延迟退休问题

1、2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛

2、区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 重庆邮电大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 吴艳琼 2. 王文琪 3. 王秋妹 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 朱伟 日期：2014 年 8月23 日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行2题目：B1 “延迟退休”问题摘要延迟退休是指国家结合国外相关案例来综合考虑中国人口结构变

3、化的情况、就业情况而逐步提高退休年龄的制度。本文紧密结合我国当前退休制度发展的现状，适当提出延迟退休政策的方案设计，针对延迟退休问题进行讨论并建立了相关数学模型。模型一为国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求状况和国民受教育情况四个指标对“延迟退休”政策的影响模型。首先通过查阅相关书籍文献和网站的历史资料，得到一系列统计学数据，然后利用 SPSS和Matlab来拟合相关曲线，建立相应的模型，得到四个计算公式。研究这四个指标对延迟退休的影响，选择利用层次分析法分别对四个指标对推迟退休的影响程度进行评价。通过资料的搜集与理论(什么理论)的借用，得到四个指标与目标层的关系。接着构造判断矩阵，运

4、用Matlab进行分析（MATLAB怎么分析），得到矩阵的权向量矩阵。最后，建立延迟退休必要性指数Z的四个指标的权重。进行无量纲化处理后得到C1、D1、E1、T1（这样写给人不知道什么意思，摘要尽量清晰，能直接看明白）模型二为针对某一地区 5 类群体的关于退休延迟年限不同方案合理程度的评价模型，我们结合了工作环境、工作经验、体质、家庭经济状况影响为衡量尺度，采用AHP 算法，利用Matlab对所计算的数据行矩阵分析，根据工作环境、工作经验、体质、家庭经济状况准则之间的关系以及随机一致性指标计算一致性比率判断矩阵元素的取值后，首先判断出准则层相对重要性权值矩阵，再通过相关资料的查找和日常经验的积

5、累得到了能够反映合理退休年限的 5 类人群的分值；合理的预估出不同人群合理的退休年限，得到形式矩阵，将两矩阵相乘得到，即为5类人群的延迟退休年限（同上慎用符号，别人看摘要没法直接明白）。模型三中要通过与其他5个发达国家进行比较问题一中的四个指标，推测我国的延迟退休时间。先用拟合出国民人均预期寿命、人口老龄化和劳动力供求情况的函数或曲线，如国民人均预期寿命关于时间的函数：似乎没有写完。？模型、方法上还需要进一步完善关键词 层次分析法 拟合 多项式拟合 一、问题重述目前我国已经进入人口老龄化快速发展期，“延迟退休”已成为人们关注的热点话题，不同的群体对“延迟退休”也有不同的看法，如企业中高层管理人

6、员、部分专业技术人员(如医生、教师、科技工作者等)被认为愿意延长退休年龄，但大多数一线工人尤其是体力劳动者，则希望早点退休。因此，如何尽快作出“延迟退休”科学可行的制度设计，是人们关心的问题。请针对“延迟退休”问题，查阅资料并解决以下问题：1.查阅文献资料，给出如下四个指标的计算公式：国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求状况和国民受教育情况，并研究这四个指标对延迟退休的影响。2.由于各行业工作环境、要求差别很大，延迟退休年龄一刀切的做法显然需要商榷。请就某一地区选择教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业工人）5类群体，研究其工作状况，寻找影响这5类群体延迟退休年限

7、的评价指标（例如工作环境、工作经验、体质的要求等）。如果延迟退休年限为1到5年，请根据你寻找的评价指标研究这5类群体较合理的延迟退休年限。3.目前世界各国的退休年龄各不相同，有的国家退休年龄超过60岁，有的不超过60岁。选取5个延迟退休年龄超过60岁的国家，如美国、日本、德国、澳大利亚、意大利，通过研究这些国家的国民人均预期寿命 、劳动力供求状况、国民受教育年限和人口老龄化程度等影响延迟退休年龄的相关因素，根据你的研究结果，预测我国出台延迟退休政策执行的时间表。二、问题分析21对于问题一的分析 要想得出四个指标的计算公式，首先通过查阅相关书籍文献和网站的历史资料，得到一系列统计学数据，然后利用

