1.3.2空间几何体的体积学习课程

1、瞧，多么宏伟壮观的金字塔！你能求出它的体积吗？瞧，多么宏伟壮观的金字塔！你能求出它的体积吗？第1页/共28页第一页，编辑于星期四：二十点 四十六分。1.1.了解几何体体积的含义以及柱、锥、台与球的了解几何体体积的含义以及柱、锥、台与球的体积公式体积公式. .（重点）（重点）2.2.能简单应用公式求解相关问题能简单应用公式求解相关问题. .（难点）（难点）第2页/共28页第二页，编辑于星期四：二十点 四十六分。假设青藏铁路的某段路基需要用碎石铺垫已知路基的形状尺寸如图所示（单位：米），问每修建1 1千米铁路需要碎石多少立方米？探究点1 柱体的体积第3页/共28页第三页，编辑于星期四：二十点 四十

2、六分。平面几何中我们用单位正方形的面积来度量平面几何中我们用单位正方形的面积来度量平面图形的面积平面图形的面积, ,立体几何中用单位正方体立体几何中用单位正方体( (棱长棱长为为1 1个长度单位个长度单位) )的体积来度量几何体的体积的体积来度量几何体的体积. . 一个几何体的体积是单位正方体体积的多少一个几何体的体积是单位正方体体积的多少倍倍, ,那么这个倍数就是这个几何体的体积的数值那么这个倍数就是这个几何体的体积的数值. .第4页/共28页第四页，编辑于星期四：二十点 四十六分。 某长方体纸盒的长、宽、高分别为某长方体纸盒的长、宽、高分别为4cm4cm，3cm3cm，3cm3cm，则每层

3、有，则每层有_个单位正方体，三层共有个单位正方体，三层共有_ _ 个单位正方体，所以，整个长方体的体积是个单位正方体，所以，整个长方体的体积是_._.4 43=12 3=12 363636cm36cm3 3V V长方体长方体=abc=abc 或或V V长方体长方体=Sh.=Sh.(s,h(s,h分别表示长方体的底面积和高分别表示长方体的底面积和高) )(a,b,c(a,b,c分别为长方体的长、宽、高) )1.1.长方体的体积长方体的体积4cm4cm3cm3cm3cm3cm第5页/共28页第五页，编辑于星期四：二十点 四十六分。提示：提示：高度、书中每页纸的面积和厚度不变，故体积不变高度、书中每

4、页纸的面积和厚度不变，故体积不变. .实验猜想：取一摞笔记本放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？2.2.一般柱体的体积一般柱体的体积第6页/共28页第六页，编辑于星期四：二十点 四十六分。祖暅原理作图验证 两个等高的几何体两个等高的几何体, ,若在所有等高处的水平截面若在所有等高处的水平截面的面积也相等，则这两个几何体的体积相等的面积也相等，则这两个几何体的体积相等第7页/共28页第七页，编辑于星期四：二十点 四十六分。 我国古代著名数学家祖冲之在我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成计算圆周率等问题方面有光辉的成就就. .祖冲之的儿子祖暅也在数学上

5、祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献有突出贡献. .祖暅在实践的基础上，于祖暅在实践的基础上，于5 5世纪末提出了这个体积计算原理世纪末提出了这个体积计算原理. . 祖暅提出这个原理，要比其他祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年国家的数学家早一千多年. .在欧洲在欧洲直到直到1717世纪，才由意大利数学家卡世纪，才由意大利数学家卡瓦列利提出上述结论瓦列利提出上述结论. . （429429年年500500年）年）第8页/共28页第八页，编辑于星期四：二十点 四十六分。柱体的体积柱体的体积s sh hS SS S底面积相等，高也相等的柱体的体积相等底面积相等，高也相等的柱体的体积相等.

6、 .V V柱体柱体=Sh=Sh第9页/共28页第九页，编辑于星期四：二十点 四十六分。锥体（棱锥、圆锥）的体积锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积（底面积S S，高，高h h） 注意：注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离. .探究点2 2 锥体( (棱锥、圆锥）的体积1V=h3三棱锥S第10页/共28页第十页，编辑于星期四：二十点 四十六分。 类似地类似地, ,底面积相等底面积相等, ,高也相等的两个锥体的体高也相等的两个锥体的体积相等积相等. .

7、V V锥体锥体= =1 1ShSh3 3S S为底面积为底面积,h,h为高为高. .ss等底面积、等高的锥体的体积有何关系? ?h h第11页/共28页第十一页，编辑于星期四：二十点 四十六分。s ss ss ss sh hx xSSSS1 1h( +)h( +)3 3上、下底面积分别是上、下底面积分别是S,S,S,S,高是高是h h，则，则探究点3 台体（棱台、圆台）的体积V V台体台体= =第12页/共28页第十二页，编辑于星期四：二十点 四十六分。V V台体台体= =SSSS1 1h( +)h( +)3 3V V柱体柱体=Sh=ShV V锥体锥体= =S1 1h h3 3sssS S=0

8、=0ssS=SS=S思考：思考：柱、锥、台的体积之间有什么关柱、锥、台的体积之间有什么关系？系？第13页/共28页第十三页，编辑于星期四：二十点 四十六分。RR探究点探究点4 4 球的体积、表面积球的体积、表面积 一个半径和高都等于一个半径和高都等于R R的圆柱，挖去一个以的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为所得的几何体的体积与一个半径为R R的半球的的半球的体积相等体积相等. .球的体积球的体积第14页/共28页第十四页，编辑于星期四：二十点 四十六分。12球球V32,3R34.3VR球球221-3R

