电路理论chapter4汇编

1、第第4章章 正弦电流电路的稳态分析正弦电流电路的稳态分析 本章知识要点：本章知识要点： 相关数学知识相关数学知识; ; 相量分析法相量分析法; ; 电阻、电感、电容元件的电阻、电感、电容元件的VCRVCR相量形式相量形式; ; 复阻抗和复导纳复阻抗和复导纳; ; 正弦交流电路的计算正弦交流电路的计算; ; 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率; ;谐振电路。谐振电路。4. 1 相关数学知识相关数学知识1. 复数复数A表示形式：表示形式：AbReIma0AbReIma0y y|A|一、复数及运算一、复数及运算jbaA )sin(cos|yyyyjAeAAAjjjej2sin2cos2 jjej)

2、2sin()2cos()2( 1)sin()cos( jej+j , j , - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。ReIm0II j I j I 3. 旋转因子旋转因子复数复数 ejy y = cos y y + jsin y y = 1y y A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度y y ，模不变，模不变2. 复数运算复数运算A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减运算加减运算直角坐标直角坐标(2) 乘除运算乘除运算极坐标极坐标212121y yy y AAAAAejy y2545cos10a2545sin10b2525jA106822B87.36)86(tan187.

3、3610B例例1:1: 已知复数已知复数A=1045A=1045, ,求它的代数形式；已知复数求它的代数形式；已知复数B=8-j6B=8-j6, ,求它的极坐标形式，并在复平面上画出复数求它的极坐标形式，并在复平面上画出复数A A、B B的和矢量的和矢量A+BA+B。 解：已知复数的极坐标形式解：已知复数的极坐标形式 A=1045A=1045, ,复数复数A A的实部的实部 复数复数A A的虚部的虚部复数复数A A的代数形式的代数形式已知复数已知复数B B的代数形式的代数形式B=8-j6B=8-j6复数复数B B的模的模复数复数B B极坐标形式极坐标形式复数复数B B的幅角的幅角 在复平面上分

4、别画出复数在复平面上分别画出复数A A和复数和复数B B，用作图法画出和矢量，用作图法画出和矢量A+BA+B，如图所示。，如图所示。二二. . 正弦交流电正弦交流电 正弦信号在日常生活和生产实际中得到非常广泛的应用。正弦信号在日常生活和生产实际中得到非常广泛的应用。其主要的原因是：第一其主要的原因是：第一, ,利用电子设备可以很方便地将交流电利用电子设备可以很方便地将交流电整流成直流电。第二整流成直流电。第二, ,正弦交流电便于产生、转换和远距离安正弦交流电便于产生、转换和远距离安全传输。例如发电厂发出的交流电送入电力系统，再通过配电全传输。例如发电厂发出的交流电送入电力系统，再通过配电系统分

5、到工厂、学校和千家万户。第三系统分到工厂、学校和千家万户。第三, ,从信号分析和计算角从信号分析和计算角度看，正弦周期函数是最简单的周期函数，其它非正弦周期函度看，正弦周期函数是最简单的周期函数，其它非正弦周期函数均可用傅里叶级数将其分解成直流分量及一系列不同频率的数均可用傅里叶级数将其分解成直流分量及一系列不同频率的正弦分量的叠加。正弦分量的叠加。 在电路中，如果电压或电流随时间按正弦规律变化，我们在电路中，如果电压或电流随时间按正弦规律变化，我们称为正弦量。规定用小写字母分别表示正弦电流、正弦电压的称为正弦量。规定用小写字母分别表示正弦电流、正弦电压的瞬时值。本书统一采用的是瞬时值。本书统

6、一采用的是sinesine函数表示正弦量。函数表示正弦量。1. 正弦量的三要素：正弦量的三要素：i(t)=Imsin(w w t +y y )i+_u(1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值最大值) Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency) w wTf w w22 dttd)(y yw ww w单位：单位： rad/s(3) 初相位初相位(initial phase angle) y y(w w t +y y ) 相位相位 y ysin)(0mtIti2、同频率正弦量的相位差、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设