8、 SPSS和 Mat lab 来拟合相关曲线，建立相应的模型，得到四个计算公式。研究这四个指标对延迟退休的影响，面对处理这些多目标、多层次的复杂大系统问题和难于完全用定量方法来分析与决策的社会系统工程的复杂问题，选择利用层次分析法分别对四个指标对推迟退休的影响程度进行评价。通过资料的搜集与理论的借用，得到四个指标与目标层的关系。接着构造判断矩阵，运用Matlab进行分析，得到矩阵的权向量矩阵。最后，建立延迟退休必要性指数Z的四个指标的权重。进行无量纲化处理后得到C1、D1、E1、T12.2对于问题二的分析问题要求就某一地区选择教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳动者（含特殊行业工人）5

9、类群体，研究其工作环境、经验、体质、家庭经济状况影响这5类群体延迟退休的年限就要把复杂问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。因此，首先建立递阶层次结构模型，然后借助模型构造准则层对目标层的4个评价指标的判断矩阵和方案层对准则层的成对比较矩阵，再利用Matlab对数据进行分析，判断出准则层对目标层的特征向量矩阵，再通过相关资料的查找和日常经验的积累得到了能够反映合理退休年限的 5 类人群的分值；合理的预估出不同人群合理的退休年限，得到形式矩阵，将两矩阵相乘得到，即为5类人群的延迟退休年限。2.3对于问题三的分析问题要求研究5个延迟退休年龄超过60岁的国家的国民人均预期寿命 、劳动力供求

10、状况、国民受教育年限和人口老龄化程度等影响延迟退休年龄的相关因素，借此预测我国出台延迟退休政策执行的时间表。在问题一的基础上，发现国民受教育情况对延迟退休年龄政策影响不大，所以忽略对该因素的研究。首先，制出三个影响因素在各个国家开始实行延迟退休政策时的具体数据表。接着，利用对数据进行拟合，借此得到各个影响因素与时间的函数。同样地，通过相关数据的搜集，查找出关于我国的具体数据，并将它们代入拟合函数中，预测出台延迟退休政策执行的时间表。三、模型假设结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些位置因素的干扰，提出以下几点假设：1、假设我国近几年经济环境稳定，不会发生大的经济危机；

11、2、假设我国人民健康状况良好，不会爆发大规模集体的疾病；3、假设由于退休年龄复杂多变，本文假设男女的退休年龄相同（为啥要做这个与现实不一样的假设呢）；4、假设我国从转型期平稳过渡到中等发达国家水平无重大国际、政治因 素变动。5、 忽略地区与地区、东西部、或者不同的劳动就业市场之间存在着各种差异，用新增就业率来衡量劳动力供求状况。四、符号说明为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明：平均预期寿命人口老龄化程度劳动力供求状况高中及其以下人数随时间的变化大专及其以上人数随时间的变化无量纲化处理后的国民人均预期寿命无量纲化处理后的人口受教育年限无量纲化处理后的老龄化程度无量纲化处理后的劳动力需求状况五

12、、模型的建立和求解1 问题一：四个指标与延迟退休的关系1.1四个指标的预测模型（1）国民人均预期寿命（公式或写作形式上写的不太清晰）“平均预期寿命”也称“期望寿命”，从指标名称看是预期的、期望的，有是一种预测的意思。计算“平均预期寿命”是假设(年)出生人数(每年均)为1个单位，以下都是就这“1个单位”做的“文章”。这“1个单位”，它是期初数(而不是期中或平均数)，作为“尚存人数”的初值0(即l0=1)，以后从这1开始，按人口规律只能“单调递减”到0为止：l1,l2,l3,lw都是相应年龄(岁)的期初数。按“平均人口”的计算方法，由期初期末(或相邻两个期初)人口可以计算这一年的“平均人口”，这里

13、称为“尚存人年数”Lx：Lx=(lx+lx+1)/2，x=0,1,2,w-1。在这一年(单位时间)内的“死亡人口”dx则为：dx=lx-lx+1。（年龄别)死亡率(B1)死亡人口(A3)÷平均人口(A2)，即：mx=Mx/Sx，x=0,1,2,。而上面已经计算出在“理想”情况下1单位人口演变的“平均人口”Lx和“死亡人口”dx，由此也可以计算相应的(年龄别)“死亡率”mx:mx = dx / L x=(lx-lx+1)/(lx+lx+1)/2。解得lx+1 = lx(2-mx)/(2+mx)，这样就可由m(已知死亡率)计算出l(尚存人数)进而计算出L(尚存人年数)而且就“1个单位”的

