第9节最小二乘估计

1、§9 最小二乘估计(田文亭 陕西师范大学 710062)【教材版本】 北师大版【教材分析】 本节课的教学内容是数学3第1章§9 相关性，是本章的最后一节，教学课时为1课时. 统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科在现代信息社会，人们往往面对大量的数据、信息，为了做出合理决策，以抓住信息社会给我们带来的诸多机会，我们常常需要对这些大量的纷繁复杂的数据、信息进行收集和分析，它可以为人们制定决策提供依据，因此，统计学的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识最小二乘法作为统计的一项基本组成部分, 对学生来说是一个新的内容在本章前面的内容中学生学习了用随机抽样的方法科学地收集

2、数据、用样本估计总体的方法分析所得数据等统计内容， 并且体会了用不同估算方法刻画两个变量线性关系的过程，所以教材自然而然的引入介绍了最小二乘法的思想教科书首先通过给出具体问题让学生思考交流，由具体到抽象概括得出最小二乘法的思想用一条直线来拟合两个变量之间的关系，要求所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小其次，由于本节课乃至本章主要介绍的是初步的统计知识与方法，目的是让学生形成统计思想，体会统计在现实生活中的作用，所以教材直接给出了最小二乘法的公式，而没有给出其繁杂的推导过程，这样学生就会把主要精力放在体会最小二乘法的思想乃至统计思想上，并根据给出的公式求线性回归方程最后，教材通过具体的例子让学

3、生经历用最小二乘法解决问题的过程，以使其理解最小二乘法的思想，以及用样本数据拟合结果的随机性本节内容为学生学习选修1或2作了铺垫教学时，教师可以不向学生讲述最小二乘法公式的具体推导过程，不要求学生记忆线性回归方程的系数公式，但要求能够用图像直观地说明最小二乘法的思想教师尽可能的引导学生利用这种思想解决一些简单的问题，并鼓励他们在此过程中尽量运用计算器对线性回归方程系数公式的由来感兴趣的学生，教师可以引导他们尝试推导【学情分析】学生在义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情景，学习随机抽样、样本估计总体、变量的相关性等内容后，通过解决实际问题，系统地经历数据收集与处理的全过程，并对线性

4、相关直线用不同方法进行近似描述， 他们已经对统计知识及相关内容有了一定的基础，所以学生已经具备了学习本节的基础，但学生的数据处理能力和抽象概括能力还有待进一步提高本节课是前面内容的深化，对学生来说是新的内容， 因此，在教学中应积极鼓励学生多多思考交流，亲自体验，以理解最小二乘法思想，锻炼学生的抽象概括能力，并引导学生运用计算器对数据进行处理，减少重复劳动，增加趣味性学生在学习本节课时对回归直线与观测数据的关系的理解和最小二乘法的公式的由来及最小二乘法思想的理解可能存在困难【教学目标】1知识与技能（）了解最小二乘法思想（）能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程2过程与方法 运用多媒体辅

5、助工具作出图示，使得课程内容更加直观，容易理解运用计算器进行数据的处理，采用合作交流、分组讨论的方式对最小二乘法及其特点进行抽象概括，再利用它解决现实问题3情感、态度与价值观 通过本课的学习，应让学生体会到统计并不只是数据的简单收集与整理，还要通过在数据中发现数据的规律，并依据科学的方法进行推测，才能解决现实问题，在解决统计问题的过程中，增强学生的反思意识，提高与改进自己的数据处理能力，培养学生说理有据的优良品质，通过与现实问题相结合，培养了他们的理性精神和和创新能力发展学生统计观念，培养统计意识，理解统计对决策的作用，进而通过对数据处理的整个过程，使学生体会到数学（统计）与社会的密切联系，了

6、解数学（数学）的价值，增进了对数学的理解和学好数学的信心【重点难点】本节课的教学重点:（）知道最小二乘法的思想.（）使学生学会利用线性回归方程系数公式,建立线性回归方程.本节课的教学难点:（）使学生建立回归思想,对回归直线与观测数据的关系的理解（）回归系数公式的推导【教学环境】1坐标纸2多媒体教室3计算器【教学过程】一、课堂导入老师：上节课我们学习了变量的相关性，对不确定函数关系的变量用散点图观察了它们的相关关系，并且重点探究了变量的线性相关关系，通过上节课的探究，我们确定了有几种不同方法来刻画线性关系，是哪几种？学生：回忆上节课内容，回答老师:那么哪一种方法更好的说明了变量的关系呢，今天我们

7、就学习一种新的确定线性方程的方法-最小二乘法设计意图：回顾旧课，导入新课二、新知探究（一）温故知新老师：在我们上一节课的新知探究中，我们引入了一个关于10名男网球选手的身高（x）与体重（y）关系的例子，大家回忆一下 （教师呈现上节课所讲内容，温故知新）上一节课的例子：下面是世界上10名男网球选手的身高（x）与体重（y）情况身高(x)/cm190196175185186180198188194193体重（y)/kg82886379807596759286你能分析选手的身高与体重有怎样的关系吗？ 散点图如右 老师：从散点图中，我们可以看出，身高与体重近似成什么关系？学生：（回忆后）它们近似成线性关

