得：Un1 0.5V,Un2 5.5V,2009-8-29 I 2.5A思考：这个题有没有更方便 的方法？小结：1、自电导X该节点电压 一互电导X相邻节点电压= 流入该节点的电源电流代数和 电源的戴维南形式T诺顿形式； 选参考节点，规定各独立节点的节点电压； 列节点电压方程，求解。2、含电压源支路的处理办法，有两个： 合理选择参考节点，使某节点电压为已知数； 给电压源设一电流作为未知量。3、含受控源电路 将受控源暂按独立源处理，列写方程； 补充控制量和节点电压之间的关系方程。注意：和电流源串联的电阻，在写节点电压方程时不予考虑。2009-8-

18、2920§ 3-5网孔法和回路法一、网孔电流右图电路，共4个节点，3个网孔。用节 点电压法当然很方便，共有 3个方程。现 在考虑，能否选另外的变量，也可以方 便地求解电路呢？我们可以假想沿每一个网孔（ mesh）均 有一个假想的网孔电流，如果设法求出 了这些网孔电流，则每条支路的电流就 都可以求出来了。练习：对图示电路，试以节点为参考节点电压方程。Us1Ri1R2i 2圉30RJ3R4i4R5i5Us50R2i2R6i6R4i40如果代入h、i2、i3、i4'i5、i6'则可得到2009-8-29R3 )im1R3im2R m3Us1(R1 R2R5)i m2Us5R

19、2im1 R4im2 ( R2 R4 只6» m3 0211、im3网孔电流：是沿网孔流动的假想电流，如图设为 o 3个网孔，共有3个变量。im1im2上式就是网孔电流方程。那么，写网孔电流方程是不是必须这么麻烦呢？ 显然不是，否则，就太麻烦了。观察分析上式：2、用网孔电流表示各支路电流。i1= im1i3 = i m1 i m2i5 = im2i2 = im1 im3i4 = i m2 i m3i 6 = i m33、9对略网孔回路，可写出 KVL方程:22二、网孔电流方程自电阻X该网孔电流土互电阻X相邻网孔电流 土=该网孔电源电压升的代数和。1、自电阻：某网孔的自电阻为该网孔内所

20、有电阻之和。R11 = （ R1+R2+R3）R22 = （ R3 + R4 + R5）R33 = （ R2 + R4 + R6）自阻总为正值。2、互电阻：网孔1对网孔2的互阻为： R12= R3;网孔2对网孔1的互阻为： R21= R3； 网孔1对网孔3的互阻为： R13= R2;网孔3对网孔1的互阻为： R31= R2； 网孔2对网孔3的互阻为：R23= R4;网孔3对网孔2的互阻为：R32= R4； 互阻大小：为相邻网孔的共用电阻之和；方向：相邻两个网孔电流在互阻上的方向相同时为正，相反时为负。3、网孔内电源电压升的代数和：Us11= Us1；Us22=Us5；Us33=0 o、网孔方程

21、：R11m1 +R12 m2+R13-im3 二二 U s11 ；R21im1 +R22im2+R23i m3 二=Us22 ；R31im1 +R32im2+R33i m3 二二 Us33 02009-8-2924©（ R1+R2 + R3） 网孔电流-1流过的所有电阻之和； R3、R2 分别为网孔1、2的共用电阻（电流 扁、im2共同流 过）和网孔1、3的共用电阻（电流 扁、im3共同流过）； Uy网孔1内的电源电压升；us5网孔2内的电源电压升。解题技巧：（1）为方便和方程整齐起见，网孔电流均取相同绕向，这样，自阻全为正 值，而互阻全为负值。（2）电路中电源全部化为戴维南形式。例

22、题1、 如图电路，求电流il、i2、i3、i4。''解：如图选取网孔电流（绕向一致）。将右边诺顿支路变.换为戴维南支路。-列网孔方程：80im1 20im250 1020im1 60仁 40im3 1040im2 80im3 40解方程组得：*1=0.786 Aim2=1.143 Aim3=1.071 A2009-8-29231=1-O41 i =m10.786 A ；2 =:im2 im1 = 0.357 A ；3 =:im3 im2 = 0.072 A ；i4 = _ i m3 =_ 匸017 A25510i21045EV2627或2-o'2312102r11112

23、I0I3512829Ao瞬R3303110MAe4AI1R4il123232041103232ei= ii|351R5)i|35 210im2i2il15 5I22 35 4510i m1R1 (i s6I1Uii m22 10ii 2)1 2115 UiI1I1Us1I1Id禺 ois 25 imui311112J23il 2 R4il 3例题4:再看节点法中的例题3,若 用网孔法应如何写网孔电流方程。2009-8-29网孔法小结:解：方法一：可将电路等效（改画）为右图所示电路。 则可得方程：2009-8-29相当于左图电路如图取回路。im 5 5 045i0m2009-8-29补充方程im

24、1 im2 2可解得：im1= 1 8A, im2 =- 0. 2A ,例题4、求图示电路中的电流 解：用回路法：解得:I1=0.5 A所以,3= 2.5 A为了网孔电流方程的整齐，一般将各网孔电流的绕向取为一 致，这样，所有互阻均为负值，在写方程时不须再考虑互阻的符 号。 电路中含有受控源时 ：先将其按独立电源看待写网孔电流 方程；再用网孔电流表示控制量。 含有理想电流源的处理办法，有两个：10合理选择网孔电流，使其中某个网孔电流为已知量； 20给电流源设一电压变量 5。2009-8-29R1il1R12009-8-29RJl2(R4例题6、列出图示电路的回路电流方程。解：如图取回路电流，则可写回路电流方程为:R4R5)il1Rdl2Ris6R5gmU10(R|R2R4)il2R is6U1补充:整理求解得：im1 = 0.25A;im2 = 0.417A。 所以：i1= im1 = 0.25 A;i2 = im2 = 0.417 A; 2009-8-29i3 = i m2 im1 = 0.667 A。5V四、理想电流源的处理节点电压法中，遇戴维南电路，f 化为诺顿电路;遇理想电压源支路，处理办法有二： 合理选择参考节点，使某独立节点电压为已知量; 给电压源设一待求的电流变量i u。同样，网孔法中，遇诺顿电路，f 化为戴维南电路；遇理想电流源支路，处理办法也