【中考数学压轴题专题突破16】相似中的方法模拟或结论发现运用问题

1、【中考压轴题专题突破16】相似中的方法模拟或结论发现运用问题1.在 ABC中，CA = CB , ACB = ( 0° VaV 180 °).点P是平面内不与 A, C重合的 任意一点，连接 AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP ,连接AD , CP.点 M是AB的中点，点N是AD的中点.(1) 问题发现如图1,当a= 60°时，工_的值是，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度PC 数是.(2) 类比探究如图2,当a= 120°时，请写出的值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，PC并就图2的情形说明理由.(3) 解决问题如图3,当a=

2、 90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点 B, P,PrD在同一条直线上时竺的值.第1页(共16页)2. （ 1）证明推断：如图（1）,在正方形 ABCD中，点E, Q分别在边BC, AB 上, DQ丄AE 于点0,点G , F分别在边 CD, AB上，GF丄AE . 求证：DQ = AE; 推断：_LL的值为AE（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中，丄=k （k为常数）.将矩形ABCD沿GFAB折叠，使点 A落在BC边上的点E处，得到四边形 FEPG, EP交CD于点H ,连接AE 交GF于点0.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；,GF =

3、2 ,（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP,当k=二时，若tan CGP =3第2页（共16页）D4GQ尸HSEC圄3.问题背景：如图 1 ,等腰 ABC中，AB = AC, BAC = 120°,作AD丄BC于点D,则BAC = 60° ,于是匹=MD为BC的中点， BAD =AB 迁移应用：如图2, ABC和厶ADE都是等腰三角形, C三点在同一条直线上，连接 BD .(1) 求证： ADB AEC;(2) 若AD = 2, BD = 3,请计算线段 CD的长；拓展延伸：如图 3,在菱形 ABCD中， ABC = 120° 关于BM的对称点E ,连接AE

4、并延长交BM于点F,(3) 证明： CEF是等边三角形；AB BAC = DAE = 120°, D , E,在 ABC内作射线BM ,作点C 连接CE, CF .第#页(共16页)4.【探索发现】如图 ， ABC中，点D , E, F分别在边BC, AC, AB上，且AD , BE,CF相交于同一点 O .用” S”表示三角形的面积，有 SABD : SACD = BD : CD，这一结 论可通过以下推理得到：过点 B作BM丄AD ,交AD延长线于点 M ,过点C作CN丄AD：-.>7i Ilri =- J.,又可证厶BM : CN= BD : CD ,二 SMBD : Sa

5、acd = BD : CD .由此可得 Sabao： F分别是BC, AC, AB的中点,于点 N,可得 SABD: SACD =BDM CDN , /S CAO： S"BO =；若 D, E,SABCO=；贝 U Sa BFO： Sa ABC第5页(共16页)【灵活运用】如图 2,正方形ABCD中，点E, F分别在边AD , CD上，连接AF, BE 和CE , AF分别交BE, CE于点G, M .(1) 若AE = DF .判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；(2) 若点E, F分别是边AD ,CD的中点，且AB = 4.则四边形EMFD的面积是.【拓展应用】如图

6、3,正方形ABCD中，AB = 4,对角线AC, BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P, BGAF于点G,连接OG,请直接写出 SaOGP5.【操作发现】如图（1）,在厶OAB和厶OCD中，OA= OB , OC = OD , AOB = COD =45°,连接AC, BD交于点M . AC与BD之间的数量关系为 AMB的度数为;【类比探究】如图（2）,在厶OAB和厶OCD中， AOB = COD = 90°, OAB = 的值及 AMB的度数;OCD = 30 °,连接AC,交BD的延长线于点 M .请计算【实际应用】如图（3）,是一个由两个

7、都含有 30°角的大小不同的直角三角板 ABC、DCE 组成的图形，其中 ACB = DCE = 90°, A= D= 30°且D、E、B在同一直线上， CE= 1 , BC =',求点A、D之间的距离.35第7页（共16页）6.问题背景：图1 ,等腰 ABC中，AB= AC, BAC = 120°,过点 A作AD丄BC于点D ,贝U D为BC的中点， BAD =丄 BAC= 60 °于是'=丄L=2AB AB(1) 迁移应用：如图2,A ABC和厶ADE都是等腰三角形， BAC = DAE = 120°, D, E,

8、 C三点在同 一条直线上，连接 BD .求证：CD =>AD+BD;(2) 拓展延伸如图图3,在菱形 ABCD中， ABC = 120°,在 ABC内作射线 BM ,作点C关于BM 的对称点E,连接AE并延长交BM于点F ,连接CE , CF .若AE = 5, CE = 2,求BF的【中考压轴题专题突破 16】相似中的方法模拟或结论发现运用问题参考答案与试题解析1.解：（1）如图1中，连接PC, BD,延长BD交PC于K,交AC于G.gl CA= CB, ACB = 60°,ABC是等边三角形， CAB = PAD = 60°, AC = AB, FAC=

9、 DAB ,. AP= AD , PAC DAB (SAS),. PC= BD, ACP = ABD ,.AN =ND , AM = BM , BD =2MN , MN _PC CGK = BGA , GCK = GBA , CKG = BAG = 60° , BK与PC的较小的夹角为 60° , MN / BK , MN与PC较小的夹角为 60°.故答案为-7, 60°.（2）如图设MN交AC于F ,延长MN交PC于E. CA= CB , PA= PD , APD = ACB = 120° , PAD CAB,APADACABTAM = MB

