第4章弯曲内力

1、1241 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题42 剪力和弯矩剪力和弯矩43 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系第四章第四章 弯曲内力弯曲内力 3一一 工程实例工程实例 41 工程实际的弯曲问题工程实际的弯曲问题4桥式起重机大梁桥式起重机大梁火车轮轴火车轮轴51 受力：受力：三三 梁：以梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。弯曲变形为主的构件通常称为梁。二二 受力、变形特点受力、变形特点杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用2 变形：变形： 轴线由轴线由直线直线曲线曲线弯曲弯曲63 对称弯曲对称

2、弯曲：纵向对称面纵向对称面四四 对称弯曲对称弯曲1 梁纵向对称轴梁纵向对称轴对称轴对称轴轴线轴线2 纵向对称面纵向对称面轴线弯曲成纵向对称面内的一条曲线轴线弯曲成纵向对称面内的一条曲线所有外力（外力偶）均位于纵向对称面内所有外力（外力偶）均位于纵向对称面内MP1P2q几何几何 材料对称材料对称74 平面弯曲：平面弯曲： 梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合 对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲.5 非对称弯曲：非对称弯曲： 若梁不具有纵对称面，或梁虽具有纵对称若梁不具有纵对称面，或梁

3、虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内的弯曲。面但外力并不作用在对称面内的弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。8五五 梁的计算简图梁的计算简图1 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁通常取梁的轴线来代替梁2 载荷简化载荷简化 集中力、集中力偶和分布载荷集中力、集中力偶和分布载荷9均匀分布荷载均匀分布荷载线性线性(非均匀非均匀)分布荷载分布荷载分布荷载分布荷载Me集中力偶集中力偶集中力集中力10固定铰支座固定铰支座如：桥梁下的固定支座，止如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。推滚珠轴承等。可动铰支座可动

4、铰支座如：桥梁下的辊轴支座，滚如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。珠轴承等。固定端固定端如：游泳池的跳水板支座，如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。木桩下端的支座等。FAxFAyMA3 支座简化支座简化FAxFAyFA114 静定梁的三种基本形式静定梁的三种基本形式简支梁简支梁悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁125 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求

5、出全 部支反力。部支反力。固定梁固定梁连续梁连续梁半固定梁半固定梁1342 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩一一 弯曲内力弯曲内力已知：如图，已知：如图，P，a，l。 求：求：距距A端端x处截面上内力。处截面上内力。PaPlFAyFAxFBAABB解：求支座反力解：求支座反力lalPFFlPaFMFFAyyBAAxx)( , 0 , 00 , 014ABPFAyFBmmx求内力求内力截面法截面法xFMMlalPFFFAyCAyy , 0)( , 0sAFAyFsMFBPMFs弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩CC1 剪力：剪力：作用于横截面上的内力作用于横截面上的内力 Fs2 弯矩：弯矩：作

6、用于横截面上的内力偶矩作用于横截面上的内力偶矩 M153 内力的正负规定内力的正负规定剪力剪力Fs: : 使梁截面左侧向上右侧向下错动为正；反之为负。使梁截面左侧向上右侧向下错动为正；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成下凸形的为正；反之为负。：使梁变成下凸形的为正；反之为负。Fs(+)Fs()Fs()Fs(+)M(+)M(+)M()M()梁的弯曲变形一致梁的弯曲变形一致左上右下剪力正；左顺右逆弯矩正。左上右下剪力正；左顺右逆弯矩正。16剪力剪力等于截面一侧所有外力的代数和等于截面一侧所有外力的代数和4 计算计算简便算法：简便算法：截面法截面法弯矩弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心之矩等于截面一侧所

7、有外力对截面形心之矩的代数和。的代数和。17 例例1 求图求图（a）所）所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。xyqLFs1解：解：1 1-1 1截面处截取的分离体截面处截取的分离体 如图（如图（b b）示。示。图（a）11qLxM二二 例题例题qqLab1122qLFs1AM1图（b）x118a)xqqL Fs22(2-2截面处截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c）2222)(21qLxaxqMqqLxy图（a）qLab1122Fs2BM2x2图（c）19 例例2 求图求图所所示梁示梁1-1、2-2 、3-3截面处的内力。截面处的内力。3kN1sF解：解：3kNm1M2

8、m1122333kN5kN2m2m10kNm-2kN2sF4kNm2M-2kN3sF10kNm3M外力变化的截面要分段计算内力外力变化的截面要分段计算内力简支梁需先求支座反力，悬臂梁可从自由端计算简支梁需先求支座反力，悬臂梁可从自由端计算求图示外伸梁中的11、22、33、44和55各截面上的内力m3m3m2kN61212AmkNq2343455CBmkN 6kNFA13kNFB54.32143 剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程 剪力、弯矩图剪力、弯矩图1 内力方程：内力方程：内力与截面位置坐标（内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。）间的函数关系式。2 剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：)(xFs

9、Fs 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程)(xFsFs 剪力图剪力图的图线表示的图线表示)(xMM 弯矩图弯矩图的图线表示的图线表示22 例例4 作梁的内力图（作梁的内力图（a+b=l）FslPblPaablPMlxaaxlPalPbxFs0)(（1）写内力方程）写内力方程（2）依据方程作图）依据方程作图 lxaaxaxPxlPbxlPbxM0)()(xbPABalPbRAlPaRBlPaFsmaxlPabMmax23 例例4 作梁的内力图（作梁的内力图（a+b=l）FslPblPa（3）总结）总结xbPABalPbRAlPaRB集中力作用处集中力作用处Fs 突变，突变量为集中力值突

