函数的极限最新课件

1、上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限一、概念引入一、概念引入二、数列的极限二、数列的极限三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质四、函数的极限四、函数的极限五、函数极限的性质五、函数极限的性质上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限 极限的概念极限的概念是由于求某些实际问题的精是由于求某些实际问题的精确解答而产生的极限的思想源远流长，我确解答而产生的极限的思想源远流长，我国古代数学家国古代数学家刘徽刘徽(公元公元3世纪世纪)利用圆内接正利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法多边形来推算圆面积的方法割圆

2、术割圆术，就，就是极限思想在几何学上的应用极限的思想是极限思想在几何学上的应用极限的思想方法在高等数学中贯穿始终，是一种极为关方法在高等数学中贯穿始终，是一种极为关键的研究问题的方法键的研究问题的方法.一、概念引入一、概念引入上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAASR割圆术割圆术1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)二、数列的极限二、数列的极限1.2 1.2 函数的极限函数的极限定义定义 按照某一法则依次序排列

3、的一列数按照某一法则依次序排列的一列数na aa12,称为称为数列数列，记作，记作na.其中的每一个数称为数列的其中的每一个数称为数列的项项， 称为它的称为它的一般项一般项或或通项通项.na21nnn11 4( 1)2,1,;2 3 nn1( 1)1 ;,21,81,41,21n如数列如数列上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限;,21,81,41,21n观察数列观察数列当当n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于0.n12nn1( 1)1 而数列而数列当当n无限增大无限增大时时, 无限接近无限接近于于1.nn1( 1)1 问题问题以上两

4、个数列有什么共性，如何用数学语言以上两个数列有什么共性，如何用数学语言去刻划？去刻划？对数列对数列 存在常数存在常数a ， 与与a的距离的距离 可以任意小，只要可以任意小，只要n足够大足够大.nananaa 上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限定义定义1如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), 总存在正整数总存在正整数N, 使得当使得当 时，总有时，总有Nn naa 则称数列则称数列 收敛收敛于于a， a称为数列称为数列 的的极限极限.nana记作记作nnaalim 或或naa n() 如果数列如果数列 没

5、有极限，则称它是发散的没有极限，则称它是发散的 nannaalim ,时时当当Nn , 0 , 0 Nnaa 有有:定义定义N 上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限注注 不等式不等式 刻划了刻划了 与与a 无限接近；无限接近；naa na 正整数正整数N与给定的与给定的 有关；有关； xa1a2Na2 Na1 a3 2 aa数列极限的几何意义数列极限的几何意义 aa 数列有没有极限关键要看后面的无穷多项数列有没有极限关键要看后面的无穷多项.,时时当当Nn .)(落落在在其其外外个个至至多多只只有有只只有有有有限限个个N所有的点都落在所有的点都

6、落在 内，内，aa (,) 上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)例例1 1. 1)1(lim1 nnnn证证明明1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 nx要要,1 n只只要要n 1即即 所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn有有. 1)1(lim1 nnnn即即证证1 nx 1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)例例2. 10, 0lim qqnn其其中中证证明明证证0 ,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq有有. 0lim nnq,lnlnqn 为了使为了使只需使只需

7、使),10( 不妨设不妨设用定义证数列极限存在时关键是对任意用定义证数列极限存在时关键是对任意给定给定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 注注1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限三、收敛数列的性质三、收敛数列的性质定理定理1 （唯一性）（唯一性） 若数列若数列 收敛，则它的极限唯一收敛，则它的极限唯一.na证证由定义由定义, ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn |bannabaa.2 时时仅仅当当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.nnabaa()()nnablim,

