高考数学浙江专用总复习教师用书：第4章 第7讲　解三角形应用举例 Word版含解析

1、高考数学精品复习资料2019.5第第 7 讲讲解三角形应用举例解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 b 点的方位角为(如图 2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)(1)东北方

2、向就是北偏东 45的方向.()(2)从 a 处望 b 处的仰角为，从 b 处望 a 处的俯角为，则，的关系为180.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2 .()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.()解析(2).(3)俯角是视线与水平线所构成的角.答案(1)(2)(3)(4)2.若点 a 在点 c 的北偏东 30，点 b 在点 c 的南偏东 60，且 acbc，则点a 在点 b 的()a.北偏东 15b.北偏西 15c.北偏东 10d.北偏西 10解析如图所示，acb90，又 acbc，cba45，而30，90453015.点 a 在点 b

3、 的北偏西 15.答案b3.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km， 速度为 1 000 km/h， 飞行员先看到山顶的俯角为 30，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75，则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km，参考数据： 31.732)()a.11.4 kmb.6.6 kmc.6.5 kmd.5.6 km解析ab1 000160503(km)，bcabsin 45sin 30503 2(km).航线离山顶 h503 2sin 75503 2sin(4530)11.4(km).山高为 1811.46.6(km).答案b4.(必修 5p11 例 1 改编

4、)如图，设 a，b 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 a 的同侧，在所在的河岸边选定一点 c，测出 ac 的距离是 m 米，bac，acb，则a，b 两点间的距离为()a.msinsinb.msinsin（）c.msinsin（）d.msin（）sinsin解析在abc 中，abc()，acm，由正弦定理，得absinacsinabc，所以 abmsinsin（）msinsin（）.答案c5.轮船 a 和轮船 b 在中午 12 时同时离开海港 c，两船航行方向的夹角为 120，两船的航行速度分别为 25 n mile/h，15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_n

5、 mile.解析设两船之间的距离为 d，则 d250230225030cos 1204 900，d70，即两船相距 70 n mile.答案706.(20 xx湖州调研)一缉私艇发现在北偏东 45方向，距离 12 n mile 的海上有一走私船正以 10 n mile/h 的速度沿南偏东 75方向逃窜，若缉私艇的速度为 14 nmile/h，缉私艇沿北偏东 45的方向追去，若要在最短的时间内追上走私船，则追上所需的时间为_h，角的正弦值为_.解析如图所示，a，c 分别表示缉私艇、走私船的位置，设经 x 小时后在 b 处追上走私船.则 ab14x，bc10 x，acb120， 在abc 中， 由

6、余弦定理得(14x)2122(10 x)2240 xcos 120， 解得x2.故ab28， sin20sin 120285 314，即所需时间为 2 小时，sin5 314.答案25 314考点一测量高度问题【例 1】 (20 xx湖北卷)如图， 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 a 处时测得公路北侧一山顶 d 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 b 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 cd_m.解析在abc 中，ab600，bac30，acb753045，由正弦定理得bcsinbacabsinacb，即bcsin 30600sin 45，

7、所以 bc300 2(m).在 rtbcd 中，cbd30，cdbctancbd300 2tan 30100 6(m).答案100 6规律方法(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练 1】 (20 xx郑州一中月考)如图所示， 在山顶铁塔上 b处测得地面上一点 a 的俯角为， 在塔底 c 处测得 a 处的俯角

8、为.已知铁塔 bc 部分的高为 h，求山高 cd.解由已知得，bca90，abc90，bac，cad.在abc 中，由正弦定理得acsinabcbcsinbac，即acsin（90）bcsin（），acbccossin（）hcossin（）.在 rtacd 中，cdacsincadacsinhcossinsin（）.故山高 cd 为hcossinsin（）.考点二测量距离问题【例 2】 如图，a，b 两点在河的同侧，且 a，b 两点均不可到达，要测出 ab 的距离，测量者可以在河岸边选定两点c，d，测得 cda，同时在 c，d 两点分别测得bca，acd，cdb，bda.在adc 和bdc 中

