年高三数学一轮复习：第6章第4节合情推理与演绎推理

1、第四节合情推理与演绎推理考纲传真 1.明白合情推理的含义，能进行简洁的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发 现中的作用 .2.明白演绎推理的含义，明白合情推理和演绎推理的联系和差异；把握演绎推理的“ 三段论”，能运用 “ 三段论 ”进行一些简洁的演绎推理1合情推理类型定义特点归纳推理依据一类事物的部分对象具有某种特点，推出这类事物的全部对象都具有这种特点的推理由部分到整体、由个别到一般由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象的类比推理某些已知特点，推出另一类对象也具有这些特点的推理由特别到特别2.演绎推理1定义：从一般性的原理动身，推出某个特别情形下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之

2、，演绎推理是由一般到特别的推理2“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般原理；小前提 所讨论的特别情形；结论 依据一般原理，对特别情形做出的判定1摸索辨析 判定以下结论的正误 正确的打“”，错误的打“×”1归纳推理与类比推理都是由特别到一般的推理 2在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适3“全部 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，就 m 肯定是 9 的倍数”，这是三段论推理， 但其结论是错误的 4在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确 答案1×2×34×2由“半径为 r 的圆内接

3、矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为r 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是 a 归纳推理b.类比推理c演绎推理d.以上都不是b 类比推理的一般步骤是： 1找出两类事物之间的相像性或一样性 2用一类事物的性质去估计另一类事物的性质，得出一个明确的命题 猜想所以，由 “ 半径为 r 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出 “半径为 r 的球的内接长方体中，正方体的体积最大 ”是类比推理，选 b.3教材改编 已知数列 an 中， a11，n2 时， anan 1 2n1，依次运算a2，a3， a4 后，猜想 an 的表达式是 a an3n1b.an4n 3can n2d.an3n 1c

4、 a11，a2 4， a39，a416，猜想 ann2.34“由于指数函数yax 是增函数 大前提 ，而 y 1x 是指数函数 小前提，所以函数 y 1x 是增3函数结论”，上面推理的错误在于 a 大前提错误导致结论错误b小前提错误导致结论错误 c推理形式错误导致结论错误 d大前提和小前提错误导致结论错误a “指数函数 y ax 是增函数 ” 是本推理的大前提，它是错误的由于实数a 的取值范畴没有确定，所以导致结论是错误的52021 ·全国卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过a ，b，c 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b 城市；乙说：我没去过c 城市；丙说：我们三人去

5、过同一城市由此可判定乙去过的城市为 a 由题意可推断：甲没去过b 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市 ”，说明甲去过 a ， c 城市，而乙 “没去过 c 城市”，说明乙去过城市a ，由此可知，乙去过的城市为a.归纳推理12021武·汉 4 月调研 112123，1，2，m，的第 20数列，项是 52334443m1m1m 14a.8b.7c.522021山·东高考 观看以下等式：d.67 22 24sin 3sin3 ×1×2；3 22 23 242sin sin sin sin42×3；35555 × 22 23 2

6、6 2sin sin sinsin4 22 23 23×4； sin sin sin78 2 sin7744×5；7 3×999 ×93照此规律，sin 2n1422 sin2n1 23 2 sin2n1m2n sin 2n 1 2 .是m m 151c23nn11 数列m在数列中是第 123m12项，当 m5 时，即 6数列中第 15 项，就第 205项是 ，应选 c.7442通过观看已给出等式的特点，可知等式右边的4是个固定数，3后面第一个数是等式左边最终一个3数括号内角度值分子中的系数的一半，后面其次个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果34

7、为 ×n× n1，即343nn 1 规律方法 1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：1数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观看，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时仍要联系相关的学问，如等差数列、等比数列等；2形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特别图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性2归纳推理的一般步骤：1通过观看个别情形发觉某些相同性质；2从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题14xx427xx2233 变式训练 11已知 x0， ，观看以下各式： xx2，x x2 x23，x x3 x273 x3 4，类比