7、 u(t)=Umsin(w w t+y y u), i(t)=Imsin(w w t+y y i) 相位差相位差 = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y y i 0， u 领先领先(超前超前)i ，或，或i 落后落后(滞后滞后) uw w tu, iu iy yuy yi 0 1/w wC ，X0， z0，电路为感性，电压领先电流电路为感性，电压领先电流；相量图：相量图：选电流为参考向量，选电流为参考向量，三角形三角形UR 、UX 、U 称为电压三称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即角形，它和阻抗三角形相似。即CUIRULUU z22XRUUU

8、 0 iy y. Ijw w L. UXU. R+- -+- -+- -RU. 等效电路等效电路XUw wL1/w wC， X0， z U=5，分电压大于总电压。，分电压大于总电压。V 4 . 3235. 24 . 3149. 015oo IRURV 4 .8642. 84 . 3149. 0905 .56jooo ILULw wV 4 .9395. 34 . 3149. 0905 .26C1jooo IUCw wV o)4 . 3sin(2235. 2tuRV o)6 .86sin(242. 8tuLV o)4 .93sin(295. 3tuC注注例例2 2A1A2A0Z1Z2U已知电流表读

9、数：已知电流表读数：A18AA26ACjXZRZ 21 , 1 ）（若若A0?为何参数为何参数）（21 , 2 ZRZ A0I0max=?为何参数为何参数）（21 , 3 ZjXZL A0I0min=?解解AI1068 1 220 ）（1,IU2I0IAIZ1468 2 max02 为电阻，为电阻，）（AIjXZC268 , 3 min02 ）（3. 3. 导纳导纳正弦稳态情况下正弦稳态情况下IYU+- -无源无源线性线性IU+- -yYUIY | 定定义义导导纳纳uiyy yy y 单位：单位：SUIY 导纳模导纳模导纳角导纳角ZYYZ1 , 1对同一二端网络对同一二端网络:当无源网络内为单

10、个元件时有：当无源网络内为单个元件时有：GRUIY 1LjBLjUIY /1w wCjBCjUIY w wIRU+- -Y可以是实数，也可以是虚数可以是实数，也可以是虚数ICU+- -ILU+- -4. RLC并联电路并联电路CLRIIII iLCRuiLiC+- -iR 1jjGUUCULww 1(j)jGC ULww )j(UBG . Ijw w L. ULI. CI. Cj1RI. R+- -1yIYGj CGjBYUj LwwY 复导纳；复导纳；G电导电导(导纳的实部导纳的实部)；B电纳电纳(导纳的虚部导纳的虚部)； |Y|复导纳的模；复导纳的模； y导纳角。导纳角。转换关系：转换关系

11、： arctg | | 22 GBBGYy或或G=|Y|cos yB=|Y|sin y导纳三角形导纳三角形|Y|GB yuiyUIYy yy y （1）Y=G+j(w wC- -1/w wL)=|Y| y 数，故称复导纳；数，故称复导纳；（2 2）w wC 1/w wL ，B0， y0，电路为容性，电流超前电压电路为容性，电流超前电压相量图：选电压为参考向量，相量图：选电压为参考向量，2222)(CLGBGIIIIII UGI. CI. I yLI. 0 y yu分析分析 R、L、C 并联电路得出：并联电路得出：三角形三角形IR 、IB、I 称为电流三角形，它和导纳三称为电流三角形，它和导纳三

12、角形相似。即角形相似。即RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象IB. I. UBI. j1Cw wRI. R+- -等效电路等效电路w wC=1/w wL ，B=0， y =0，电路为电阻性，电路为电阻性，电流与电压同相电流与电压同相UIIG . CI. 等效电路等效电路. Ijw w L. UBI. RI. R+- -LI. 等效电路等效电路. I. URI. R+- - w wC1/w wL ，B0， y0，则，则B0p0区段，能量由电源送到网络，一部分电阻区段，能量由电源送到网络，一部分电阻消耗，另一部分储存起来；消耗，另一部分储存起来；p