9、，由正弦定理分别计算出 ac 和 bc，再在abc 中，应用余弦定理计算出 ab.若测得 cd32km，adbcdb30，acd60，acb45，求 a，b 两点间的距离.解adcadbcdb60，acd60，dac60，acdc32(km).在bcd 中，dbc45，由正弦定理，得 bcdcsindbcsinbdc32sin 45sin 3064(km).在abc 中，由余弦定理，得ab2ac2bc22acbccos 453438232642238.ab64(km).a，b 两点间的距离为64km.规律方法(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若

10、有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练 2】 如图所示， 要测量一水塘两侧 a， b 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 c，用经纬仪测出角，再分别测出ac，bc 的长 b，a，则可求出 a，b 两点间的距离，即 ab a2b22abcos.若测得 ca400 m，cb600 m，acb60，试计算 ab 的长.解在abc 中，由余弦定理得ab2ac2bc22acbccosacb，ab2400260022400600cos 60280 000，ab200 7(m)，即 a，b 两点间的距离为 200 7 m.

11、考点三测量角度问题【例 3】 如图所示，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观察站 c 的距离相等，灯塔 a 在观察站 c 的北偏东 40，灯塔 b 在观察站 c 的南偏东 60，则灯塔 a 在灯塔 b 的_方向.解析由已知acb180406080，又 acbc，aabc50，605010，灯塔 a 处于灯塔 b 的北偏西 10.答案北偏西 10规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.【训练 3】 如图，

12、两座相距 60 m 的建筑物 ab，cd 的高度分别为 20 m，50 m，bd 为水平面，则从建筑物 ab 的顶端 a 看建筑物 cd 的张角cad 等于()a.30b.45c.60d.75解析依题意可得 ad20 10m，ac30 5m，又 cd50 m，所以在acd 中，由余弦定理得 coscadac2ad2cd22acad（30 5）2（20 10）2502230 520 106 0006 000 222，又 0cad180，所以cad45，所以从顶端 a 看建筑物 cd 的张角为 45.答案b思想方法1.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个

13、三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.2.在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.易错防范1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形， 一个空间图形， 一个平面图形， 这样处理起来既清楚又不容易出现错误.基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1.在相距 2 km 的 a，b 两点处测量目标点 c，若cab75，cba60，则 a，c 两点之间的距离为(

14、)a. 6 kmb. 2 kmc. 3 kmd.2 km解析如图，在abc 中，由已知可得acb45，acsin 602sin 45，ac2 232 6(km).答案a2.一艘海轮从 a 处出发， 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 b 处，在 c 处有一座灯塔，海轮在 a 处观察灯塔，其方向是南偏东70， 在b处观察灯塔， 其方向是北偏东65， 那么b， c两点间的距离是()a.102海里b.103海里c.203海里d.202海里解析如图所示，易知，在 abc 中，ab20，cab30，acb45，根据正弦定理得bcsin 30absin 45，解得 b

15、c10 2(海里).答案a3.(20 xx杭州调研)如图所示，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观察站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观察站 c 的北偏东 20，灯塔 b 在观察站 c的南偏东 40，则灯塔 a 与 b 的距离为()a.a kmb. 3a kmc. 2a kmd.2a km解析由题图可知，acb120，由余弦定理，得 ab2ac2bc22acbccosacba2a22aa12 3a2，解得 ab 3a(km).答案b4.如图，一条河的两岸平行，河的宽度 d0.6 km，一艘客船从码头 a 出发匀速驶往河对岸的码头 b.已知 ab1 km，水的流速为 2 km/h，若客船

