面板数据截距固定和随机效应的判断

1、2.1 固定效应模型。在面板数据散点图中，如果对于不同的截面或不同的时间序列，模型的截距是不同的，则可以采用在模型中加虚拟变量的方法估计回归参数，称此种模型为固定效应模型（fixed effects regression model） 。固定效应模型分为3 种类型，即个体固定效应模型（entity fixed effects regression model） 、时刻固定效应模型（time fixed effects regression model）和时刻个体固定效应模型（ time and entity fixed effects regression model） 。下面分别介绍。（1）

2、个体固定效应模型。个体固定效应模型就是对于不同的个体有不同截距的模型。如果对于不同的时间序列（个体）截距是不同的，但是对于不同的横截面，模型的截距没有显著性变化，那么就应该建立个体固定效应模型，表示如下，yit= 1 xit +1 W1 + 2W2 + +NWN+it, t= 1, 2, , T (3) 其中Wi=其他个个体如果属于第。，,0,.,2, 1, 1Niiit, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示随机误差项。yit, xit, i = 1, 2, , N; t= 1, 2, , T分别表示被解释变量和解释变量。模型（ 3）或者表示为y1t = 1 +1

3、x1t +1t, i = 1 （对于第1 个个体，或时间序列） ，t = 1, 2, , Ty2t = 2 +1 x2t +2 t, i = 2 （对于第2 个个体，或时间序列） ，t = 1, 2, , TyN t = N +1 xN t + N t, i = N（对于第N个个体，或时间序列） ，t = 1, 2, , T写成矩阵形式，y1 = ( 1x1)1+1 = 1 +x1 +1yN = ( 1xN)N+N = N + xN+N上式中yi，i，i，xi都是N1 阶列向量。为标量。当模型中含有k个解释变量时，为k1 阶列向量。进一步写成矩阵形式，121NNyyy= NN100010001

4、121NN+Nxxx21+ 121NN上式中的元素1，0 都是T1 阶列向量。面板数据模型用OLS方法估计时应满足如下5 个假定条件：（1）E(it|xi1, xi2, , xiT,i) = 0 。以xi1, xi2, , xiT,i为条件的it的期望等于零。（2）(xi1, xi2, , xiT), ( yi1, yi2, , yiT), i = 1, 2, , N分别来自于同一个联合分布总体，并相互独立。（3）(xit, it)具有非零的有限值4 阶矩。（4）解释变量之间不存在完全共线性。（5）Cov(itis|xit,xis, i) = 0, t s。在固定效应模型中随机误差项it在时间

5、上是非自相关的。其中xit代表一个或多个解释变量。对模型 （1）进行 OLS估计，全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是NT1N。当模型含有k个解释变量， 且N很大， 相对较小时， 因为模型中含有k+ N个被估参数，一般软件执行OLS运算很困难。 在计量经济学软件中是采用一种特殊处理方式进行OLS 估计。估计原理是，先用每个变量减其组内均值，把数据中心化（entity-demeaned） ，然后用变换的数据先估计个体固定效应模型的回归系数（不包括截距项），然后利用组内均值等式计算截距项。这种方法计算起来速度快。具体分3 步如下。（ 1）首先把变量中心化（entity-demeaned

6、） 。仍以单解释变量模型（3）为例，则有iy= i+ 1ix+i, i= 1, 2, , N (4) 其中iy=TtityT11，ix=TtitxT11，i=TtitT11, i = 1, 2, , N。公式 (1) 、(4) 相减得， (yit-iy) = 1(xit-ix) + (it-i)(5) 令(yit -iy) =ity，(xit -ix) =itx，(it-i) =it，上式写为ity = 1itx+it (6) 用 OLS法估计（ 1） 、 （6）式中的1，结果是一样的，但是用（6）式估计，可以减少被估参数个数。（ 2）用 OLS法估计回归参数（不包括截距项，即固定效应）。在k

7、个解释变量条件下，把itx用向量形式X表示，则利用中心化数据，按OLS法估计公式计算个体固定效应模型中回归参数估计量的方差协方差矩阵估计式如下，Var(?) = 2?(XX)-1 (7) 其中2?=k? ? ，? 是相对于的残差向量。（3）计算回归模型截距项，即固定效应参数i。i?=iY-iX?相对于混合估计模型来说，是否有必要建立个体固定效应模型可以通过F 检验来完成。原假设 H0：不同个体的模型截距项相同（建立混合估计模型）。备择假设H1：不同个体的模型截距项不同（建立个体固定效应模型）。F 统计量定义为：F=)1/()1()2/()(NNTSSENNTNTSSESSEuur=)1/()1

8、/()(NNTSSENSSESSEuur(9) (8) （2）时刻固定效应模型。yit = 1 xit +1 + 2D2 + +T DT+it, i = 1, 2, , N (10) 其中Dt=)(,0,.,2, 1个截面其他个截面。，ttTt不属于第如果属于第it, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示随机误差项。yi t, xit, i = 1, 2, , N; t= 1, 2, , T分别表示被解释变量和解释变量。模型（10）也可表示为yi1 = 1 +1 xi1 + i1, t = 1 ， （对于第1 个截面），i = 1, 2, , Nyi 2 = (1 +

