第2章2.22.2.2事件的相互独立性

1、222事件的相互独立性学习目标核心素养1在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.(难点)2. 能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决 一些简单的实际问题.(重点)3. 综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件 的乘法公式解决一些问题.(重点、难点)一1.通过学习事件相互 独立的概念，培养数学 抽象的素养.2借助相互独立事件 的乘法公式解题，提升 数学运算的素养1匚i新知初探11 相互独立事件的定义和性质定义：设A, B为两个事件，如果P(AB)= P(A)P(B)，那么称事件A与事 件B相互独立.(2) 性质：如果A与B相互独立，那么A与B , A与B, A与"B也都相 互独立.

2、如果A与B相互独立，那么 P(B|A)= PXB) , P(A|B) = P(A).思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？提示相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发互斥事件A，B中有一个发生，表示生，记作：AB记作：AU B(或A+ B)计算公式P(AB) = P(A)P(B)P(AU B) = P(A) + P(B)2. n个事件相互独立对于n个事件Ai, A2,，An,如果其中任一个事件发生的概率不受其他事 件是否发生的影响，则称n个事件Ai，A2，An相互独立.3. 独立事件的概率公式若事件

3、A，B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B);(2) 若事件 Ai,A2,，An相互独立，则 P(AiA2An) = P(Ai)X P(A2)X-X P(An).亠初试身手丨1 .坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用Ai表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则 Ai与A2是()A .相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D .对立事件A 由概率的相关概念得 Ai与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件.12. 一个学生通过一种英语能力测试的概率是 2,他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是()1 r 1J3A.4b3c2d4一1(门 f 1、 11C 由

4、题意知，恰有一次通过的概率为X 1-2 + 1-2 X2 =3. 在某道路A, B, C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车 的概率为.琵由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为 令，召，罗在这条道57335路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为 p=12X12X 4= 192-H EZUOT A NJ I UTISUY AN G相互独立事件的判断【例1】判断下列各对事件是否是相互独立事件.甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中 各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从

5、乙组中选出1名女生”；(2) 容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个, 取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3) 掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”.思路点拨利用独立性概念的直观解释进行判断.(2)计算“从8个球中 任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球” 的概率是否相同进行判断. 利用事件的独立性定义判断.解 (1) “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件.5(2) “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率

6、为8,若这一事件发一4生了，贝U “从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为7；若5前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为 7,可见，前一事件是否发生，对 后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.(3) 记A:出现偶数点，B:出现3点或6点，贝U A= 2,4,6，B = 3,6，AB 二6，比小31211所以 P(A)= 6 2， P(B)= 6 3， P(AB) 6"所以 P(AB)= P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立.观挣方锻判断事件是否相互独立的方法1 定义法：事件A，B相互独立？ P(AB)= P(A)P(B).2 直接法：由事件本身的性

7、质直接判定两个事件发生是否相互影响.3 条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A) = P(B)判断.働跟踪训练1. (1)下列事件中，A, B是相互独立事件的是()A .一枚硬币掷两次，A= “第一次为正面”，B= “第二次为反面”B. 袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B= “第二次摸到白球”C. 掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”D. A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”(2) 甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A: “甲击中目标”，事件B:“乙击中目标”，则事件 A与事件B()A .相互独立但不互斥B .互斥

8、但不相互独立C.相互独立且互斥D 既不相互独立也不互斥(1) A (2)A (1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果 不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然 A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响.故选A.(2) 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件 A与B不是互斥事件.故选A.|相互独立事件同时发生的概率1 1【例2】 甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为 3和4.

9、求：两人都能破译的概率；(2) 两人都不能破译的概率;(3) 恰有一人能破译的概率;(4) 至多有一人能够破译的概率.解设“甲能破译”为事件A, “乙能破译”为事件B,则A,B相互独立, 从而A与B、A与B、A与B均相互独立.(1) “两人都能破译”为事件AB,则1 1 1P(AB)= P(A)P(B) = 3X 4二乜.“两人都不能破译”为事件A B，则P( A B)= P(A)P(B)14(3) “恰有一人能破译”为事件(AB)L(AB),又AB与AB互斥,所以 P(AB)L( AB) = P(A B ) + P( AB)= P(A)P( B ) + P( A )P(B) =1 X(1 f

10、 j+1 X34_512.(4) “至多有一人能破译”为事件(AB)L(AB)L( A B)，而AB、AB、AB 互斥，故 P(A B) L( AB) U( A B ) = P(A B) + P( AB) + P( A B ) = P(A)P( B) + P( A)P(B)+ P( A)P( B) = 3x 1 1 + 1 1 x* 1 3 x 1 4 = g观挣方锻1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件是相互独立的;(2) 再确定各事件会同时发生;(3) 先求每个事件发生的概率，再求其积.2. 公式P(AB)= P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件Ai, A2,