8、得 xa*xn n1nn，就 a .2下面图形由小正方形组成，请观看图6-4-11至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是 .【导学号： 01772221】21nnnn* 2n n1图 6-4-1nn* 1 第一个式子是n 1 的情形，此时 a11 1；其次个式子是n2 的情形，此时 a224；第三个式子是n3 的情形，此时 a 3327，归纳可知 ann.n n 12由题图知第 n 个图形的小正方形个数为123n.所以总个数为2nn* 12021类比推理陕·西师大附中模拟 如数列 an 是等差数列，就数列 ba1a2 an b 也是等nnn差数列，类比这一性质可

9、知， 如正项数列 cn 是等比数列，且 dn 也是等比数列， 就 dn 的表达式应为 a dnc1c2 cnnb.dnncncn cnc1·c2· ·cn nncdn12nnd.dnc1·c2· ·cnbcacae22021贵·州六校联考 在平面几何中， abc 的 c 的平分线 ce 分 ab 所成线段的比为be.把这个结论类比到空间：在三棱锥a-bcd 中如图 6-4-2，dec 平分二面角 a-cd-b 且与 ab 相交于 e，就得到类比的结论是 aeeb1d2s acds bcd图 6-4-21 法一：从商类比开方，

10、 从和类比到积， 就算术平均数可以类比几何平均数，故 dn 的表达式为 dn n c1·c2· ·cn.法二：如 an 是等差数列，就aa anan n1d， bn1a ddd a，即12n12n122n12 b 为等差数列；如 c 是等比数列，就c· c · ·ccn·q1 2n 1cnn n1， d n c·c · ·c nnn 112n11·q2n12nc1·q2，即 dn 为等比数列，应选d.2由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得aes acdebs bcd. 规

11、律方法 1.进行类比推理，应从详细问题动身，通过观看、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键2类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比和与积、乘与乘方，差与除，除与开方数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等 变式训练 2给出下面类比推理 其中 q 为有理数集， r 为实数集， c 为复数集 ：“如 a，br，就 ab0. ab”类比推出“ a， c c，就 ac0. ac”；“如 a，b，c，dr，就复数 abi cdi. a c，bd”类比推出“ a，b，c，dq，就 ab2c d2. ac，bd”；“ a， b r

12、，就 a b>0. a>b”类比推出“如 a，bc，就 ab>0. a>b”；“如 xr，就 |x|<1. 1<x<1”类比推出“如z c，就|z|<1. 1<z<1.”其中类比结论正确的个数为a 1b.2c3d.4b 类比结论正确的有 .演绎推理1数列数列 an 的前 n 项和记为 sn，已知 a11， an 1sn n 是等比数列；n2*nsnnn证明：2sn14an. 证明1an 1sn 1sn，an 1n 2nsn，【导学号： 01772222】n2snnsn1sn，即 nsn 1 2n 1sn.2 分sn1sns12n1 s

13、n· ，又n1 1 0， 小前提 故 n 是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列 结论大前提是等比数列的定义，这里省略了5 分sn 1sn12由1可知n 4·1n2，1nsn 1n 1 2sn14n1 · 4·· sn1n 14ann 2，小前提 8 分n 1又 a23s13，s2 a1a21344a1，小前提 对于任意正整数n，都有 sn 14an.结论 第2问的大前提是第 1问的结论以及题中的已知条件12 分 规律方法 演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：假如集合m 的全部元素都具有性质 p，s 是 m 的子集，那么 s 中全

14、部元素都具有性质p.应用三段论解决问题时，第一应当明确什么是大前提，小前提，然后再找结论 变式训练 3如图 6-4-3 所示， d，e，f 分别是 bc，ca，ab 上的点， bfd a，且 deba.求证： ed af要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来图 6-4-3 证明1同位角相等，两条直线平行，大前提 bfd 与 a 是同位角，且 bfd a， 小前提 所以 dfea.结论5 分2两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 deba 且 df ea， 小前提 所以四边形 afde 为平行四边形 结论8 分3平行四边形的对边相等，大前提 ed 和 af 为平行四边形的对边，小前提 所以 edaf.结论上面的证明可简略地写成：bfd a. df ea.de ba四边形 afde 是平行四边形 . edaf.12 分 思想与方法 1合情推理的过程概括为从详细问题动身 观看、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想2演绎推