13、0p0区段，储能元件把储存的能量返回给电源。区段，储能元件把储存的能量返回给电源。4.6.1瞬时功率瞬时功率 电路中更需要研究的是平均功率，平均功率即为有功功率。电路中更需要研究的是平均功率，平均功率即为有功功率。平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值，用平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值，用P P表示。表示。001coscos(2)TTUIPpdttdtTTwcosPUI 上式说明正弦电流电路的有功功率不仅与电流、电压的有效上式说明正弦电流电路的有功功率不仅与电流、电压的有效值有关，而且与它们二者之间的相位差角值有关，而且与它们二者之间的相位差角的余弦有关，此的余弦有关，此cos称为电路

14、的功率因数。称为电路的功率因数。 4.6.2 4.6.2 有功功率有功功率 功率因数不能为负值。如果为负，则平均功率为负，这意味功率因数不能为负值。如果为负，则平均功率为负，这意味着一端口网络平均起来不是吸收功率，而是发出功率，这显然是着一端口网络平均起来不是吸收功率，而是发出功率，这显然是不成立。不成立。 另外由前面讨论过的阻抗三角形可知，如图（另外由前面讨论过的阻抗三角形可知，如图（a a），）， cosRZUIZ2cosRPUIUII RZ则有则有 cosRUURRUPUIIUU 再由电压三角形可知，如图（再由电压三角形可知，如图（b b），）， 则有则有 的无功分量的无功分量为为称称的

15、有功分量的有功分量为为称称 UUUUXR4.6.3 4.6.3 无功功率无功功率 由上面对有功功率的讨论可知，当电路用复阻抗由上面对有功功率的讨论可知，当电路用复阻抗Z表示时，表示时，电压分量电压分量UX对有功功率无贡献，而电压分量对有功功率无贡献，而电压分量UR没有反映出电路没有反映出电路储能元件与电源之间的能量交换的情况。因此，这里用无功功储能元件与电源之间的能量交换的情况。因此，这里用无功功率表示电路的储能元件与电源之间所交换的那一部分能量，单率表示电路的储能元件与电源之间所交换的那一部分能量，单位为乏（位为乏（varvar）sinXUXUZ同样由电压三角形和阻抗三角形可知，同样由电压三

16、角形和阻抗三角形可知， xQIU2QI X则有则有 无功功率用无功功率用Q表示，其定义是，表示，其定义是， sinUIQsin900LLLQU IU I 对于电感元件，其上电压相量对于电感元件，其上电压相量 超前电流相量超前电流相量 9090，则，则， LUI 所以称电感元件为无功功率的负载，它相当于吸收无功所以称电感元件为无功功率的负载，它相当于吸收无功功率。功率。 对于电容元件，其上电压相量对于电容元件，其上电压相量 滞后电流相量滞后电流相量 9090，则，则， ICUsin( 90 )0CCCQU IU I 所以称电容元件为无功功率的电源，它相当于发出无功所以称电容元件为无功功率的电源，

17、它相当于发出无功功率。功率。4.6.4 4.6.4 视在功率视在功率 仿照直流电路中的功率等于电流和电压相乘积的关系，将仿照直流电路中的功率等于电流和电压相乘积的关系，将正弦交流电路中电流有效值与电压有效值的相乘之积也看成功正弦交流电路中电流有效值与电压有效值的相乘之积也看成功率，叫视在功率，也称为表观功率。以率，叫视在功率，也称为表观功率。以S S表示，单位为伏安表示，单位为伏安（VA）。）。SUI()()()22222222cossinPQUIUIUISSPQ 有功功率有功功率P，无功功率，无功功率Q和视在功率和视在功率S有如下关系有如下关系: : tantanQQPP或 P，Q，S三者之