11、，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(Al A2An) = P(Ai)P(A2)P(An).働跟踪训练2. 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人1002 31米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为2，3,，若对这三名短 跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：(1) 三人都合格的概率；(2) 三人都不合格的概率；(3) 出现几人合格的概率最大.解记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件 A, B, C,显然事件A, B, C相互独立，贝U1 3-3 一4?-B)2 一5?设恰有k人合格的概率为Pk(k

12、= 0,1,2,3).(1) 三人都合格的概率：2 311P3= P(ABC)二 P(A) (B) (C) = 5X 4X萨而(2) 三人都不合格的概率：3 121Po= P( A B C)= P( A ) P( B ) P( C )二5X4X犷-(3) 恰有两人合格的概率：P2= P(AB C)+ P(A B C) + P( A BC)2 3 2 2113 3123二2X4X2+5X4X1+3X3XL 五.恰有一人合格的概率:P1= 1-P0-P2- P3= 1-君23125560-10 = 60=12.综合(1) (2)可知Pi最大.所以出现恰有一人合格的概率最大事件的相互独立性与互斥性探

13、究问题1.甲、乙二人各进行一次射击比赛，记 A= “甲击中目标”，B= “乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A"B呢？提示事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而B与AB是 互斥事件.2.在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？提示“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C,则C =瓜B+ a"b .所以 P(C)= P(Xb+ a"b ) = P(Nb)+ P(AB )=PCA) P(B) + P(A) P("b )=(1- 0.6) X 0.6+ 0.6 X (1-

14、 0.6) = 0.48.【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是 0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率.川I思路点拨该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不 通，故本题可采用对立事件求解.解分别记这段时间内开关JA, Jb, JC能够闭合为事件A, B, C.由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响.根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概 率是pCA B C)=p(N)p(B)p("C)二1 - P(A)1 - P(B)1 P(

15、C)=(1- 0.7)(1 - 0.7)(1 - 0.7)=0.027.所以在这段时间内线路正常工作的概率是1-PA "B "C)= 1-0.027= 0.973.纓ft方怯概率问题中的数学思想1 正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)+ PCA) = 1)简化问题，是 求解概率问题最常用的方法.2 化繁为简将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)3 方程思想利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问

16、题获解.跟踪训练3 .设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的1概率都是4,求事件A和事件B同时发生的概率.解在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A B发生，只有B发 生即事件AB发生.A和B相互独立，：A与B , A和B也相互独立.1P(AB) = P(A) P( B)= P(A) 1 P(B) = 4,1P(AB)= P(A)P(B) = 1 P(A) P(B) = 4.一得 P(A)= P(B).联立可解得P(A) = P(B) = 2.P(AB)二P(A) P(B) = 2X舟二1匚课堂小结:与相互独立事件A, B有关的概率计算公式当堂达标®SB事件

17、A，B的各种情形概率计算公式A，B同时发生P(AB)= P(A)P(B)A，B都不发生P(N"B)= PCA)P("B ) = 1 P(A)1 P(B)=1 P(A) P(B) + P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P= 1 P(AB)= 1 P(A)P(B)A，B至少有一个发生P= 1 P( A B ) = 1 P( A)P( B ) = P(A) +P(B) P(A)P(B)A，B恰好有一个发生P= P(A B + A B)= P(A)P( B )+ P( A )P(B)=P(A) + P(B) 2P(A)P(B)DAN Cil A NGl JAH I ACK 5

18、U©1.判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 对事件A和B,若P(B|A) = P(B)，则事件A与B相互独立.()(2) 若事件A, B相互独立，则P(A B)= P( A)P(B).()(3) 如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)= P(B).(4) 若事件A与B相互独立，则B与尼相互独立.()答案“V V X2袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用 A表示“第一次摸 得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则 A与B是()A 互斥事件B 相互独立事件C 对立事件D 不相互独立事件3 1D P(A) = 5, P(B)= 2,事件A的结果对事件B有影响根据互斥事件、对 立事件和相互独立事件的定义可知， A与B不是相互独立事件.1 一3国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 3乙、丙去北京旅游的概率分别为1 14, 5假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为.31113 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为3, 4, g.因此，他们不去北京旅2 3 423 4游的概率分别为3, 4, g，所以，至少有1人去北京旅游的概率为p= 1 3X4X5二 |.44.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为 g,乙当选的概率为3 73，丙当选的概率为.510(1