10、变，突变量为集中力值M 折点折点无均布载荷作用无均布载荷作用Fs 平直线平直线M 一次直线一次直线ablPM24 例例5 作梁的内力图作梁的内力图 lxqxqlxFs0 2（1）写内力方程）写内力方程（2）依据方程作图）依据方程作图 2maxqlFs82maxqlMlABq2qlRA2qlRBx lxqxxqlxM0 222Fs2ql2ql82qlM25 例例5 作梁的内力图作梁的内力图lABq2qlRA2qlRBxFs2ql2ql（3）总结）总结均布载荷作用均布载荷作用Fs 一次直线一次直线M 二次抛物线二次抛物线82qlM26 例例6 作梁的内力图（作梁的内力图（a+b=l）xbmABal

11、mRAlmRBFsm/llmalmbMlmFsmaxlmaMmax（1）写内力方程）写内力方程（2）依据方程作图）依据方程作图 lxamxlmaxxlmM 0 lxlmxFs0 27 例例6 作梁的内力图（作梁的内力图（a+b=l）xbmABalmRAlmRBFsm/l（3）总结）总结集中力偶作用处集中力偶作用处Fs 无变化无变化M 突变，突变量为集中突变，突变量为集中力偶矩值力偶矩值lmalmbM28图示悬臂梁图示悬臂梁AB,AB,自由端受力自由端受力F F的作用，试作剪力的作用，试作剪力图和弯矩图。图和弯矩图。lABFXFFLkNkNm FxFSLx 0 FxxMLx 029对对dx 段进

12、行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：0yFdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFsdd剪力图上某点处的切线斜率剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。等于该点处荷载集度的大小。 0 xdFxFdxxqxFsss44 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用一一 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系30q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+d Fs(x)Fs(x)M(x)dxAy 0)(iAFm)(d)(dxFxxMs弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的

13、大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM弯矩与荷载集度的关系：弯矩与荷载集度的关系： 022xdMxMdxxqdxxFxMS31 dxxqdFxxFFSSS2121 2112xxSSdxxqFF 2112xxSdxxFMM若若x1,x2两截面间无集中力作用，则两截面间无集中力作用，则x2截面上的截面上的Fs2等于等于x1截面截面上的上的Fs1加上两截面之间分布荷载图的面积。加上两截面之间分布荷载图的面积。若若x1,x2两截面间无集中力偶作用，则两截面间无集中力偶作用，则x2截面上的截面上的M2等于等于x1截截面上的面上的M1加上两截面之间剪力图的面积。加上

14、两截面之间剪力图的面积。弯矩、剪力、荷载集度的关系：弯矩、剪力、荷载集度的关系： dxxFdMxxSMM212132简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。图的方法。 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解解: : 利用内力和外力的关系及利用内力和外力的关系及 特殊点的内力值来作图。特殊点的内力值来作图。特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和端点、分区点（外力变化点）和驻点等。驻点等。aaqaqA33)(d)(d22xqxxM 剪力、弯矩与分布荷载间的关系：剪力、弯

15、矩与分布荷载间的关系：q(x) xqxxFdds)(d)(dxFxxMs二二 简易作图法简易作图法 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法34五五 剪力、弯矩图简易作法总结剪力、弯矩图简易作法总结1 梁段上无均布载荷（梁段上无均布载荷（q =0） Fs图图 平直线平直线M图图 斜直线斜直线Fs 0 Fs 0 2 梁段上均布载荷（梁段上均布载荷（q =cons） Fs图图 斜直线斜直线M图图 二次抛物线二次抛物线q0 Fs 0 Fs =0 35五五 剪力、弯矩图简易作法总结剪力、弯矩图简易作法总结3 梁段上集中力作用处梁段上集中力作用处F

16、s图突变，突变量等于该集中力的大小图突变，突变量等于该集中力的大小M图图 斜率突变，折角斜率突变，折角4 梁段上集中力偶作用处梁段上集中力偶作用处Fs图图 无变化无变化M图图 突变，突变量等于该集中力偶突变，突变量等于该集中力偶的大小的大小右右左左PFs图向下突变图向下突变mM图向下突变图向下突变36五五 剪力、弯矩图简易作法总结剪力、弯矩图简易作法总结5 梁端的支座处若无集中力偶梁端的支座处若无集中力偶Fs 等于支反力等于支反力M 等于零等于零6 特殊截面内力值的确定特殊截面内力值的确定两截面两截面Fs之差，等于两截面间之差，等于两截面间均布载荷图均布载荷图的面积的面积两截面两截面M之差，等

17、于两截面间之差，等于两截面间剪力图剪力图的面积的面积右右左左梁段上梁段上亦可用简便方法计算各特殊截面的内力值。亦可用简便方法计算各特殊截面的内力值。37剪力剪力Fs弯矩弯矩M例例1 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。qaqa21.5qa2先分段，再注意集中力偶先分段，再注意集中力偶作用截面。作用截面。38例例2 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。 弯矩弯矩Mqa232qa22qa剪力剪力Fs39例例3 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。弯矩弯矩M23qa2qa2qa232qa22qa22qa剪力剪力Fs40例例4 绘

18、制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。弯矩弯矩Mqa22qa22qa22qa剪力剪力Fs41例例5 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。 弯矩弯矩Mqaqaqa22qa2qa剪力剪力Fs42例例6 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。剪力剪力Fs弯矩弯矩M63.58.5114.5kNF 23.5kNF 3kN/mq kNm3m6472412543例例7 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。剪力剪力Fs弯矩弯矩Mqa2qa22qa22qa44qa43qa47qa243qa245qa221qa例例8 绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。绘制下列图示梁的剪力、弯矩图。剪力剪力Fs弯矩弯矩M4