8、又又 才能成立才能成立., 021NN 使得使得nnaalim, 设设当当 时恒有时恒有nN1 naa , 当当 时恒有时恒有nN2 nab ,上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限定理定理2 （有界性）（有界性）若数列若数列 收敛，则它是有界的收敛，则它是有界的.na即存在正数即存在正数M，使对一切正整数，使对一切正整数n，总有，总有naM. 证证由极限定义由极限定义, 1 取取,maxM令令 naM,皆皆有有 1+ a,a1|, a2|,Na|,nnaalim, 设设则则 使得当使得当 时恒有时恒有nN naa , N, nnnaaaaaa

9、aa1 即即,n则对一切正整数则对一切正整数有界有界. .故故na上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件,不是充分条件不是充分条件.注注例如数列例如数列 有界，但并不收敛有界，但并不收敛.n( 1) 推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .定理定理3（保号性）（保号性）设数列设数列 收敛于收敛于a，数列，数列 收敛于收敛于b，且，且 则存在正整数则存在正整数N,当当 时，恒有时，恒有 成立成立.nanbab nN nnab 1,1, 1,1, 1,1, 上页上页下页下页返回返回函数的极

10、限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限由定义由定义, ,取取ab 0,2 ,时时当当Nn nnababaabb,22 从而从而na ababa,22证证则存在正整数则存在正整数N，同时成立同时成立.nb ababb,22所以所以,时时当当Nn 恒有恒有 成立成立.nnab 推论推论设数列设数列 收敛于收敛于a，数列，数列 收敛于收敛于b，且，且nanb从某项起恒有从某项起恒有 ，则，则 . nnab ab 反证法反证法上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限四、函数的极限四、函数的极限1. 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于

11、无穷大时函数的极限设函数设函数 在在 上有定义上有定义.)(xf类似数列，考虑随着类似数列，考虑随着x的无限增大的无限增大,相应的相应的函数值函数值 是否无限接近某一定数是否无限接近某一定数 A. )(xfa ,)当当x趋于正无穷大时对应的函数值无限接趋于正无穷大时对应的函数值无限接近近0，而当，而当 x趋于负无穷大时对应的函数值趋于负无穷大时对应的函数值也无限接近也无限接近0.f xx1( ) 如函数如函数xy1xy上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限定义定义2 A是一是一个确定的数若对任给的正数个确定的数若对任给的正数 ， 总存在某一个正

12、数总存在某一个正数X，使得当，使得当 时时就有就有xX f xA ( ) 设函数设函数当当 大于某一正数时有定义，大于某一正数时有定义，xf x( )则称函数则称函数 当当 时以时以A为为极限极限.f x( )x 记作记作xf xAlim( ) 或或f xA x( )() .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(limX 定义定义上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)1.2 1.2 函数的极限函数的极限yxOX-XA+AA-xf xAlim( ) 的几何意义的几何意义,为为中中心心线线以以直直线线Ay .2 的带形区域内的带形区域内宽为宽为 对任给的正数

13、对任给的正数 ， 总能找到总能找到x轴上的点轴上的点X，使得，使得,时时或或当当XxXx )(xfy 函数函数的图形落在的图形落在上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)例例3xx1lim0 证证, 0 ,1 X取取,|时时当当Xx x 10要使要使x 10,成立成立.只要只要 |1x有有,1| x即即1.2 1.2 函数的极限函数的极限证明证明xx1lim0 故故上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)xxysin 例例40sinlim xxx证明证明证证, 0 ,1 X取取,|时时当当Xx 0sinxx. 0sinlim xxx故故要使要使,0sin xx成立成立.

14、xxxxsin0sin ,|1x 只要只要 |1x有有,1| x即即xyO1.2 1.2 函数的极限函数的极限在极限证明过程中运用函数适当放大的技巧在极限证明过程中运用函数适当放大的技巧.注注上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2):)1(情情形形 x, 0 :)2(情形情形xAxf )(limAxf )(lim另两种情形下函数的极限另两种情形下函数的极限, 0 X,时时使当使当Xx |)(|Axf恒有恒有, 0 , 0 X,时时使当使当Xx .)(上有定义上有定义在在设设axxf |)(|Axf恒有恒有.)(上有定义上有定义在在设设axxf xx1.2 1.2 函数的极限函数的极