16、从码头 a 驶到码头 b 所用的最短时间为 6 min，则客船在静水中的速度为()a.8 km/hb.6 2 km/hc.2 34 km/hd.10 km/h解析设 ab 与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为 v km/h，由题意知，sin0.6135，从而 cos45，所以由余弦定理得110v2110221221102145，解得 v6 2.选 b.答案b5.如图，测量河对岸的塔高 ab 时可以选与塔底 b 在同一水平面内的两个测点 c 与 d，测得bcd15，bdc30，cd30，并在点 c 测得塔顶 a 的仰角为 60，则塔高 ab 等于()a.5 6b.15 3c.5 2d.15

17、6解析在bcd 中，cbd1801530135.由正弦定理得bcsin 3030sin 135，所以 bc15 2.在 rtabc 中，abbctan acb15 2 315 6.答案d二、填空题6.如图所示，一艘海轮从 a 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相距 20 海里的 b 处，海轮按北偏西 60的方向航行了 30 分钟后到达 c 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向，则海轮的速度为_海里/分.解析由已知得acb45，b60，由正弦定理得acsin babsinacb，所以 acabsin bsinacb20sin 60sin 4510 6，所以海轮航行的速度为10 63

18、063(海里/分).答案637.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条船相距_m.解析如图， omaotan 4530(m)， onaotan 30333010 3(m)，在mon 中，由余弦定理得，mn90030023010 332 30010 3(m).答案10 38.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是 30，60，则塔高为_m.解析如图，由已知可得bac30，cad30，bca60，acd30，adc120.又 ab200 m，ac40033(m).

19、在acd 中，由余弦定理得，ac22cd22cd2cos 1203cd2，cd13ac4003(m).答案4003三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿 a 的南偏西 60方向的 b 处，且与岛屿 a 相距 12 海里， 渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 a 出发沿正北方向航行， 若渔船甲同时从 b 处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上.(1)求渔船甲的速度；(2)求 sin的值.解(1)依题意知， bac120， ab12， ac10220， bca.在abc中，由余弦定理，得 bc2ab2ac22abaccosbac12220221220cos 120784.解得 bc28

20、.所以渔船甲的速度为bc214 海里/时.(2)在abc 中，因为 ab12，bac120，bc28，bca，由正弦定理，得absinbcsin 120，即 sinabsin 120bc1232283 314.10.(20 xx安徽卷)在abc 中，a34，ab6，ac3 2，点 d 在 bc 边上，adbd，求 ad 的长.解设abc 的内角 a，b，c 所对边的长分别是 a，b，c，由余弦定理，得 a2b2c22bccosbac(3 2)26223 26cos341836(36)90，所以 a3 10.又由正弦定理，得 sin bbsinbaca33 101010，由题设知 0b4，所以

21、cos b 1sin2b11103 1010.在abd 中，因为 adbd，所以abdbad，所以adb2b.由正弦定理，得 adabsin bsin（2b）6sin b2sin bcos b3cos b 10.能力提升题组(建议用时：25 分钟)11.如图所示，d，c，b 三点在地面同一直线上，dca，从 d，c 两点测得 a 点仰角分别为，()， 则点 a 离地面的高 ab等于()a.asinsinsin（）b.asinsincos（）c.acoscossin（）d.acoscoscos（）解析结合题图示可知，dac.在acd 中，由正弦定理得：dcsindacacsin，acasinsi

22、ndacasinsin（）.在 rtabc 中，abacsinasinsinsin（）.答案a12.如图，从气球 a 上测得正前方的河流的两岸 b，c 的俯角分别为 75，30，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 bc 等于()a.240( 31)mb.180( 21)mc.120( 31)md.30( 31)m解析如图，acd30，abd75，ad60 m，在 rtacd 中，cdadtanacd60tan 3060 3(m)，在 rtabd 中，bdadtanabd60tan 75602 360(2 3)(m)，bccdbd60 360(2 3)120( 31)(m).答案c13.(2