14、初始人口来说，每个岁点上的人数就是尚存的“人年”数。在“lx+1 = lx(2-mx)/(2+mx)”中将的“(2-mx)/(2+mx)”记为“尚存率px”即px=(2-mx)/(2+mx)，于是lx+1px×lx 。而尚存(率)之余(1-px)相当于死亡(率，在以1为单位时也就是死亡人口)，称为“死亡概率qx”即qx=1-px=1-(2-mx)/(2+mx)=2mx/(2+mx)“生命表的关键是死亡概率”，当然另一个是“理想人口”。作为生命表关键的死亡概率由qx=2mx/(2+mx)表达了它与死亡率的关系，但该式或许不能一目了然究竟死亡概率比死亡率大还是小，又达到怎样的程度？qx=

15、2mx/(2+mx)=(2mx+mx2)-mx2/(2+mx)= mx - mx2/(2+mx) mx - mx2/2，由0mx1可知，总有qxmx，也就是死亡概率除mx为0外总是小于死亡率。由于死亡率是很小的数，因此相差不会很大。若干mx和计算出的qx及两者的差如下表所列：以上直接联系了死亡率与死亡概率，这样以上直接联系了死亡率与死亡概率，这样就可以从死亡率与死亡概率出发(已知mx和假设l0=1)计算出平均预期寿命，依次如下(x=0,1,2)：死亡概率：qx=2mx/(2+mx) |用到mx尚存率：px=1-qx |也可用px=(2-mx)/(2+mx)计算尚存人数：lx+1 =px

16、5;lx |用到l0=1，也可用lx+1 = lx(2-mx)/(2+mx) 计算尚存人年数：Lx=(lx+lx+1)/2尚存人年总数：Tx=Lx平均预期寿命：ex =Tx/lx |其中e0表示0岁(新生儿)的平均预期寿命，为默认用“”表示计算方向就是：mx qx=2mx/(2+mx) px=1-qx lx+1 =px×lx（l0=1） Lx=(lx+lx+1)/2 Tx=Lx ex =Tx/lx。其它涉及而计算平均预期寿命不必用到的还有死亡人数：dx=lx-lx+1 。按如上讨论计算的平均预期寿命过程得到表格1（附表1）。其实从上面的分析可以想到，由于死亡概率相当接近死亡率，因此与

17、前面用死亡率试算的表4不会相差很多；又由于死亡概率小于死亡率，因此计算出的平均预期寿命会比“试算预期寿命”高。可见，这样计算出的平均预期寿命为72.40(年)比“试算预期寿命”(72.13)略高，这是可以理解的，因为死亡概率略低于死亡率至此“试算预期寿命”完成了使命。依据普查数据计算出来的预期寿命值略高于统计年鉴公布值，总人口平均预期寿命为72.21岁”(统计年鉴公布值为71.40岁)。（2）人口老龄化程度人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。国际上通常把 60 岁以上的人口占总人口比例达到 10%，或 65岁以上人口占总人口的比重达重达

18、到 7%作为国家或地区进入老龄化社会的标准。根据中国1990-2012 年 65 岁以上人口数的表格2（附表2），以时间（年份）为自变量，以 65 岁以 上 总 人 数 为 因 变 量 ， 假 设 出 人 口 老 龄 化 模 型 为 三 次 方 程 模 型： =p1*(x-1990)3+p2*(x-1990)2+p3*(x-1990)+p利用 Matlab 软件估计得到人口老龄化的趋势模型为： =0.3768(x-1990)3-8.923 (x-1990)2+286*(x-1990)+6258其中:SSE=2.362e+05 , =0.9967 ，Ajusted =0.9962 ,RMSE=1

19、11.5拟合曲线如下所示：图1：人口老龄化拟合曲线（3）劳动力供求状况根据中国 2003-2012年总人口和劳动力供给量表格3（附表3） ，以劳动力总供给量作为因变量，以时间序列（t=1,2,19）作为自变量，假设出劳动力供求状况模型为二次方程模型： =p1*x2+p2*x+p3（该下标一定要下标）利用 Matlab 软件估计得到劳动力供求状况的趋势模型为： =925.4x2-1.677*105*x+8.743*106其中SSE=2.87*109 , =0.9337 ,Adjusted =0.9147 ,RMSE=6403拟合曲线为:图2：劳动力供求状况（4）国民受教育情况由于不同的文化水平的