9、RRR第15页/共28页第十五页，编辑于星期四：二十点 四十六分。R312341111RVRSRSRSRS,33333球球面24.SR球球面面S1球的表面积：球的表面积：球的表面积：球的表面积：设想一个球由许多顶点在球心设想一个球由许多顶点在球心, ,底面都在球面底面都在球面上的上的“准锥体准锥体”组成组成, ,这些准锥体的底面并不这些准锥体的底面并不是真正的多边形是真正的多边形, ,但只要其底面足够小但只要其底面足够小, ,就可以就可以把它们近似地看成真正的锥体把它们近似地看成真正的锥体. .第16页/共28页第十六页，编辑于星期四：二十点 四十六分。例例1.1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯

10、共重有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg. 6kg. 已已知毛坯底面正六边形边长是知毛坯底面正六边形边长是12 mm,12 mm,高是高是10 mm,10 mm,内孔内孔直径是直径是10 mm,10 mm,那么这堆毛坯约有多少个那么这堆毛坯约有多少个?(?(铁的密度铁的密度是是7.8g/cm7.8g/cm3 3) )【分析分析】六角螺帽毛坯的体积六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差圆柱的体积的差. .第17页/共28页第十七页，编辑于星期四：二十点 四十六分。NO【解解】因为因为V V正六棱柱正六棱柱= = 12122 26 6103.7411

11、03.74110103 3(mm(mm3 3) )，V V圆柱圆柱3.143.145 52 210=0.78510=0.78510103 3(mm(mm3 3) )，所以毛坯的体积为所以毛坯的体积为V=3.741V=3.74110103 3-0.785-0.78510103 3 2.956 2.95610103 3(mm(mm3 3)=2.956(cm)=2.956(cm3 3). ). 约有毛坯：约有毛坯：6 610103 3(7.8(7.82.956)260(2.956)260(个个).).答答: :这堆毛坯约有这堆毛坯约有260260个个. .P34第18页/共28页第十八页，编辑于星期

12、四：二十点 四十六分。例例2.2.如图是一个奖杯的三视图如图是一个奖杯的三视图( (单位单位: :cmcm) ), ,试画出它试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积的直观图，并计算这个奖杯的体积.(.(精确到精确到0.01cm0.01cm3 3) )86618515151111第19页/共28页第十九页，编辑于星期四：二十点 四十六分。采用斜二测画法采用斜二测画法.先画底座，这是一个正四棱台，再画先画底座，这是一个正四棱台，再画杯身杯身,是长方体是长方体.最后画出球体最后画出球体.如图如图.这这个奖杯的体积为个奖杯的体积为V=VV=V正四棱台正四棱台+V+V长方体长方体+ V+ V球球V V正

13、四棱台正四棱台22315 (1515 11+11 )851.667cm3 （）,V V长方体长方体=6=68 818=864 (cm18=864 (cm3 3),),V V球球= =3113.097 cm（）,34 33所以这个奖杯的体积为所以这个奖杯的体积为V1828.76cmV1828.76cm3 3. .【解解】xxyyz zO第20页/共28页第二十页，编辑于星期四：二十点 四十六分。1.1.已知一正四棱台的上底面边长为已知一正四棱台的上底面边长为4cm,4cm,下底面边长下底面边长为为8cm,8cm,高为高为3cm,3cm,其体积为其体积为_._.2.2.用一张长用一张长12cm12

14、cm、宽、宽8cm8cm的铁皮围成圆柱形的侧的铁皮围成圆柱形的侧面，该圆柱体积为面，该圆柱体积为_._.（结果保留（结果保留）3.3.一个正方体内接于半径为一个正方体内接于半径为R R的球内，正方体的体的球内，正方体的体积积 33288192cmcm或38 3R9112cm112cm3 3第21页/共28页第二十一页，编辑于星期四：二十点 四十六分。4.4.（20122012辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的体积为_._.【解析解析】由三视图可知该几何体由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体的组合体, ,其中长方体的长、宽、其中

15、长方体的长、宽、高分别为高分别为4,3,1,4,3,1,圆柱的底面直径圆柱的底面直径为为2,2,高为高为1,1,所以该几何体的体积所以该几何体的体积为为 12第22页/共28页第二十二页，编辑于星期四：二十点 四十六分。 5.-46.1-2-SABCDSOSABCDSABCD已已知知正正四四棱棱锥锥中中，高高是是 米米，底底面面的的边边长长是是 米米求求正正四四棱棱锥锥的的体体积积. .求求正正四四棱棱锥锥的的表表面面积积. .第23页/共28页第二十三页，编辑于星期四：二十点 四十六分。2264( )5,2116 4 56022606 696 SESchSSS四锥侧锥侧正正棱棱表表底底正正棱棱E E【解析解析】（1 1） （米（米3 3），），（2 2）过点）过点S S作作SESEBCBC于点于点E E，连结，连结OEOE，则则SESE是斜高，在直角三角形是斜高，在直角三角形SOESOE中，中，11h(6 6) 44833VS（米（米2 2），），（米（米2 2）. .第24页/共28页第二十四页，编辑于星期四：二十点 四十六分。1.1.柱体、锥体、台体的体积公式及它们之间的关系：设柱体、锥体的底面积、台体的下底面面积为S S，台体的上底面面积为SS，高为h.h.类别类别体积公式体积公式柱体柱体锥体