水平井试井分析模型

1、一 符号说明和无量纲量字符说明英文符号：B = 流体积系数；C = 井筒存储系数（m3/MPa）；ct = 总压缩系数（1/MPa）；h = 有效层厚（m）；Ij(v) = j 阶第一类修正Bessel函数；kj = j方向渗透率（m2），j = h、v；Kj(v) = j 阶第二类修正Bessel函数；L = 水平井筒半长（m）；P = 压力（MPa)；P = 压差（MPa)；q = 产量（m3/d）；rw = 水平井筒半径（m）；Skin = 表皮因子；s = Laplace变换量；t = 时间（hour）；x、y = 坐标；xe、ye = 外边界距离（m）；z = 坐标；zw = 水平井

2、垂向位置，m；希腊符号： =流体粘度（mPa·s）；f = 孔隙度；hj = j 方向扩散系数，定义为hj = kj /fmctj；下标：D = 无量纲；w = 井壁；i = 初始状态；eD = 无量纲外边界无量纲量定义采用中国SI单位制，定义如下无量纲量群：无量纲压力：；表皮压力降：，无量纲时间：，无量纲井筒存储系数：，无量纲Fair变井筒存储参数： ，无量纲坐标：，无量纲井筒半长：；无量纲渗透边界补给系数： 无量纲双孔介质参数：；二 试井分析理论模型由于试井分析模型较多，本章将分类介绍主要模型。模型1 平面无限延伸平板地层物理模型如图所示，垂向有上下平板型封闭、上定压下封闭、上封

3、闭下定压及上下皆定压四种情形可选，水平方向无限延伸，均匀各向异性或双重孔隙介质任选其一，常井储和Fair变井储任选其一。物理模型如图所是2-1AD。无量纲参数：LD、zwD、HLCD、CDe2S、D、CfD、；封闭hzw2L封闭图2-1A定压hzw2L封闭图2-1B封闭hzw2L定压图2-1C定压hzw2L定压图2-1D需要说明的是，由于定压边界的影响，在某些情况下上下定压和上封闭下定压、下封闭上定压情形区别不大。压力分布解式：考虑垂向存在平板型封闭边界、水平方向无穷延伸的均匀或各向异性地层中一口均匀流量水平井的不定常渗流理论，它是水平井不定常渗流基本问题之一。关于这个专题以前的研究，较早而且

4、比较完整的结果主要有Goode和Thambynayagam（1985）、Daviau（1985）、Clonts和Ramey（1986）、Ozkan和Raghavan（1987、1991）以及Kuchuk和Goode（1988）等人的论文，他们的结果各有特点。而针对双重介质的研究者有Carvalho（1988）、Aguilera（1989）以及刘慈群（1991）等人，以下分别简述之。按SPE的文献发表时间排序，Goode和Thambynayagam的论文是占先的。他们将水平井看成垂直于x-y平面的条带源，采用Fourier余弦变换结合Laplace变换求解了三维Fourier方程，分别给出了压力

5、降落和压力恢复问题的实时域解式。虽然他们的计算分析过于简单，也没有进一步给出快速计算曲线方面的研究结果，但他们给出了压力降落早期、中期、中晚期及晚期的近似表达式，这对后来的研究者有很大的启发。另外他们追溯了利用水平井开采的思想直至四十年代，并列举了包括东欧研究者在内的一些论文。同年，Daviau等人也研究了类似问题。他们利用已有的Gringarten和Ramey（1973）的瞬时点源函数式直接构造了实时域解式。Daviau等人的理论研究比较简洁，采用一种近似方法考虑了井筒存储的影响，但他们计算的主要参数影响的半对数曲线图版流动段很清楚，基本反应了这类问题的压力反应特征。Ozkan和Raghav

6、an的论文更注重计算方法方面的研究，对解式的渐近变化表述的比较清楚。尤其是他们对压力导数曲线的分析和计算是前所未有的，所附录的数值计算结果也为后来的研究者提供了验证方便。相比来看，Kuchuk等人的研究结果集众家之长而富有代表性。他们在数学模型中吸取了Goode和Thambynayagam论文中的精华，又引入了一种新的混合型垂向边界条件，利用其极限形式研究了有底水或气顶的各向异性介质中水平井的瞬时压力。他们的解析解式几乎包含了在此以前的有关结果。其中值得注意的是他们采用沿着水平井段取积分平均的方法解决了测压点的选取问题。物理模型：各向异性平面无界地层水平井问题Green-Newman解法Sz(