20、人群对退休延迟政策有不同程度的影响，所以我们将国民受教育情况与退休政策的关联性研究分为高文化水平和中低文化水平两类人群加以区别，分别以 2002年-2012 年统计年鉴中大专及本科文化以上和高中及以下文化人口比例表格4(附表4)所区分的两类人群为研究样本，分别以高中及其以下的人数、大专及其以上的人数为因变量 ，以时间（t）为自变量，假设出两个模型，以表示高中及其以下人数随时间的变化模型，则表示大专及其以上人数随时间的变化模型。 =p1*x1+p2 =p3*x22+p4*x2+p5使用Matlab估计出以上模型为： = -1.896*105*x1+1.155*107 =529.5*x22-135

21、5*x2+6.245*105拟合曲线如下所示图3：国民受教育情况1.2四个指标对于延迟退休的紧密关联程度模型（1） 模型的建立面对处理这些多目标、多层次的复杂大系统评价类问题，采用层次分析法比较简便。首先通过对计算的具体数据进行层次分析，得到四个指标与目标层的关系。延迟退休延迟退休必要性指数劳动力供求状况国民受教育情况人口老龄化程度国民人均预期寿命图4：各级层次关系从图中可以发现，四个不同的方案影响着目标层，而最终的决定性因素是四个指标对于目标层的必要性指数。所以，根据四项不同的指标与目标层的关系，矩阵中的数值为两个准则相对于总目标重要性比较的数值判断，构造了判断矩阵： (2)模型的求解判断矩

22、阵A的特征问题,用Matlab算出最大特征值为4.0833。然后再根据所得出的矩阵，运用Matlab对矩阵进行分析，根据随机一致性指标计算一致性比率判断矩阵元素的取值后，得到矩阵的权向量矩阵：B=0.3572，0.2858，0.1778，0.1792-1由此我们建立延迟退休必要指数Z的四个指标的权重，对四个指标的数据进行无量纲化处理后得到C1,D1,E1,T1,从而建立延迟退休必要性指数Z的函数：Z=0.3572*C1+0.2858*D1+0.1778*E1+0.1792*T1通过对四项指标的分析可知，人均预期寿命在持续延长，对延迟退休的影响主要表现在个人劳动时间得以延长，劳动能力增加；伴随人

23、口老龄化的加速，若不及时调整人生工作周期，必然导致年轻一代的养老负担越来越重，从而直接损害代际养老负担的公平；劳动力供求发生深刻变化，我国的劳动力已日益不能满足国民经济发展的需求。（3）模型的检验为了保证层次单排序的可信性，需要对判断矩阵的一致性进行检验，亦即要计算随机一致性比率，一致性指标：CI= 一致性比率：使用Matlab运算的到：RI=0.9000 ，CI=0.0278，CR=0.0309因为CR<0.1，认为层次单排结果满意。2.问题二：评价指标通过相关资料的查找和日常经验的积累，面对此类问题，首先建立层次结构模型，接着根据各层指标建立判断矩阵模型，通过Matlab分析求出各个

24、矩阵的相对重要性权值，最后,利用Excel整理并计算出各个方案对目标层次必要性指数总排序。2.1五类人群延迟退休年限模型（1）模型的建立面对此类问题，首先把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按照其属性及关系形成若干层次，上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用，因此，首先建立地界层次结构模型：图5：各级层级结构图记第2层（准则层），第1层（目标层），第3层(方案层)。相对于延迟退休时间的目标层来说，根据工作环境、经验、体质、家庭经济情况的准则之间的相对重要性建立判断矩阵：C1 C2 C3 C4C1 C2 A= C3 C4方案层对

25、C1(工作环境)的成对比较阵为：方案层对C2(工作经验)的成对比较阵为：方案层C3（体质)的成对比阵为：方案C4（家庭经济状况）的成对比阵为：（2）模型的求解利用Matlab对所计算的数据行矩阵分析，根据工作环境、工作经验、体质、家庭经济状况准则之间的关系以及随机一致性指标计算一致性比率判断矩阵元素的取值后，首先判断出准则层即矩阵A的相对重要性权值矩阵为：通过相关资料的查找和日常经验的积累，面对此类问题，我们采用直接评分方法，得到形式矩阵，结果汇总如下表所示： 教师 内科医生 公司职员 客车司机 重体力劳动者工作环境 54 321工作经验 3 5 2 4 2体质 5 4 3 2 1家庭经济状况