23、0 xx绍兴月考)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则 ac_km；该图所示的小区的面积是_km2.解析如图，连接 ac，由余弦定理可知 ac ab2bc22abbccos b 3，故 acb 90 ， cab 30 ， dac dca 15 ， adc 150.acsinadcadsindca，即 adacsindcasinadc36 24123 2 62，故 s四边形abcdsabcsadc121 3123 2 622126 34(km2).答案36 3414.如图，在海岸 a 处，发现北偏东 45方向距 a 为(

24、31)海里的 b 处有一艘走私船，在 a 处北偏西 75方向，距 a 为 2 海里的 c 处的缉私船奉命以 103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以 10 海里/时的速度从 b 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注： 62.449).解设缉私船应沿 cd 方向行驶 t 小时， 才能最快截获(在 d 点)走私船， 则有 cd10 3t(海里)，bd10t(海里).在abc 中，ab( 31)海里，ac2 海里，bac4575120，根据余弦定理，可得bc （ 31）22222（ 31）cos 120 6(海里).根据正弦定理，可得sinabc

25、acsin 120bc232622.abc45，易知 cb 方向与正北方向垂直，从而cbd9030120.在bcd 中，根据正弦定理，可得sinbcdbdsincbdcd10tsin 12010 3t12，bcd30，bdc30，bdbc 6(海里)，则有 10t 6，t6100.245 小时14.7 分钟.故缉私船沿北偏东 60方向，需 14.7 分钟才能追上走私船.15.某兴趣小组要测量电视塔 ae 的高度 h(单位： m).如图所示，垂直放置的标杆 bc 的高度 h4 m，仰角abe，ade.(1)该小组已测得一组，的值，算出了 tan1.24，tan1.20，请据此算出 h 的值；(2

26、)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位：m)，使与之差较大，可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m，试问 d为多少时，最大？解(1)如图， 由 abhtan ， bdhtan， adhtan及 abbdad， 得htanhtanhtan，解得 hhtantantan41.241.241.20124.因此，算出的电视塔的高度 h 是 124 m.(2)由题意知 dab，tanhd.由 abadbdhtanhtan，得 tanhhd，所以tan()tantan1tantanhdh（hh）dh2 h（hh），当且仅当 dh（hh）d，即 d h（hh） 1

27、25（1254）555时，等号成立.所以当 d555时，tan()最大.因为 02，则 02，所以当 d555时，最大.故所求的 d 是 55 5 m.高考导航该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心.该部分的解答题考查的热点题型有：一考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题，在解题过程中抓住平面向量作为解决问题的工具， 要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化.热点一三角函数的图象和性质(规范解答)注意对基本三角函数 ysin x，ycos x

28、 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为 yasin(x)的形式，然后利用整体代换的方法求解.【例 1】 (满分 13 分)(20 xx北京卷)已知函数 f(x)sin x2 3sin2x2.(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间0，23上的最小值.满分解答(1)解因为 f(x)sin x 3cos x 3.2 分2sinx3 3.4 分所以 f(x)的最小正周期为 2.6 分(2)解因为 0 x23，所以3x3.8 分当 x3，即 x23时，f(x)取得最小值.11 分

29、所以 f(x)在区间0，23上的最小值为 f23 3.13 分将 f(x)化为 asin xbcos xc 形式得 2 分.将 f(x)化为 asin(x)h 形式得 2 分.求出最小正周期得 2 分.写出x的取值范围得 2 分.利用单调性分析最值得 3 分.求出最值得 2 分.求函数 yasin(x)b 周期与最值的模板第一步： 三角函数式的化简， 一般化成 yasin(x)h 或 yacos(x)h的形式；第二步：由 t2|求最小正周期；第三步：确定 f(x)的单调性；第四步：确定各单调区间端点处的函数值；第五步：明确规范地表达结论.【训练 1】 设函数 f(x)32 3sin2xsinx