10、 , AN= ND,第17页(共16页)空=里=PCAC ACPsA AMN , ACP = AMN , CFE = AFM , FEC = FAM = 30°(3) 设 MN = a, 也-=竺=1,PC AC PC= -J a, ME是厶ABC的中位线， ACB = 90°, ME是线段BC的中垂线，. PB= PC =a, MN是厶ADB的中位线, DB = 2MN = 2a,=2- . ：PD = DB - PB =( 2.匚)a,PDMN如图 3- 2 中，PD = DB+PB=( 2+. ) a,卞=2+2. ( 1) 证明：四边形 ABCD是正方形, AB=

11、DA , ABE = 90°= DAQ . QAO+ OAD = 90°. AE DH , ADO+ OAD = 90° QAO = ADO . ABE DAQ (ASA), AE= DQ .解：结论:理由： DQ 丄 AE, FG 丄AE , DQ / FG , FQ / DG,四边形DQFG是平行四边形, FG= DQ,AE= DQ , FG = AE,便=1.AE故答案为1.(2)解：结论：一=k.AE理由：如图2中，作GM丄AB于M .AtDBECM) AE GF , AOF = GMF = ABE = 90°, BAE+ AFO = 90

12、76;, AFO + FGM = 90°, BAE = FGM , ABEGMF ,GFGMAEAB AMG = D = DAM = 90四边形AMGD是矩形， GM = AD,GFAE=JAEABAB(3)解：如图2中，作PM丄BC交BC的延长线于M .FG=2AE3,FG = 2 I,D FB / GC, FE / GP, CGP = BFE , tan CGP = tan BFE3BK4Blf可以假设 BE= 3k, BF = 4k,EF = AF = 5k,AE= 3 .(3k) 2+ ( 9k) 2=( 3 一 I)K = 1或-1 (舍弃)，BE= 3, AB = 9 ,

13、BC: AB= 2 : 3 ,BC= 6 ,BE= CE = 3 , AD = PE = BC= 6 , EBF = FEP = PME = 90° , FEB + PEM = 90 ° , PEM + EPM = 90° , FEB = EPM , FBEEMP ,BFBESFPE EM PM,5436EMPH245,PM =185 CM = EM - EC =5 PC= ；： .r：=t*T.3.解：(1)证明：如图 2, BAC = DAE = 120° , DAB = CAE ,在厶DAE和厶EAC中，da=eaZDAft=ZEAC,IAB=Ae

14、 DAB EAC (SAS);(2)如图2 - 1中，作AH丄CD于H.DAB EAC, BD= CE,在 Rt ADH 中，DH = AD?cos30°/ AD = AE, AH 丄 DE, DH =HE, CD = DE+EC = 2DH+BD =:AD+BD = 2 ：；+3 .(3)证明：如图，作 BG丄AE于G,连接BE . E、C关于BM对称， BC= BE, FE = FC, BM垂直平分CE , BNE= 90°, 3 = 4,在菱形 ABCD 中，AB = BC, ABC = 120°, AB= BE,又 BG 丄 AE, / 1 = 2, BG

15、E = 90°, / 2+ 3 = - ABC = 60°,四边形 BNEG 中， CEG = 360°- 90°- 90°- 60°= 120°, / CEF = 60 ° ,又 FE = FC, EFC是等边三角形；(4) AE = 4, EC = EF = 1 , AG= GE= 2, FG = 3,在 Rt BGF 中， BFG = 30°,cos30 BF =4.解：【探索发现】由题意：SBAO：SABCO= AE:EC;SCAO:SACBO= AF :BF;若 D ,E,F 分别是 BC, A

16、C, AB 的中点，贝U SABFO: SAABC= 1: 6,故答案为：AE: EC, AF: BF , 1: 6.【灵活运用】（1）结论：AF = BE, AF丄BE .理由：如图2中，四边形ABCD是正方形， AB= AD , BAE = ADF = 90°,/ AE= DF , BAE ADF (SAS), BE= AF , ABE = DAF , ABE+ AEB = 90° , DAF + AEB = 90° , AGE= 90 ° , AF 丄 BE .根据对称性可知厶 DME , DMF ,关于直线 DM对称, SaDME= SADMF,

17、/ AE= DE, SaAEM = SADME = Sa DMF ,. SAADF = × 4 × 2 = 4 ,2' SaAEM= SDME = SDMF =:.C 8 S 四边形 EMFD = 故答案为呈.3【拓展应用】：如图3中,S3四边形ABCD是正方形，. AB= BC = CD = AD = 4，AC = BD = 4;$E，OA= OB= OD = OC= 2 "：, DF = FC,. DF = FC = 2,/ DF / AB,DFDP=1ABFB2 OP: OB = OP: OA= 1: 3, BG PA, AO丄OB,. AGB =

18、AOB= 90°, OAP+ APO = 90 °, PBG+ BPG= 90 ° , FAO= PBG , APO = BPG, AOPsA BGP,OPPAGPPB鲁=等， GPO = BPA, GPOBPA,5解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于K. CI) AOB= CoD = 45°, COA = DOB ,9A= OB, OC = OD , COA DOB ( SAS), AC= DB , CAO = DBO , MKA = BKO , AMK = BOK = 45° ,故答案为：AC= BD , AMB = 45【类比探究】如图(2)中，圏(2)在厶 OAB 和厶 OCD 中， AOB = COD = 90°, OAB = OCD = 30° , COA = DOB , OC =：'：OD , OA = PfOB ,OCOAODOB COA ODB ,MAK = OBK , AKM = BKO , AMK = BOK = 90°.【实际应用】如图 3 - 1中，作CH丄BD于H ,连接AD .圍(3 1)在 Rt DCE 中， DCE = 90°, CDE = 30° , EC= 1 , CEH = 60