18、间满足直角三角形的关三者之间满足直角三角形的关系式，此三角形称为电路的功率三角形。如系式，此三角形称为电路的功率三角形。如图所示。图所示。 SPjQcossinSPjQUIjUIUIuiuiUIUIU I 1.1. 定义定义 以有功功率作实部，无功功率作虚部构成一个复数，以有功功率作实部，无功功率作虚部构成一个复数，同样具有功率的概念，称为复功率。同样具有功率的概念，称为复功率。若若 以表示复功率，则有以表示复功率，则有SSU I即即 2. 2. 其他表示形式其他表示形式2SU IZI IZI()2SU IU UYY U4.6.5 4.6.5 复功率复功率（3 3）复功率满足守恒定理：在正弦稳

19、态下，任一电路的所）复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所 有支路吸收的复功率之和为零。即有支路吸收的复功率之和为零。即 00 11bkkbkkQP3.3.结论结论 0)j(11bkkbkkkSQP. , 不不等等于于视视在在功功率率守守恒恒复复功功率率守守恒恒注注：2121SSSUUU （1 1） 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；S（2 2） 把把P、Q、S联系在一起它的实部是平均功率，虚部联系在一起它的实部是平均功率，虚部 是是 无功功率，模是视在功率；无功功率，模是视在功率；S电路如图，求各支路的复功率。电路如图，求各支路的复功率。

20、V )1 .37(236 010 oo ZU例例: +_U100o A10 j25 5 - -j15 1I2I解解:)15j5/()2510( jZVA 1424j1882010)1 .37(236 oo发SVA 1920j768)25101(236 *2*121jYUS吸VA 3345j1113 *222YUS吸发吸吸21 SSS （1）电源设备的容量不能充分利用）电源设备的容量不能充分利用,电流到了额定值，但功率电流到了额定值，但功率容量还有容量还有.（2）当输出相同的有功功率时，线路上电流大）当输出相同的有功功率时，线路上电流大,I=P/(Ucos ),线路压降损耗大。线路压降损耗大。4

21、.6.6 功率及功率因数的提高功率及功率因数的提高2.解决办法：解决办法：（1）高压传输）高压传输（2）改进自身设备）改进自身设备（3）并联电容，提高功率因数）并联电容，提高功率因数。1.提高功率因数的原因提高功率因数的原因在正弦交流电路中，负载消耗的有功功率在正弦交流电路中，负载消耗的有功功率P=UIcos，有功功，有功功率与功率因数率与功率因数cos有关，而较低的功率因数将引起下面两个方面有关，而较低的功率因数将引起下面两个方面的问题。的问题。并联电容分析并联电容分析CIULI 1I 2CCILRUILI+_并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收

22、的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。但电路的功率因数提高了。特点：特点：并联电容的确定：并联电容的确定：21sinsin IIILC 补偿容补偿容量不同量不同全全不要求不要求(电容设备投资增加电容设备投资增加,经济效果不明显经济效果不明显)欠欠过过使功率因数又由高变低使功率因数又由高变低(性质不同性质不同)CIULI 1I 2代入得代入得将将 cos , cos 12 UPIUPIL )tgtg( 212 w w UPCUIC)tgtg(212 w w UPC并联电容也可以用功率三角形确定：并联电容也可以用功

23、率三角形确定： 1 2PQCQLQ)tgtg( )tgtg( 212221UPCCUQPQQQCCL w ww w从功率这个角度来看从功率这个角度来看 :并联电容后，电源向负载输送的有功并联电容后，电源向负载输送的有功UIL cos 1=UI cos 2不变，但是电源向负载输送的无功不变，但是电源向负载输送的无功UIsin 2R ，则有，则有UL0=UC0UR=U，即，即电感和电容两端电压的有效值大于外加电压的有效值（串联电电感和电容两端电压的有效值大于外加电压的有效值（串联电路中分电压大于总电压），因此把串联谐振又称电压谐振。路中分电压大于总电压），因此把串联谐振又称电压谐振。 6 6） Q