30、cosx(0)，且 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4.(1)求的值；(2)求 f(x)在区间，32上的最大值和最小值.解(1)f(x)32 3sin2xsinxcosx32 31cos 2x212sin 2x32cos 2x12sin 2xsin2x3 .因为 yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4， 故该函数的周期t44.又0，所以22，因此1.(2)由(1)知 f(x)sin2x3 .设 t2x3，则函数 f(x)可转化为 ysin t.当x32时，53t2x383，如图所示，作出函数 ysin t 在53，83上的图象，由图象可知，当 t53，83时

31、，sin t32，1，故1sin t32，因此1f(x)sin2x3 32.故 f(x)在区间，32上的最大值和最小值分别为32，1.热点二解三角形高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主.其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题.【例 2】 (20 xx杭州模拟)在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，f(x)2sin(xa

32、)cos xsin(bc)(xr)，函数 f(x)的图象关于点6，0对称.(1)当 x0，2 时，求函数 f(x)的值域；(2)若 a7，且 sin bsin c13 314，求abc 的面积.解(1)f(x)2sin(xa)cos xsin(bc)2(sin xcos acos xsin a)cos xsin a2sin xcos acos x2cos2xsin asin asin 2xcos acos 2xsin asin(2xa)，又函数 f(x)的图象关于点6，0对称，则 f6 0，即 sin3a0，又 a(0，)，则 a3，则 f(x)sin2x3 .由于 x0，2 ，则 2x33，

33、23，即32b 3，ac( 3，2.即 ac 的取值范围是( 3，2.探究提高向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【训练 3】 已知向量 a(m，cos 2x)，b(sin 2x，n)，函数 f(x)ab，且 yf(x)的图象过点12， 3和点23，2.(1)求 m，n 的值；(2)将 yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数 yg(x)的图象，若 yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为 1，求 yg(x)的单调递增区间.解(1)由题意知 f(x)abmsin 2xncos 2x.因为 yf(x)的图象过点12， 3和2

34、3，2，所以3msin6ncos6，2msin43ncos43，即312m32n，232m12n，解得m 3，n1.(2)由(1)知 f(x) 3sin 2xcos 2x2sin2x6 .由题意知 g(x)f(x)2sin2x26 .设 yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)，由题意知 x2011，所以 x00，即到点(0，3)的距离为 1 的最高点为(0，2).将其代入 yg(x)得 sin26 1，因为 0，所以6，因此 g(x)2sin2x2 2cos 2x.由 2k2x2k，kz 得 k2xk，kz.所以函数 yg(x)的单调递增区间为k2，k，kz.(建议用时：60 分钟)

35、1.(20 xx湖州调研)函数 f(x)3sin2x6 的部分图象如图所示.(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0，y0的值；(2)求 f(x)在区间2，12 上最大值和最小值.解(1)由题得，f(x)的最小正周期为，y03.当 y03 时，sin2x06 1，由题干图可得 2x0622，解得 x076.(2)因为 x2，12 ，所以 2x656，0.于是：当 2x60，即 x12时，f(x)取得最大值 0；当 2x62，即 x3时，f(x)取得最小值3.2.(20 xx郑州模拟)在abc 中，内角 a，b，c 所对应的边分别为 a，b，c，已知asin 2b 3bsin a.(1)求

36、b；(2)若 cos a13，求 sin c 的值.解(1)在abc 中，由asin absin b，可得 asin bbsin a，又由 asin 2b 3bsin a，得 2asin bcos b 3bsin a 3asin b，又 b(0，)，所以 sin b0，所以 cos b32，得 b6.(2)由 cos a13，a(0，)，得 sin a2 23，则 sin csin(ab)sin(ab)，所以 sin csina632sin a12cos a2 616.3.(20 xx西安调研)设函数 f(x)sinx6 2sin2x2(0)，已知函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若abc 的内角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c(其中 bc)，且 f(a)32，abc 的面积为 s6 3，a2 7，求 b，c 的值.解(1)f(x)32sinx12cosx1cosx32sinx12cosx1sinx6 1.函数 f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为，函数 f(x)的周期为 2.1.函数 f(x)的解析式为 f(x)s