抛物线及其标准方程

1、【基础知识导引】1 .抛物线的轨迹定义是什么?2 .如何建立抛物线的标准方程？它有几种不同形式？标准方程中参数P的几何意义是什么？3 .如何求抛物线上一点到它的焦点的距离？4 .如何判断直线与抛物线的位置关系？重重点难点解析】1 .抛物线的定义平面上到定点F和到点直线1距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线。这里，点F不在直线1上，否则其轨迹是过点 F且与1垂直的直线。与椭圆和双曲线不同的是，在抛物线中，只有一个焦点和一条准线。2 .抛物线的标准方程将抛物线的顶点放在原点，焦点放在坐标轴上，可以得到抛物线的标准方程，它共有四种不同形式，即 y2 =2 px

2、, y2 = -2px, x2 = 2 py, x2 = -2 py,其中 p>0,它的几何意义是焦点F到准线1的距离。3 .直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线的位置关系可采用方程讨论法，特别提醒的是，与抛物线的对称轴 平行的直线与抛物线也只有一个公共点，从而“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线 与抛物线相切”的必要非充分条件。4 .弦长公式设直线1的斜率为k,它与抛物线y2 = 2px(p > 0)交于两点A(xn yj, B(x2, y?), 则弦长| AB|=由+ k2 | x x21= J + | y y2 |,特别地，如果1过抛物线的焦点F, k2由抛物线的定义可知

3、，焦点弦长| AB|=| AF | + | BF |= x1 +E + x2 +卫=x1 + x2 + p。'、2)'、2)【难题巧解点拨】例1已知抛物线的方程为 y = ax2 (a # 0),求它的焦点坐标和准线方程。分析 本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法，先将其化为标准方程，求出参数p的值，再根据开口方向确定焦点坐标和准线方程。解抛物线方程即x2=1ya 一， 1一 11当a>0时，p = 且开口向上，焦点坐标是 (0,)，傕线万程是y = ；2a4a4a一，1p 1一一 1、当a<0时，p =-且开口向下，; 上=一，焦点坐标仍然是 F(0, 一)，

4、准线方 2a2 4a4a 11程还是y =。4a点评 由抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程，应首先将其化成标准形式，再将一次项系数除以 4,并根据开口方向写出焦点坐标和准线方程。2 动圆P与定圆C： (x -1)2 +y2 =1外切且与y轴相切，求圆心 P的轨迹。分析本题考查曲线与方程、抛物线等知识，根据直线与圆，圆与圆相切的条件找到动点P满足的条件，即可求出点 P的轨迹方程，再由方程说明其轨迹是何种曲线。解设(x, y),动圆P的半径为r,圆心C (1, 0),半径为1两圆外切，|PC|=r+1又圆P与y轴相切，r=|x| (xw0)即.以二1)2丫2一 =|x| 1平方并整理得y2 -

5、2(|x| x)当x>0时，得y2 =4x ；当x<0时，得y=0点P的轨迹方程是y2 =4x (x>0)或0 (x<0),表示一条抛物线和 x轴的负半轴(除 去原点)。点评 点P未必在y轴右侧，所以半径r=|x|而不是r=x,否则将漏掉x的负半轴，当x=0时，圆P缩为一点，故应除去原点(0, 0)。例3直线1过点(0, 1)且与抛物线y2 =2x只有一个公共点，求直线 1的方程。分析 本题考查直线与抛物线的位置关系，采用方程讨论法。解设直线1的斜率为ko图22当k不存在时，1 : x=0即y轴显然满足题意。当k存在时，设l： y=kx+1代入y2 = 2x得k2x+2

6、(k-1)x+1 = 01若k=0,则万程有惟一解 x =一,从而1与抛物线只有一个公共点，1的方程是y=122.211若 kwo,由万程有惟一解得 A=4(k1) 4k =0,解得 k l : y = x + 1。22 ,1,故所求直线1的方程是：x=0或y=1或y = - x +1。2点评 从图形直观看，因为点(0, 1)在抛物线外，过该点作抛物线的切线必有两条， 又过该点且与x轴平行的直线与抛物线也只有一个公共点，故符号条件的直线必有3条，在用代数方法研究时，k不存在的情况及与对称轴平行的情况容易漏求，解题时定要细心。例4顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线 y=x-1所截得的弦长为

7、8,求此抛 物线的方程。分析 本题考查抛物线的标准方程，弦长公式等，根据条件设出其方程，再由弦长确 定参数p的值。解 设所求抛物线方程是 y2 = 2px( p。0),将y=x-1代入并整理得x2-2(p+1)x+1 = 0则由 x1 +x2 =2(p +1), x1x2 =1 ,得 |x1 - x2 |="* +x2)2 -4x1x2 =，p2 +2p弦长 | AB 卜 v1 + k2 | x1 x2 |= 2<2 ,Jp2 +2p ,令 2& y'p? + 2p = 8 ,即 p2 +2p 8 = 0得 p=2 或 p=-4，抛物线的方程为 y2 = 4x或