26、 4 4 4 4 4运用综合评价方法，将 得到矩阵：即为五类人群的延迟退休年限。3.问题三: 根据其他国家数据预测我国退休年龄时间表针对问题，首先整理出国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求状况的统计表，接着利用对数据进行拟合，通过拟合图像求出拟合函数。拟合分析五个国家在提出实行延迟退休政策那一年的数据，借此制出中国延迟退休的时间表。（1）模型的建立根据第一题的结果，得知延迟退休时间与国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求状况和国民受教育情况四个因素有关，而影响程度的大小也以权重的形式指出。若想推算出我国延迟退休的时间表，就要比较我国的实际情况什么时候与已经实施延迟退休的国家相似。

27、简单来说，就是把四个因素与其他国家相比较。由于国民受教育情况权重过小，所以决定忽略它对延迟退休的影响，接下来对中国的三个因素变化情况进行研究。首先通过查询相关资料，我们得到了我国国民人均寿命的表格5：表5 国民人均寿命年份（年）1953196419821990200020052010人均预期寿命(岁)35646868.671.47374.83 从表中可以发现，随着年度的增长以及现代化经济的发展，国民人均寿命不断增长。为了使结果更形象直观的表现，利用对各个年份的国民人均寿命进行拟合，得到如下结果： 图6：人均预期寿命图通过拟合图可以发现随着年份的增长，国民人均寿命呈直线递增趋势。利用图中数据，得

28、到国民人均预期寿命关于时间的函数：同样地，通过人口老龄化程度的数据表，可以观察出大体的发展趋。为使趋势更直观地体现，利用对数据进行拟合。得到拟合图形后，可以求出老龄化程度关于时间的函数：（我国人口老龄化程度表见附录5）对于劳动力供求情况来说，由于前期受经济改革与波动的影响，很难拟合出相似度较高的曲线，现根据以往数据做出劳动力供求情况的时间序列图: (我国劳动力供求情况表见附录5) 图7：劳动力供求情况的时间序列图由时间序列图可以看出，我国就业增长率在经历大的波动后于近几年归于平和，鉴于我国改革已进入攻坚期，社会经济不会出现大起大落的情况，推断我国就业增长率会在0附近上下波动。（2）模型的求解通

29、过对国民人均预期寿命 、劳动力供求状况和人口老龄化程度的数据分析，得到我国这三个因素关于时间的变化情况，通过查阅资料得到部分发达国家开始推迟退休的时间及相关因素的情况。为了方便计算与理解，所取的数据以该国家开始实行延迟退休政策的时间为准：表6 发达国家延迟退休情况国家延迟退休开始时间退休年龄国民人均寿命老龄化情况就业增长率美国2000年67岁78.5岁0.11-0.0035日本2013年65岁82.97岁0.25-0.0095德国2012年67岁80.4岁0.22-0.0095意大利2011年61岁81.9岁0.2058-0.007澳大利亚2023年70岁81.5岁0.30.005观察发达国家

30、延迟退休情况发现，不同国家情况不同。由于我们模拟的综合函数只适合中国的国情，因此我们采取各因素分别比较的方法来确定中国的退休年龄。经过比较我们得出从2016年到2020年我国退休年龄逐步推迟到65岁。六、模型的评价与改进1模型的优点（1）准确利用了中华人民共和国国家统计局等官方网站的数据，并且对数据进行了透彻的分析，抓住了分析的要点，剔除了一些不符合实际情况且对问题影响不大的数据，较好的完成了数据的提取与应用。（2）本文的模型在处理问题上简洁、清晰、合理，操作简单易懂，且具有可信度，基本符合事实规律。（3）采用 Excel、Matlab 和 SPSS 软件对数据进行恰当处理，降低运算量，加快运算速度，同时可操作性强。（4）结合实际情况，全面考虑各种因素对退休年龄的影响情况，同时又结合数学公式将实际问题显得更加形象化。（5） 文中给出大量的图像表格，使读者对文章清晰易懂。2、模型的缺点（1