浅谈三角恒等变换的“切入点”

1、浅谈三角恒等变换的“切入点”海南侨中马莉摘要：本文主要针对学生遭遇三角恒等变换时不知如何下手的问题，着重从角的变换 这一角度，分三个方面以典型例题论述了三角恒等变换的切入点问题，以帮助学生第一时 间找到解题思路。关键词：三角函数，恒等变换，切入点三角恒等变换是近几年高考的热点内容，同时也是学生学习的难点因为涉及的公式数 量较多，形式多样，技巧灵活，导致学生面对问题时常常感觉难以找到切入点，有时甚至 用错公式，导致陷入“泥潭”而难以自拔在由众多公式及变形组成的错综复杂的解题思路 中，如何突出一条主线，让学生面对问题时能够迅速找到切入点及解题方向？很多教辅资料中都就此问题做过专题，给出了种种巧妙的

2、解题技巧，但仔细研究不难 发现，所谓的技巧大都是基本公式的变形过多的变形形式不仅没有帮助学生有效解题，反 而增加了他们的思维负担.个人认为，最有效的切入点应该是“角的变换” 三角的问题首先是研究“角”，所以角 的变换应该是需要第一考虑和解决的问题学生在学习过程中，应尽量抛弃令人眼花缭乱的 “技巧”，追本溯源，从公式本身出发，熟悉公式特点，做基本的角的变换，把题目中涉及 的不同的角化为相同，或找到不同角之间的关系.现行的人教新课标版教材“三角恒等变换”部分，删除了老教材中的积化和差、和差 化积公式，只介绍了和差角及二倍角两组公式，同时在例题、习题中多次设置了不同的角 的变换的习题，如:140页例

3、2, 137页及143页部分习题这一做法减少了公式的数量，其 弱化技巧，注重“角”的意图非常明显作为教师，把握了教材的这一编写意图，可以更好 地引导学生的解题思路.下面，本文将从三个方面举例说明角的变换问题.一直接寻找和、差、二倍关系课本例题习题中涉及到的变换方法包括：(4 + 0)-0二&, (&-0) + 0二(g + 0) + (q-0) = 2q , (q + 0)-(a-0) = 20,° + 0= a ,2 2竺也-纟二等等，都是直接的求和、求差，或者是诸如q与竺、纟与纟的二倍关 22224系，没有出现复杂形式以上各种变换，有时需要正用，把复角变为单角，有

4、时又需要逆用, 把单角拆分成复角之间的关系.例 1：已知 sin(2a + 0) = 2sin0 ,求证：tan(a + 0) = 3 tan 分析：无论问题多么复杂，首先看角。已知条件中有角2g + 0、0,所求证结论中包括角4 + 0、如果只看符号，把问题全化为角&和0,就会陷入误区，根本无法得解。观察条件中的角，发现都可以拆成结论中两个角的和或差：2q + 0 = (q + 0) + q , 0 =(4 + 0)一&,问题马上迎刃而解.解:t sin(2a 十 0) = 2 sin 0sin(2(7 + 0) = sin (a + /?) + a= sin(a + 0)

5、cos a + cos(a + 0) sin a ,sin 0 = sin (a + 0) - q = sin(« + 0) cos a 一 cos(cr + 0) sin a ,/ sin(a + 0) cos a + cos(cr + 0) sin a = 2 sin(a + 0) cos a-2 cos(q + 0) sin a ,: sin(7 + 0) cos a = 3 cos(« + 0) sin a.两边同时除以cosqcos(q + 0),得tan(6r + /?) = 3tan,问题得证.jii例 2： (2011 辽宁理科，7)设sin(+ 0)=上，

6、则sin 20 =()7117(a) (b) (c) 一(d) 一99997t分析：所求的角20与已知条件中的角&存在二倍关系，但是已知角-+ 0的二倍是4jt-+ 20,所以还需要用到诱导公式进行角的变换.2jtjt7解：sin20=-cos(20 + ) =2sin'(+ &)-1 =，故选a。249二借助“多余角”发现关系有时候，寻找突破点恰恰需要观察那些无关紧要的角，去掉“多余角”的过程中，恰 好也是得到答案的过程。未知角之间的关系需要借助“多余角”发现.7tttt|例 3： (2011 浙江理科，6)若0vqv_, -v0vo, cos(+ &) =

7、,2243,贝 |jcos(6z + )=(2(a)4 半 (c)洋分析：在实际教学中，我发现很多学生面对这个题目首先想到的是，把cos(q + 0)用2的正弦.余弦的和角公式展开，即 cos(cr + ) = coscr cos -sin cr sin .fi然角 q、2 2 2 2 余弦值都可以求出，但计算量很大仔细观察角，会发现它们之间存在关系： 6z + = (- + tz)-(-),这个差的关系，是借助兰这个“多余角”的符号发现的.24424解：q + £ =(q + #)_(#_£),2442 cos(6z + 4)= cosl(6z + 乡)一(彳一 4)j2

8、442= cos(a+ ”)cos(”-") + sin(tz + ) sin( + )44244271t 0< a< 92tt-y</?<0,717t37t7171b71：. <a + < ,<.4444422sinf+ 4) = 31,心厶巫43423,.c°s(a + 0)丄血+吨x也二业，故选c.2333399三三角形中的角的变换三角形 abc中三个内角满足a + b + c = ;rf所有的变换方法都从这个关系式中变 形得来.1t例4： (2011年湖南)在abc中，角a.b.c所对的边分别为d,b,c,且满足c = -.

9、4 求盯sin力- cos(b + -)的最大值，并求取得最大值时角a, b的大小.47f分析：所求式子中的两个角分别是a和b +上,首先想到的是把他们化作同一个角,4他们的关系可以通过三角形三个内角之和为兀找到.713兀解：9： a + b + c = 71, c = -, ：.b =a,44:.a/3 sin a -cos(b + )=巧sin a-cos(兀一 a) = a/3 sin a + cos a = 2sin(a + )463/rt714711 7l < a + <6 6 1277 777777:当 a + =,即 a=时，2sin(4 + )取最大值 2.6 236综上所述，v3sina-cos(b + -)的最大值为2,此时a = -f b =4312每次引导学生解决类似问题时，都让我想起金庸的小说神雕侠侣中的一个细节： 神雕帮助杨过练功的