15、限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)2. 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限考察函数考察函数 当自变量当自变量x无限接近于无限接近于2时的变化趋势时的变化趋势.xf xx24( )24 22xyO由右图可知当由右图可知当x不等于不等于2但趋于但趋于2时，时，对应函数值无限接近于对应函数值无限接近于2.如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划,0 xx 无限接近无限接近)(xf函数函数于确定值于确定值A?问题问题 Axf)( 00 xx;)(任意小任意小表示表示Axf .0的的过过程程表表示示xx 1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函

16、数的极限PPT课件 (2), 0 若若设函数设函数,00时时使当使当 xx Axf)(, 0 恒有恒有)(xf在点在点x0某去心邻域内有某去心邻域内有定义定义.定义定义3则称函数则称函数 当当 时以时以A为为极限极限.f x( )xx0记作记作xxf xA0lim( ) 或或f xA xx0( )() 定义定义xxf xA0lim( ), 0 ,00 xx当当 Axf)(, 0 1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)注注 f (x)有没有极限与有没有极限与f (x)在点在点 是否有是否有定义没有关系定义没有关系;x0 的大小与给定的的大小与给定

17、的 有关；有关； 不唯一，只要求不唯一，只要求 存在，不一定求最大的存在，不一定求最大的. xyO)(xfy A A0 x 0 x 0 xA必存在必存在x0的去心邻域的去心邻域,00 xx对应的函数图形位于这一带形区域内对应的函数图形位于这一带形区域内., 0 以以A为中心线作为中心线作宽为宽为 的水平带形区域，的水平带形区域， 2几何意义几何意义1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)例例5. 211lim21 xxx证证明明证证211)(2 xxAxf, 0 , 只只要要取取,10时时当当 x函数在点函数在点1 x,)( Axf,2112 x

18、x有有. 211lim21 xxx处没有定义处没有定义.1 x要使要使1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)五、函数极限的性质五、函数极限的性质 函数极限与数列极限有类似的性质函数极限与数列极限有类似的性质,且证明方且证明方法也类似法也类似.以以自变量趋于有限值时函数的极限说明自变量趋于有限值时函数的极限说明.定理定理4 （唯一性）（唯一性）定理定理5 （局部有界性）（局部有界性）若极限若极限 存在，则它是唯一的存在，则它是唯一的.xxf x0lim( )若若 存在，则存在存在，则存在 的某去心邻域的某去心邻域 ，使得使得 在在 内有界内有界

19、xxf x0lim( )x0U x0()f x( )U x0()1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)定理定理6 （局部保号性）（局部保号性）若若 (或或 )，则对任意正数，则对任意正数 存在存在 的某去心邻域的某去心邻域 ，使对一切，使对一切 总有总有 (或或 )xxf x0lim( )0 0 rrA(0), x0U x0()xU x 0(, ), f xr( )0f xr( )0 单侧极限的定义单侧极限的定义如果函数如果函数 当从当从 的左侧的左侧(即即 )趋于趋于 时时以数以数A为极限，则为极限，则A称为称为 在在 的的左极限左极限记作记

20、作f x( )x0 xx0 x0f x( )x0 xxf xA0lim( ) 或或f xA0(0) 1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回函数的极限PPT课件 (2)如果函数如果函数 当从当从 的右侧的右侧(即即 )趋于趋于 时时以数以数B为极限，则为极限，则B称为称为 在在 的的右极限右极限记作记作f x( )x0 xx0 x0f x( )x0 xxf xB0lim( ) 或或f xB0(0) 左极限与右极限统称为单侧极限左极限与右极限统称为单侧极限.xxf xA0lim( ) Axfxf )0()0(00函数极限与单侧极限的关系函数极限与单侧极限的关系1.2 1.2 函数的极限函数的极限上页上页下页下页返回返回