7、z,t)hzw2Lh2LSy(y,t)zwxzySx(x,t)S(x,y,z,t)物理模型和Green-Newman解法思路如图所示：线源有量纲解式：按Green-Newman解法，有量纲解式为：式中，根据井和所在的地层条件，按前文的推导结果，可给出各维Green函数如下：（1）x方向为半长是L的直线源，取算术平均：（2）y方向要么为无限延伸：（3）z方向要么上下平板型封闭，要么有一个为定压边界而另一个为平板型封闭：线源无量纲解式：有两种方法可以对褶积通式进行无量纲化（Kuchuk，1988；Ozkan，1987），为对比方便，以下对应给出：结果分别为：其中，各Green函数分量为：本文采用后

8、一种方法，结果为：注意解式含有无穷函数序列的积分，可进行分部记分后采用Gauss公式计算，过程比较繁琐。流动段特征：可出现的流动段有：井筒存储段、初始径向流段、中期径向流段、中期线性流段，受垂向定压边界影响，还可能出现中期稳态段，如图所示。模型2 圆柱地层re2Lhzw图2-2物理模型如图2-2所示。垂向上下边界仍有四种组合，即上下平板型封闭、上定压下封闭、上封闭下定压及上下皆定压；水平方向为圆形渗透型界，均匀、各向异性或双重孔隙介质任选其一，平面外边界的渗透系数LB的变化范围为（0 ），在实际应用中，其范围可取（0 100），其中当LB = 0时表示封闭边界，LB = 表示定压边界，其他LB

9、给定值表示边界的相对渗透能力。圆形介质中的渗流问题是一个经典的问题，因为较早的研究对象一般针对完善直井，它涉及的仅是平面径向的不定常渗流，随着应用数学和计算机的发展，这个经典渗流问题的研究逐渐得到深入。考察Muskat（1937）、Jaeger（1940、1941）、van Everdingen（1949）、Horner（1951）以及Rowan（1962）等人的研究论文，研究者要么选用点源条件要么对线源解的解析反演结果作相应的近似，以便能够计算和应用，这是因为当时没有较好的Laplace数值反演方法和高效率的电子计算机，精确计算所得到的解式是很困难的。后来，由于有了成功的Stehfest（1

10、970）数值反演算法和高速电子计算机，计算圆形介质中平面径向流问题就变得相对容易一些。Temeng和Horne（1982）曾经采用Stehfest方法计算了偏心圆系统直井的井壁压力降落问题，九十年代初Rosa和Horne（1993）对这一问题又进行了更深入的研究，他们除了重新计算了偏心圆系统直井的井壁压力降落问题之外，还通过改进数学模型研究了介质中存在圆形布渗透体对邻近直井压力分析的影响。然而，在圆柱体介质中水平井的不定常渗流属于三维问题，模型的求解和计算变得愈加复杂，特别是要完成相应的快速、准确的计算方法必需解决许多数学难题，如无穷Bessel函数级数求和快速计算问题等，可供参考的研究文献为

11、数不多而且不甚详细。两位优秀的研究者Ozkan和Raghavan（1991）在他们总结性的文献中只是列举过此类解式，但没有详细的讨论。Chen（1991）曾经给出过均匀圆形介质中完善的垂直裂缝井不定常渗流数学模型，由于完善的垂直裂缝井问题属于二维不定常渗流问题，Chen的结果只相当于水平井情形相应解式中的第一项。王晓冬和刘慈群（1995）发表了关于这一问题的一篇研究论文，将其中的垂向边界取为混合型，并且对于具体的计算方法、晚期段稳态或拟稳态的压力渐近表现等做了详细的讨论，文中还给出了一口井的现场实际测试资料分析数据。高为h、外半径为Re的双重孔隙型圆柱介质的上、下边界中有一个为封闭，另一个为混