24、L0IUL0（无功功率负载），（无功功率负载），QC0IUC0（无功功率（无功功率源），说明电感与电容之间此时是存在着能量互换的，源），说明电感与电容之间此时是存在着能量互换的， 电感与电容且达到完全的能量补偿，因此，也进一步说明了电电感与电容且达到完全的能量补偿，因此，也进一步说明了电源与电路之间不存在能量的交换，源与电路之间不存在能量的交换，Q0。COLQQ0三三. 品质因数品质因数Q 当发生串联谐振时，在电感和电容两端的分电压的有效值当发生串联谐振时，在电感和电容两端的分电压的有效值可能大大于外加的总电压的有效值，为了更确切的描述这种过可能大大于外加的总电压的有效值，为了更确切的描述这种

25、过电压现象，便引入了品质因数电压现象，便引入了品质因数Q，其定义式，其定义式 00000001LCiiUULILQUURIRRCwww 上式说明品质因数上式说明品质因数Q与电路中元件的参数与电路中元件的参数R、L和和C有关，有关，当电阻当电阻R减小时，减小时，Q值增大，但值增大，但R的最小数值受到线圈的最小数值受到线圈L本身所本身所具有的电阻的限制。具有的电阻的限制。利用谐振：利用谐振：采用采用Q Q值高的电感，使电路在谐振点附近工作，获值高的电感，使电路在谐振点附近工作，获得良好的收音机（电视机）选台性；得良好的收音机（电视机）选台性；避免谐振：避免谐振：电力系统中，发生谐振时出现局部过电压

26、可能对电电力系统中，发生谐振时出现局部过电压可能对电气设备造成很大危害，要降低气设备造成很大危害，要降低Q Q值。值。四四 . 谐振时元件上的电压谐振时元件上的电压RIUUR QUCRRICICIUCjjjj000 w ww ww wQURLRILIULjjj00 w ww wLU CU RU I谐振时的相量图谐振时的相量图串联谐振又称串联谐振又称电压谐振电压谐振 IRjw w L+_Cj1 U+- -LU+- -CUtICLtCItUuCC cos)90 sin()90 sin(momomw ww ww ww w tLILiwL sin212122m2w w tUu sinmw w 设设tI

27、tRUi sin sinmmw ww w 则则磁场能量磁场能量221CCCuw 电场能量电场能量tLI cos2122mw w 五、串联谐振时的电磁场能量五、串联谐振时的电磁场能量+_PQLCRiu 电路在已知正弦交流电压相量电路在已知正弦交流电压相量 的激励下，求得电路的电流的激励下，求得电路的电流响应是频率的函数响应是频率的函数。U( )221iUIRLCwww)1(tan)(1RCLwww如图分别画出电流的幅频特性曲线和相频特性曲线。如图分别画出电流的幅频特性曲线和相频特性曲线。六、频率特性曲线六、频率特性曲线0,0,0Xww电路发生串联谐振，呈电阻性电路发生串联谐振，呈电阻性0,0,0

28、Xww电路呈容性电路呈容性0,0,0Xww电路呈感性电路呈感性七七. 电路的频率响应与电路的频率响应与Q值的关系值的关系1111UUUILZRRjLjCRR Cwwww0000000111IILjjQRLCwwwwww www000( )1( )1IIjQwwwwww可得可得 为谐振电流相量。为谐振电流相量。0UIR 电路发生串联谐振时，电流达到电路发生串联谐振时，电流达到 最大值，下面推导最大值，下面推导电流的频率响应电流的频率响应 与与Q值之间的关系式。值之间的关系式。 )(wI)(0wI2020011IIQwwww下面分析上式中电流响应的幅值响应下面分析上式中电流响应的幅值响应 上式描述

