广东高考数学理科试题及答案

1、2021 年一般高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、挑选题： （本大题共8 小题，每道题5 分，满分40 分；在每道题给出的四个选项中，只有哪一项符合题目要求的）1. 设 i 为虚数单位，就复数56iia 65ib 65ic65id65i2. 设集合 u1,2,3,4,5,6, m1,2,4，就 cu ma ub 1,3,5c3,5,6d2,4,6uuuruuuruuur3.如向量 ba2,3, ca4,7 ， 就 bca 2,4b 2, 4c 6,10d 6,104. 以下函数中，在区间0, 上为增函数的是a yln x2b yx1c yx1 d yx12 xy25. 已知变量

2、x, y 满意约束条件xy1 ，就 z xy13 xy 的最大值为a 12b 11c 3d16. 某几何体的三视图如图1 所示，它的体积为 a 12b 45c 57d 817. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0 的概率是a 49c 29b 13d 19 8. 对任意两个非零向量, ，定义o =, 如向量 a,b 满意 | a | | b |0 ，a,b 的夹角0, ， 4且 a ob 和 b oa 都在集合n | nz中，就2a ob =2021 广东高考数学理科试题信参考答案第1页 共10页a 12b 1c 32d 52二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题

3、，每道题5 分，满分 30 分；（一）必做题（913 题）9. 不等式 | x2 | x |1 的解集为；10. x21 6 的绽开式中xx3 的系数为；（用数字作答）11. 已 知 递 增的 等 差数 列a满 足 a1,aa 24 ， 就n132an；12. 曲线yx3x3 在点 1,3 处的切线方程为；13. 执行如图 2 所示的程序框图，如输入n 的值为 8，就输出 s 的值为；（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14. （ 坐 标 系 与 参 数 方程 选做 题 ） 在 平 面 直 角坐 标系xoy 中 ， 曲 线c1 和c 2 参 数 方 程分 别 为xtxt为参数 和

4、yty2 cos2 sin为参数 ，就曲线c1 和 c2的交点坐标为；15. （几何证明选讲选做题）如图3，圆 o 的半径为1，a, b, c 为圆周上的三点，满意abc30 ，过点 a作圆 o 的切线与 oc 的延长线交于点p ，就 pa；三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分；解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤；16. （本小题满分12 分）已知函数f x2cosx （其中0, xr ）的最小正周期为1061）求的值；2）设,0,f 556 , f 5516，求 cos 的值；2356172021 广东高考数学理科试题信参考答案第2页 共10页17. （本小题满分13 分）某班 5

5、0 位同学期中考试数学成果的频率分布直方图如图4 所示，其中成果分组区间是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ；1）求图中x 的值；2）从成果不低于 80 分的同学中随机选取 2 人，该 2 人中成果在 90 分以上（含 90 分）的人数记为 ，求 的数学期望；18. （本小题满分13 分）如图5 ，在四棱锥pabcd 中，底面abcd 为矩形，pa平面 abcd，点 e 在线段 pc 上， pc平面 bde（ 1）证明： bd平面 pac（ 2）如 pa1, ad2 ，求二面角bpca 的正切值；19（本小题满分14 分）设数列a的

6、前 n 项和为 s ，满意 2sa2n 11,nn * ，且a , a5, a 成等差数列；nnnn 1123（1）求a1 的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有1113l；a1a2an22021 广东高考数学理科试题信参考答案第3页 共10页20. （本小题满分14 分）x2y22在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c : a2b 21ab0 的离心率为e，且椭圆3c 上的点到 q 0, 2 的距离的最大值为3.（1）求椭圆 c 的方程；（ 2）在椭圆 c 上，是否存在点m m, n ，使得直线l : mxny1 与圆2o : x2y1 相交于不同的两点a, b