12、合型。在水平井段上任意一处取垂向常强度线汇，以下给出经过Laplace变换后的三维不定常渗流数学模型数学模型：在Laplace变换域中，无量纲控制方程：内边界条件：垂向边界条件：， or 径向外边界条件（封闭或定压）：，其中，s是对应于tD的Laplace变换量，其他相应关系式为：，下面给出以上模型的Laplace变换解。Fourier-Laplace变换解：根据本问题的特点，对上述数学模型各式再施以Fourier有限余弦积分变换，初步求得数学模型的解为：，圆形封闭，圆形定压这里，Fourier有限余弦积分变换关系式及其它记号为，式中：，而n是下列特征方程之非负根：再对所得的初步解式作叠加积分

13、和Fourier反演，可得到水平方向圆形封闭/定压的双重孔隙介质型油藏水平井（条带汇）之压力分布公式。（1）垂向上、下边界平板型封闭、水平方向圆形封闭介质中水平井井壁压力分析公式：式中引用井壁条件，得到：，（2）垂向上、下边界平板型封闭、水平方向圆形定压地层中水平井井壁压力分析公式：通过这一解式计算，可以得到晚期稳态特征。典型曲线特征分析：一般，在完全封闭的介质中，井产液较长一段时间后整个介质中的压力变化与延续时间将成线性关系，此时介质中平均压力和井底压力之差为一常数，这种状态通常称为拟稳态。而在有底水或气顶的介质中由于气顶或底水的强补给，晚期压力变化将与延续时间无关，称之为稳态。计算结果参见

14、附图。计算分析表明，由于在平面径向上存在圆形边界，在晚期水平井井壁压力将表现为稳态或拟稳态。水平井压力动态可划分为当LD较小时：初期径向流球形流平面径向流双重介质过渡段平面径向流拟稳态/稳态；而当LD较大时：初期径向流中期线性流平面径向流双重介质过渡段平面径向流拟稳态/稳态。模型3 平面有单一断层xf2Lhzw图2-3物理模型如图2-3所示。垂向上下边界仍有四种组合，即上下平板型封闭、上定压下封闭、上封闭下定压及上下皆定压；平面上存在单一直线段层；均匀、各向异性或双重孔隙介质任选其一。无量纲量：LD、zwD、HLCD、CDe2S、D、CfD、xfD；流动段特征：可出现的流动段有：井筒存储段、初

15、始径向流段、中期径向流段、中期线性流段，受垂向定压边界影响，还可能出现中期稳态段；对于上下平板型封闭的地层。模型4 箱式地层ywxwzyx2Lhzw图2-4yexe物理模型如图2-4所示。垂向上下边界仍有四种组合，即上下平板型封闭、上定压下封闭、上封闭下定压及上下皆定压；平面上存在矩形边界，每一条直线边界有无限大、封闭及定压等三种情形可选；均匀、各向异性或双重孔隙介质任选其一。无量纲量：LD、zwD、HLCD、CDe2S、D、CfD、xwD、ywD、xeD，yeD流动段特征：可出现的流动段有：井筒存储段、初始径向流段、中期径向流段、中期线性流段，由于垂向定压边界影响，还可能出现中期稳态段；对于

16、上下平板型封闭的地层，如图所示。由于水平封闭边界影响，压降曲线晚期可能出现拟稳态流动段。三 双对数拟合求参公式 已知基础参数：流量q、流体粘度、系统压缩系数ct、井筒半径rw、流体体积系数Bo、地层孔隙度f（小数）、地层有效厚度h、水平井筒半长L。今采用CSI单位制，其各量单位为： P=MPa；t=Hour；q= m3/day；= mPas；k= m2；ct = 1/MPa；h, rw, L= m其他单位参照执行。将无量纲压力和无量纲时间的定义式可分别写成：；其他无量纲量为： ；特别是，对于各向异性地层，有等效井径模型：；这里，S是各向异性引起的表皮因子。根据典型曲线拟合可知PM、TM、LD、HLCD、reD等拟合值，则参数计算公式：地层系数/渗透率：；井储系数及其无量纲量：；表皮因子即表皮压力降：；压降/压恢探测半径：；圆形地层边界距离：断层距离/井位置：；井位置：；矩形边界：；各向异性表皮因子：四 半对数直线段分析方法（1）井筒存储方程（2）初始径向流方程，压降方程：