29、了电流响应的幅频响应，其特性曲线如图所示，上式描述了电流响应的幅频响应，其特性曲线如图所示，以为以为/0横坐标，横坐标，I/I0为纵坐标，为纵坐标，Q值是决定该曲线的参变量，值是决定该曲线的参变量，图中给出的是三种不同图中给出的是三种不同Q值（值（Q1Q2Q3）作为参变量的谐振曲）作为参变量的谐振曲线，该谐振曲线也称为通用谐振曲线。线，该谐振曲线也称为通用谐振曲线。 Q值愈高，特性曲线顶部愈尖锐，在谐振点两侧的曲线愈陡，值愈高，特性曲线顶部愈尖锐，在谐振点两侧的曲线愈陡，它对非谐振频率的输入信号具有很强的抑制性，它对非谐振频率的输入信号具有很强的抑制性，Q1相对相对Q2来看，来看， Q1曲线具

30、有良好的选择（台）性。曲线具有良好的选择（台）性。八八. 带通滤波器带通滤波器 如图所示的如图所示的Q1曲线，在谐振曲线，在谐振0两侧，对应电流输出幅值两侧，对应电流输出幅值I下降为峰值下降为峰值I0的的70.7%的两个频率的两个频率1、2 ，称为临界频率（截，称为临界频率（截止频率），止频率）， 1称为下限频率，称为下限频率， 2称为上限频率。频带是称为上限频率。频带是1与与2之间的频率范围，频带的宽度用之间的频率范围，频带的宽度用B表示，即表示，即21Bww021BQwww 下面证明频带宽度下面证明频带宽度B与与Q的关系为的关系为 证明过程（略）证明过程（略）P P150150如果近似认为

31、在谐振频率两侧的特性曲如果近似认为在谐振频率两侧的特性曲线是对称的，则有线是对称的，则有)211 ()2()211 (2001002QBQBwwwwww例：例： 某某RLC串联电路，在外施电压作用下处于谐振状态，已知串联电路，在外施电压作用下处于谐振状态，已知L25mH，C0.1F ，试求电阻为，试求电阻为100100，1010两种情况两种情况下的下的Q（品质因数），（品质因数），B B及截止频率及截止频率1、 2 。 解：解：电路的谐振频率为电路的谐振频率为 4012 10/rad sLCw043010052 104 105LRQRBHzQww时，4212 101220002HzQw上限为上

32、限为 4112 101180002HzQw下限为下限为 01050LRQRw时，24 10BHz4212 101202002HzQw4112 101198002HzQw例：例：如图电路如图电路U100V，I1A，P100W，P150W，Q150Var，求，求U1和和U2的值的值。( )( )221112222270.770.7UIRXVUIRXV求得求得 1121250 ,50QXXXI 解：解：因为因为 2150,1PPPW IA112250PRRI所以所以 VUUUVUURRRR100,502121发生串联谐振与可知21ZZ1. 1. RLC并联电路并联电路 如图所示如图所示GLC并联电路

33、，在正弦交流电流的输入下，其电路并联电路，在正弦交流电流的输入下，其电路图、分析方法和响应等都是与图、分析方法和响应等都是与RLC串联谐振电路具有对偶性。串联谐振电路具有对偶性。 并联谐振条件是并联谐振条件是BLBC，即当，即当0C1/0L时，可求得并联谐振的时，可求得并联谐振的角频率为角频率为0和频率为和频率为f0。4.7.2并联谐振电路并联谐振电路01LCw角频率角频率012fLC频率频率并联谐振的现象如下：并联谐振的现象如下：3 3）此时此时0，电压和电流同相位。，电压和电流同相位。 1 1）复导纳）复导纳Y为最小值为最小值Ymin，用，用Y Y0 0表示。表示。GYY0minGIUU0max2 2）给定输入电流）给定输入电流 ，则电压达到最大值则电压达到最大值Umax，用，用U0表示表示。0 II4 4）由于）由于BLBC，表明谐振