8、系 老师：你是怎么画出一条直线来近似地表示这种线性关系的？（教师可让学生拿出上节课所画的坐标纸，或提问两个学生所画直线的依据）学生：(回答)经过直线的点数最多老师：有一个直观的想法，我们不难理解，我们所画出的直线必须“最贴近”上述散点图上的数据点，那么，我们如何找到它呢? 怎样表达“最贴近”呢？学生：思考老师：(结合图示进行讲解)像右图这样， 假设一条直线的方程为： ,任意给定一个样本点,我们用来刻画这个样本点与这条直线的“距离”，用它来表示二者之间的接近程度（结合图示，重点让学生理解，从而为下面抽象概括学习最小二乘法作铺垫） （二）思考交流: （1） 如果有5个样本点，其坐标分别为, , ,

9、 ,怎样刻画这些样本点与直线的接近程度？(2) 如果有10个样本点，其坐标分别为: , ，怎样刻画这些样本点与直线的接近程度？ 抽象概括什么是最小二乘法、线性回归方程，并给出最小二乘法求线性回归方程的系数公式（公式的推导过程不讨论）设计意图：使学生体验由特殊到一般、由具体到抽象的思维过程,培养学生的概括归纳能力和用数学语言进行交流的能力 （三）应用举例例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的数据如下表：气温（xi)/261813104-1杯数202434385064（1）试用最小二乘法求出线性回归方程（2）如果某天的气温是-3，请

10、预测这天可能会卖出热茶多少杯本题可在教师引导下，由学生合作交流完成，通过亲自体验用最小二乘法解决问题的过程，加深对最小二乘法的理解 教师总结：利用最小二乘法估算时，要先作出数据的散点图设计意图：熟悉用最小二乘法解决问题的过程和方法，增进对最小二乘法的理解（四）动手实践 参见上一节北京市某中学学生关于身高与右手一拃长之间的数据，用最小二乘法估计二者之间的线性回归方程 （1） 任意选取其中的5个数据；（2） 任意选取15个数据；（3） 利用所有数据；（4） 比较这三个方程，说说你的看法在实践的过程中，可把学生分成A、B、C、D三组，A组选取样本中的5个数据，B组选取样本中的另外不同的5个数据，C组

11、选取样本中的15个数据，D组利用所有数据，分组后每组根据所选数据，分别根据最小二乘法估计线性回归方程最后，由每组的一名代表带黑板上板书，然后由老师引导，对结果作比较总结：利用数据进行拟合时，所用数据的多少直接影响拟合的结果从理论上来说，数据越多，拟合的效果越好通过A组和B组做比较，即使我们选取相同的样本数，得到直线的方程也可能是不相同的，这是由样本的随机性造成的设计意图：通过分组对照,相同之处与不同之处显而易见，使学生对本节所学知识有了更进一步的认识在此过程中，培养学生的合作意识和动手实践能力三、反思所学例子：下面是两个变量的一组数据：X12345678y1491625364964（1）请用最

12、小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程（2）从我们提供的数据中很容易看出;,而我们用最小二乘法进行估计时得出的是线性方程，显然这样的估计已经失去了意义，你觉得问题出在哪儿？应当怎样避免？总结：使学生了解到利用最小二乘法进行估计时，要先做出数据的散点图如果散点图呈现一定的规律性，我们再根据这个规律性进行拟合如果散点图呈现出线性关系，我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合设计意图：使学生在小结与反思中养成良好的学习习惯四、课堂小结本节课我们结合图示和具体例子主要学习了用最小二乘法求线性回归方程，本节课的主要目的是了解最小二乘法思想，

13、会用系数公式求线性回归方程本节是必修3统计这一章的最后一节，学完本章，我们基本上对统计的过程有了清晰的认识，即“收集数据-整理数据-分析数据-作出推断”在课下，对于统计这一章的复习，我们要注重动手实践，而不要机械记忆理论，对于复杂的运算要用计算器或计算机，把注意力放在统计过程上，以培养统计意识，了解统计对于现实的作用统计的知识在选修课中还要学习，请同学们为以后的学习认真复习体会五、巩固练习参见上节课中北京市某中学学生关于身高与右手一拃长之间的数据（1）作出女生数据的散点图，看是否成线性关系如果是，用最小二乘法估计二者之间的线性回归方程（2）作出男生数据的散点图，看是否成线性关系如果是，用最小二乘法估计二者之间的线性回归方程(3) 比较这两个方程，说说你的看法六、作业 第70页习题19【专家点评】本教学设计的突出特点是：（1）通过旧知，引入新课；（2）通过对典型例题的分析，直截了当，切入关键点和核心内容（最小二