9、2) +1 xi 2 + i 2, t = 2 ， （对于第2 个截面），i = 1, 2, , NyiT = (1 +T) +1 xiT + iT, t = T， （对于第T个截面），i = 1, 2, , N如果满足上述模型假定条件，对模型（2）进行 OLS估计，全部参数估计量都具有无偏性和一致性。模型的自由度是N TT-1。F=)1/()1()2/()(TNTSSETNTNTSSESSEuur=) 1/() 1/()(TNTSSETSSESSEuur(11) 其中 SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻固定效应模型的）的残差平方和。非约束模型比约束模型多了

10、T-1 个被估参数。注意：当模型中含有k 个解释变量时，F 统计量的分母自由度是NT-T- k。（3）时刻个体固定效应模型。时刻个体固定效应模型就是对于不同的截面（时刻点）、不同的时间序列（个体）都有不同截距的模型。如果确知对于不同的截面、不同的时间序列（个体） 模型的截距都显著地不相同，那么应该建立时刻个体效应模型，表示如下，yit = 1 xit +1+2D2 +T DT+1W1+2W2 + +NWN+it, i=1,2, ,N，t = 1, 2, , T (12) 其中虚拟变量Dt=其他个截面如果属于第。，,0,.,2, 1Ttt（注意不是从1 开始）Wi=其他个个体如果属于第。，,0,

11、.,2, 1, 1Nii（注意是从1 开始）it, i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T，表示随机误差项。yi t, xit, (i = 1, 2, , N; t = 1, 2, , T) 分别表示被解释变量和解释变量。模型也可表示为y11 = 1 +1 +1 x11 + 11, t = 1 ，i = 1 （对于第1 个截面、第1 个个体）y21 = 1 +2 +1 x21 + 21, t = 1 ，i = 2 （对于第1 个截面、第2 个个体）yN1 = 1 +N +1 xN1 + N1, t = 1 ，i = N（对于第 1 个截面、第N个个体）y12 = (1 +2)

12、 +1 +1 x12 + 12, t = 2 ，i = 1 （对于第2 个截面、第1 个个体）y22 = (1 +2) +2 +1 x22 + 22, t = 2 ，i = 2 （对于第2 个截面、第2 个个体）yN2 = (1 +2) +N +1 xN 2 + N2, t = 2 ，i = N（对于第2 个截面、第N个个体）y1T = (1 +T) +1 +1 x12 + 1T, t = T，i = 1 （对于第T个截面、第1 个个体）y2T = (1 +T) +2 +1 x22 + 2T, t = T，i = 2 （对于第T个截面、第2 个个体）yNT = (1 +T) +N +1 xNT

13、 + NT, t = T，i = N（对于第T个截面、第N个个体）如果满足上述模型假定条件，对模型（12）进行 OLS估计， 全部参数估计量都是无偏的和一致的。模型的自由度是NTNT。注意：当模型中含有k个解释变量时，F统计量的分母自由度是NT N -T- k+1。相对于混合估计模型来说，是否有必要建立时刻个体固定效应模型可以通过F 检验来完成。F=)/()()2/()(TNNTSSETNNTNTSSESSEuur=)/()2/()(TNNTSSETNSSESSEuur(13) 其中 SSEr，SSEu分别表示约束模型（混合估计模型的）和非约束模型（时刻个体固定效应模型的）的残差平方和。非约束

14、模型比约束模型多了N+T 个被估参数。注意：当模型中含有k 个解释变量时，F 统计量的分母自由度是NT-N-T- k-1。（4）随机效应模型其中uiN(0, u2)表示截面随机误差分量；vtN(0, v2) 表示时间随机误差分量；witN(0, w2) 表示混和随机误差分量。同时还假定ui，vt，wit之间互不相关，各自分别不存在截面自相关、时间自相关和混和自相关。上述模型称为随机效应模型。随机效应模型和固定效应模型比较，相当于把固定效应模型中的截距项看成两个随机变量。一个是截面随机误差项（ui） ，一个是时间随机误差项（vt） 。如果这两个随机误差项都服从正态分布， 对模型估计时就能够节省自

15、由度，因为此条件下只需要估计两个随机误差项的均值和方差。截面随机误差项ui是属于第个个体的随机波动分量，并在整个时间范围(t = 1,2, , T) 保持不变。随机误差项ui, wit应满足如下条件：E(ui) =0, E(wit) = 0 E(wit 2) =w2, E(ui 2)=u2, E(wit uj) =0, 包括所有的i, t, j。E(wit wjs) =0, ij, tsE(ui uj) =0, ij因为根据上式有it = wit+ ui所以这种随机效应模型又称为误差分量模型（error component model） 。有结论，E(it) = E(wit+uj) =0, (

16、16) 式，yit = + 1 xit + (wit+ ui) ，也可以写成yit = (+ ui) + 1 xit + wit。服从正态分布的截距项的均值效应u被包含在回归函数的常数项中。E(it 2) = E(wit+uj)2 =w2 +u2, E(itis) = E(wit+ ui)(wis+ ui) = E(wit wis + ui wis + wit ui + ui2) =u2, ts 令i = (i1, i2, iT) 则 = E(ii) = )()()(222222222222uwuuuuwuuuuw=w2 I(T T) +u21(T 1)1(T 1) 其中I(T T)是(T T)阶单位阵， 1(T1)是(T1)阶列向量。因为第i期与j期观测值是相互独立的，所以NT个观测值所对应的随机误差项的方差与协方差矩阵V是V = 000000= 100010001= INN其中IN N表示由 (T1)阶列向量为元素构成的单位阵，其中每一个元素1 或 0 都是 (T1) 阶列向量。表示科罗内克积（Kronecker product） 。其运算规则是AN KB =BBBBBBBBBNKN