7、，且aob 的面积最大？如存在，求出点m的坐标及对应的aob 的面积；如不存在，请说明理由；21. （本小题满分14 分）设 a1 ，集合axr | x0 , bxr | 2x231a) x6ax0， da ib（1）求集合d （用区间表示） ；（2）求函数f x2 x331ax26ax 在 d 内的极值点；2021 年一般高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案：18: dcaabcdb注：第 8 题解析： 由于a oba b| a | coscos2 ， b oaba| b | coscos1b b| b |2aa| a |且 a ob 和 b oa 都在集合 n2| nz

8、中，所以，b o a| b | cos1 ， | b |1，所以a o b| a | cos2cos 22| a |2| a |2cos| b |所以22a o b2 ，故有a ob12021 广东高考数学理科试题信参考答案第4页 共10页9., 1 （写成集合形式也给分2x | x1）10. 2011.2n1212.2 xy1013.814.1,115.3第 9 题注解：| x2 | x |1| x-2|-|x-0|1 即数轴上到 -2 的点与到0 点距离只差小于1 的点的集合；三、解答题：本大题共6 小题，满分80 分；解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤；16. （本小题满分12 分）

9、已知函数f x2cosx （其中0, xr ）的最小正周期为106（ 1）求的值；（ 2）设,0,f 556 , f 5516，求 cos 的值；235617解：（1）由题意 210，解得1 ；562cos3sin4cos（ 2）由题2cos25 ，即1617cos5，又,0,82，可得5，sin151717483151351751785所以 coscoscossinsin；17. （本小题满分13 分）某班 50 位同学期中考试数学成果的频率分布直方图如图4 所示，其中成果分组区间是：40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100 ；（ 1）求图

10、中x 的值；（ 2）从成果不低于80 分的同学中随机选取2 人，该 2 人中成果在 90 分以上（含90 分）的人数记为，求的数学期望；解：（ 1）由题意：0.0540.010.0063x101 ，解得 x0.018 ；（ 2 ） 8090分 有 500.018109 人 ； 90100分 有500.006103 人；全部可能的取值为0, 1, 22021 广东高考数学理科试题信参考答案第5页 共10页2112p0c9c 212 ;22p1c9c3c29 ;p0c3122c 222121212故e01219211 ；222222218. （本小题满分13 分）如图5，在四棱锥pabcd 中，底

11、面abcd 为矩形，pa平面 abcd，点 e 在线段 pc 上， pc平面 bde（ 1）证明： bd平面 pac（ 2）如 pa1, ad2 ，求二面角bpca 的正切值；（ 1）证明：pa平面 abcd， pabd ； pc平面 bde， pcbd ；又 pa ipcp ， bd平面 pac ；（ 2 ）解：设ac , bd 交于 o ，连结oe ，由题pcbe ,pcoe ，所以beo 即为二面角bpca 的平面角；由（ 1）知， bdac ，所以四边形abcd为正方形，易得 oc1 ac22, pcpa2ac 2183 ；由（ 1）知oecpac90 又ocepca ，有oec :p

12、ac ，故 oeocpapc， oepaocpc2 ；在 rtboe 中， tan 3beoob3 ； oe所以二面角bpca 的正切值为3 19（本小题满分14 分）设数列a的前 n 项和为 s ，满意 2sa2n 11,nn * ，且a , a5, a 成等差数列；nnnn 1123（1）求a1 的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有 11l13 ；2a1a2221a1a2an2a11解：（ 1）由题2aa a231，解得a5a1.1232，故12a25a1a3a3192021 广东高考数学理科试题信参考答案第6页 共10页（ 2）当 n1时，a11 ；当 n2

13、 时，2 sa2 n 112 sa2n1nn 1n 1n由 - 得：2aaa2n ，整理得3aa2 n ,an 113 an1 ，nn 1nnn 12n 122 n故an 2n1n2 为公比为3 的等比数列，21首项为 a229an，故n193 n 23 n，242422na3n2n ，体会证当n1 时， a1132综上 an3n2n nn * ；（ 3）当an3 时3n2 n12 n2n1c 12c 22 2lc n 12n 12 n2nnnnn1c 12c 222lc n 12 n 1c 2222 nn1nnnn又由于a252221 ，所以， an2n n1, n2 ；所以，111 11