8、y2 =8x。点评 涉及弦长问题注意韦达定理的应用，在本例中，虽然抛物线的开口方向有向左或向右两种情况，但其标准方程可统一为y2=2px(p*0),而不必分情况讨论。【拓展延伸探究】例1已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且过点A（-3,2j6）,求抛物线的方程。分析 本题考查待定系数法求抛物线方程，根据点 A的位置，设出其标准方程，再将 点A的坐标代入即可求得解 因为点A在第二象限，所以抛物线的开口方向向左或向上。若开口向左，可设方程为 y2 = 2px,令x= -3, y = 2J6得2P=8若开口向上，可设方程为 x2 =2px,令x=3, y=2，6得2P =久64抛物线方程是 y

9、2 =-8x x2 =36 y4点评 （1）在抛物线的标准方程中，只含有一个参数p,只要给定一个已知条件，即可将方程求出；（2）过某象限内一定点的抛物线必有两条；（3）思考下列变题；变题1已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且其上一点A （ 3, m） （m>0）到焦点F的距离是5,求抛物线的方程。分析 可根据点A在抛物线上及|AF|=5两个条件联系解得 m和p的值。22m =6p 力=4解 若设抛物线方程为 y2 =-2px,则由°l上+3 = 5 m = 2,6.29 = 2mp I-p = 1 p = 9若设抛物线方程为x2=2py,则由 p =<9或1m =5

10、 m = m = 222所求抛物线方程是 y2 =Kx或x2 =2y或x2 =18y点评 （1）条件|AF|=5应根据定义将其转化为点A到准线的距离。（2）若不限定m>0,则当m<0时，还有两条抛物线适合条件，它们是x2=-2y及x2 = -18y例2已知抛物线y2=6x。（1）求以点M （4, 1）为中点的弦所在直线的方程；（2）求过焦点F的弦的中点轨迹方程；（3）求抛物线被直线 y=x-m截得的弦的中点的轨迹。分析 本题考查直线与抛物线的位置关系、中点弦问题，可设出直线的方程与抛物线 方程联立消元求解，也可利用“设而不求”法。解法一 （1）设直线1： y 1=k （x4）（显然

11、k存在且不为零）v -1.2. 2即x=>+4代入 y =6x整理得 ky 6y+6(1 4k) = 0,k6又设弦ab的漏点为A(x1, x2), B(x2, y2)则y1 + y2 =一，; m为ab中点, kv1V2-3 =1 即 _ =1 ,k=3,直线万程为 y1=3 (x4)即 3x-y- 11=0。2k(2)焦点 F ,0 ；,设 l : y =l 'x_3 (k *0)即* =且 + 9代入 y2 =6x得， y < 2,1k 2y.2 -八一，、，y1 + y23 3'ky -6y 9k = 0,设 AB 中点为 P(x°, y°

12、;),则 y0 =又 y0 = k x0 - i2 k 70<0 2；一 32 f 3、o .3由，k=代入得y0 =3 x0 ,即所求轨迹方程是 y2=3(x) y0<2)2y = x - m 9(3)由2= y 6y6m = 0,设弦 AB 的中点为 Q(x0, y0),y =6x_ y1y2 _Q则=3 由 &x° = y0 m = m 3- 3x0 =m+3>-,即中点 Q23= 62+4 6m > 0得 m > , 2一、工33、的轨迹方程是y = 3 x> -, I 2 J9表示除去端点,3, 3 i的一条射线。2y12 =6x

13、1解法二 设直线1交抛物线于A(xx2), B(x2, y2)两点，AB中点为M(x°, y°),=(y1 + y2)(y1 - y2)= 6(x1 一 x2),一 k1Vi -丫2 _6x -x2 V1V23V。(1)由已知 y0 =1 ,k1 =3直线方程为 y 1=3 (x 4)即 3xy 11=0(2)k| =kMF ,- = V0 即 y： =3 x° 3 IV0Y 3<2)x0 一2 一、T2/3、中点M的轨迹方程是V2 =3 x3 i<2)3.(3)由已知冗=1 ,y0 =3V0y = 32y = 6x3'-,3上.直线1与抛物线

14、相交,2得J x 2即直线y=3与抛物线的交点是 y =3，中点M在抛物线内，可知3 33、x0 > -,即中点M的轨迹为射线y = 3 x > - I22 )点评 （1）在本题中，联立消元时都是消去x得到关于y的二次方程，在运算上要比消去y来得简单些；（2）直线与抛物线相交，必须考虑“ >0”这一前提条件，在解第（2） 小题时，由于F在抛物线内，过抛物线内一点的任何直线（除与对称轴平行外）与抛物线 都有两个不同交点，即“ >0” 一定成立，但在解（3）小题时，若不考虑“ >0”这一条 件，将得出轨迹是一条直线y=3这一错误结果。例3过点P （0, 4）作圆x2

15、+ y2 = 4的切线1 ；若1与抛物线y2 = 2px（ p > 0）交 于两点A、B,且OAOB,求抛物线方程。分析 本题是直线，圆与抛物线的综合问题，由直线与圆相切的条件求出直线1的方程，将其与抛物线方程联立消元后，利用韦达定理及直线方程可求出x1x2, y1y2的值，而OA ±OB,等价于、乂2 +乂丫2 = 0,从而求出参数 p的值。解 设直线1 : y=kx+4 , 1与圆相切，r"4- 二2,1 k2解得k = ±V3 ,由图可知，应取 k = -V3 ,，l : y = - 3x 4代入 y2 =2px 得 3x2 0V3 + 2px+16

16、= 0,设 A(x1，x2), B(y1，y?)由 OAOB 得 x1x2 +yy2 =0,即 x1x2 +(V3x1 +4 Jd3x2 +4)=0 ,即 x1x2 一 J3(x1 + x2) + 4 = 0 ,又 x1 + x2 = 8-32p, x1x2 = 16 代入上式得，3316_打8+4 = 0,解得 2P二座333所求抛物线方程是 y2 =占 x3点评 （1）求圆的切线方程时，应根据圆心到切线的距离等于半径来求斜率，而不必利用方程讨论法；（2）条件“ OALOB”应等价地转化为“ X1x2 + y1y2 =0”来处理，从 而为韦达定理的利用提供了可能。例4如图24,直线li和I2

17、相交于点M, L 口2,点N W L ,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到I2距离与到点N的距离相等，若 AMN为锐角三角形，|AM |=v17 ,|AN|=3, |BN|=6,建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。A分析本题主要考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系及综合运用知识能力，根据题意可知，曲线段 C是抛物线的一段，通过建立适当的坐标系，设出其方程，然后由题中所给条件求出参数 p的值即可。解 由题意，曲线段C是以点N为焦点，以12为准线的抛物线的一段，以直线 11为x 轴，线段MN的中垂线为y轴建立直角坐标系，则抛物线的方程可设为y2 =2px（p>0）,其中 p二|MN|,

18、，M （-与 0），设 A（x1，x2）, B（y1，y2）,2由抛物线的定义,又 | AM |= <17 即2，以及y1 =2px1由、联立，消去 x1, y1得p2 6p+8 = 0,；p=4；p = 2,E1 = 1,凶=2,在4AMN 中，| AM | = M7为最大边，当 p=4 时，. | MN|2 +| AN|2= 44 +32 =25a17,.AMN是锐角三角形。而当 p=2 时，|MN |2 +| AN |2 = 22 +32 =13<17, AMN 为钝角三角形。2，p=4,为=1,抛物线万程是 y =8x。又| BN | = X2+。 = X2 +2 = 6

19、,X2 = 4 ,且曲线段C在x轴上方，方程为 y2 =8x（1 < x < 4, y > 0） o点评 （1）求曲线方程首先应建立恰当的坐标系，由于N是抛物线的焦点，12是其准线，故如此建立坐标系使所得方程为标准方程，从而使问题简单化；（2）在解题中，注意利用抛物线的焦半径公式，将点到焦点的距离转化为点到准线的距离来处理；（3）求得两组解后应根据 AMN为锐角三角形进行取舍；（4）因所求为抛物线的一段，故应在方程中注明其取值范围。【同步达纲练习】1 .抛物线y = 2x2的焦点坐标是（1、，°<2 )B.1 ，°<8 )C.11、0，8.JD

20、.1 1、a 4)2.动点P到直线x+4=0的距离与它到点 （M (2, 0)的距离之差为2,则点P的轨迹是A.直线B,椭圆C.双曲线D.抛物线3 .圆心在y2 =2x上，且与x轴及抛物线准线均相切的圆的方程是（）1"2' c、2 .112A. x - I +(y-2) =1B, x - I +(y±1) =1<2)【2)C. (x-1)2 +(y-2)2 =4D. (x-1)2 +(y±2)2 =44 .过点(2, _ 3)的抛物线的标准方程是 5 .抛物线y2 =2x上的两点A、B到焦点的距离之和是 5,则线段AB中点的横坐标6 .点A （2, 0）关于P的对称点为 B,当P在抛物线y = 2x2上移动时，B点的轨 迹方程是。27 .抛物线y =2px（p >0）有一内接直角三角形，直角顶点在原点，一直角边的方程 是y=2x ,斜边长为5M ,求此抛物线方程。8 . ABC的顶点在以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上，已知 A （2, 8）,且4 ABC的重心是抛物线的焦点，求直线 BC的方程。