14、an2nn12n1n所以，111l111 1111l11 11 11 3 .a1a2a3an2234n1n2n220. （本小题满分14 分）x2y22在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c : a 2b21ab0 的离心率为e，且椭圆 c 上的点3到 q0, 2 的距离的最大值为3.（ 1）求椭圆 c 的方程；（ 2）在椭圆c 上，是否存在点m m, n ，使得直线l : mxny1 与圆o : x2y21 相交于不同的两点a, b ，且aob 的面积最大？如存在，求出点m的坐标及对应的aob 的面积；如不存在，请说明理由；解：（ 1）由 ec2c22 a2 ，所以 b2a 2c21 a 2

15、a3332021 广东高考数学理科试题信参考答案第7页 共10页x2y222y222设 p x, y是椭圆 c 上任意一点，就a 2b21 ，所以xa 1b2 a3 y| pq |x2 y2 2a 23y2 y222 y12a 263 ay3 a33当3 a13a ，即 a3 时， y1 时， | pq| 有最大值a263 ，33可得 a3 ，所以 b1,c2 ；当3 a31 ，即 0a3 时，y3 a 时， | pq |有最大值 33 a3223 ，可得a3 ，舍去；所以 b1,c2 故椭圆 c 的方程为：xy1.2232（ 2）由于m m, n 在椭圆 c 上，所以mn1， m233 n2

16、22322mxny12222设 a x1 , y1 ， b x2 , y2 ， 由x2，得y21mn x2mx1n0所以，4m24m2n 2 12mn 2 4n 2 m2 1n 2n 214n2 21 n 2 0 ，可得2n24并且： x1x222 ，mnx1 x2m2n21mx1mx1m xx m 2 x x1m2所以，y1 y212121 2nnn2m2n2所以，| ab | xx 2 yy 2x2y2x2y22 x xy y 121211221 2121n21m212221（ 亦可| ab |r 2d 2，其中d 为圆心到直线m2n2m2n2m2n2mxny1 的距离 ）设点 o到直线

17、ab的距离为 h ，就 h1m2n 22021 广东高考数学理科试题信参考答案第8页 共10页所以 svoab1 | ab | h211m2n21m2n2设 t1m2n2，由 0n24 ，得 m2n 231 n221,3，所以， t1,13svoabt1t t1 21 ， t1 ,1243所以，当 t1时， svoab2面积最大，最大为1 ；2此时，m 0,2221. （本小题满分14 分）设 a1 ，集合axr | x0 , bxr | 2x31a) x6ax0， da ib（1）求集合d （用区间表示） ；（2）求函数f x2 x331ax26ax 在 d 内的极值点；解：（ 1）对于方程

18、2 x231a x6a0判别式91a248a3a33a1由于 a1 ，所以 a30当 13a1 时，0 ，此时 br ，所以 d0, ；当 a1时，0，此时 b3 x | x1 ，所以 d0,1 u 1, ；当 a1 时，0，设方程2 x231a x6a0 的两根为x , x 且 xx ，就3x311a3a 433a21 ， x31a3a 4121233a1b x | xx1或xx2 当 0a1时， xx31a 0 ， x x3a0 ，所以 x0, x0121 21232此时， d x, x1 u x2 ,31a3a33a131a 3a33a10, u , 44当 a0 时，x1x23a0 ，所以 x10, x202021 广东高考数学理科试题信参考答案第9页 共10页31a3a33a1此时， d x2 ,4（ 2） fx6x261a x6a6 x1xa ， a1所以函数f x在区间 a,1 上为减函数，在区间, a 和 1, 上为增函数当 13a1 时，由于 d，所以f x 在 d 内没有极值点；当 a1 时， d3