北京市海淀区高三第一学期期末考试数学

1、北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、 挑选题：本大题共8 小题 ,每道题 5 分,共 40 分 .在每道题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 .（1）已知全集 u ， ab ，那么以下结论中可能不成立的是（）（ a ） aba（ b） abb（ c）eu ab（d ）eu ba（2）抛物线y2x2 的准线方程为（）（ a ） y18（ b ） y1 4（ c） y12（d ） y1（3）将函数y = cos 2 x 的图象按向量a = ,1 平移后得到函数 4f x 的图象，那么（）（ a ）f x = -sin 2x + 1（b）f x =sin 2x + 1（ c）f

2、 x = -sin 2x- 1（ d）f x =sin 2x - 1（4）在abc 中，角 a 、 b 、 c 所对的边分别为a 、 b 、 c ，假如c3a ， b =30.，那么角 c 等于（）（ a ） 120°（ b ） 105°（ c） 90°（ d） 75°（5）位于北纬 x 度的 a 、 b 两地经度相差90，且 a 、 b 两地间的球面距离为r（ r 为地球半径） ，3那么 x等于（）（ a ） 30（ 6 ）已知定义域为（ b）r 的函数45（ c）f x ，对任意的x . r60都有（ d） 75f x+ 1 =f x-f 1 =1，

3、就f 62等于（）2（ a ） 1（ b） 62（ c）64（ d） 831 +22恒成立，且（7）已知,. 1,2,3,4,5 ，那么使得sin.cos0 的数对 , 共有（）a 9 个b 11 个c 12 个d 13 个（8）假如对于空间任意nn 32 条直线总存在一个平面，使得这 n 条直线与平面所成的角均相等，那么这样的n（）（ a ）最大值为3（ b）最大值为4（ c）最大值为5（ d）不存在最大值二、填空题 :本大题共6 小题 ,每道题 5 分 ,共 30 分.把答案填在题中横线上.（9） limn2 + 4 +6 + 2n=.ff臌n 2（ 10 ） 如 果f x =ì

4、.1,íx 1，那 么轾2 =； 不 等 式f 2 x -1.1 的 解 集.0,是.x >1，2（11）已知点f1 、 f2 分别是双曲线的两个焦点，p 为该双曲线上一点，如pf1f2 为等腰直角三角形，就该双曲线的离心率为 .（ 12 ） 如 实 数 x 、y 满 足2xyyx,0 ,且 z =2 x +y 的 最 小 值 为3 ， 就 实 数 b 的 值yxb,为.（ 13 ） 已 知 直 线 xym0 与 圆x2 +y2 =2 交 于 不 同 的 两 点 a 、 b ， o 是 坐 标 原 点 ，| oa+ ob |. | ab | ，那么实数 m 的取值范畴是.（14

5、）已知：对于给定的q . n*及映射f : ab, bn* 如集合 c í a ，且 c 中全部元素对应的象之和大于或等于q ，就称 c 为集合 a 的好子集 对于给定的 q ， a =对于 q2 ， a = a, b,c ，映射f : x1, xa，那么集合a的全部好子集的个数为；1,2,3,4,5,6, ，映射f : a .b 的对应关系如下表：x123456f x11111yz如当且仅当c 中含有和至少 a 中 2 个整数或者c 中至少含有a 中 5 个整数时， c 为集合 a 的好子集写出全部满意条件的数组q, y, z ：三、解答题 : 本大题共6 小题 ,共 80 分.解

6、答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15（本小题共12 分）已知函数f xsin 2 x23 sin xcos x4cos2 x3 .4（）求函数f x的最小正周期和单调递减区间；（）求函数f x轾在 犏-, 25上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值 .犏臌1236（16）（本小题共12 分）已知函数g x 是f x =x2 x >0 的反函数，点m x0, y0 、n y0, x0 分别是f x 、g x 图象上的点，l1 、 l 2 分别是函数f x 、 g x的图象在m , n两点处的切线，且l1 l 2 （）求 m 、 n 两点的坐标；（）求经过原点o 及 m 、 n

7、的圆的方程（17）（本小题共14 分）已知正三棱柱abca1 b1c1 中，点 d 是棱 ab 的中点，bc =1, aa1 =3 .（）求证：bc1 / 平面a1 dc ；aa1（）求c1 到平面a1dc 的距离；dcc1（）求二面角d -a1c -a的大小 .bb1（18）（本小题共14 分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间t （单位：年）有关. 如 t1 ，就销售利润为 0 元；如 1t3 ，就销售利润为100 元；如 t3 ，就销售利润为200 元. 设每台该种电器的无故障使用时间t1 ， 1t3 及 t3 这三种情形发生的概率分别为p1 , p2 , p3 ，又知p

8、1 , p2 是方程 25x 215 xa0 的两个根，且p2p3 .（）求p1 , p2 , p3 的值；（）记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列；（）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.（19）（本小题共14 分）已知点a0,1 、 b 0,-1 ， p 是一个动点，且直线pa 、 pb 的斜率之积为-1 .2（）求动点p 的轨迹 c 的方程；（）设q 2,0 ，过点 -1,0 的直线 l 交 c 于 m 、 n 两点，qmn 的面积记为s ，如对满意条件的任意直线l ，不等式 stan mqn 恒成立，求的最小值 .（20）（本小题共14 分）假如正数数列an满

9、意：对任意的正数m ，都存在正整数n ，使得 an00m ，就称数列an是一个无界正数列1 ,n1,3,5,（） 如 an32sin nn1,2,3,， bnnn1,n22,4,6,分别判定数列an、bn 是否为无界正数列，并说明理由；a1a2an1（） 如 ann2 ，是否存在正整数k ，使得对于一切nk ，有a2a3an 1n成立；2（）如数列ana1a2是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得ama2a3am 1m2021 海淀区高三年级第一学期期末练习数学 （理科）参考答案及评分标准2021.01一、挑选题（本大题共8 小题 ,每道题 5 分,共 40 分 ）cabab dd

10、a二、填空题（本大题共6 小题，每道题5 分.有两空的小题，第一空3 分，其次空2 分，共 30 分）（9） 1（ 10） 1， 0,1（ 11）21（ 12） 94（13） 2,22,2（ 14）4 ， 5,1,3三、解答题（本大题共6 小题 ,共 80 分）15（本小题共12 分）解：（）f xsin 2 x2 3 sin xcos x4cos2 x3423 sin 2 x=3sin 2x -=2sin2 x -cos 2 x34cos2x4 分6所以 t =22=.5 分3由 2k+. 2 x. 2kk .z 得262k+ xk+ 5k . z 所以函数36f x 的最小正周期为，单调递

11、减区间为 k+, k+ 5 kz .（）由（）有f x =367 分2sin2 x - .6轾由于 x . 犏, 25，犏臌1236轾所以 2 x -. 犏,11.6犏臌 39由于 sin - = sin 4< sin 11，339所以当x = -时，函数12f x 取得最小值-3 ；当 x =时，函数3f x 取得最大值2.12 分（16）（本小题共12 分）解：（）由于f x =x2 x >0 ，所以gx =x x >0 .从 而 fx2 x,g x =1.3 分2 x所以切线l1 , l 2 的斜率分别为k1f x0 2x0 , k2g y0 1.2 y0又 y =x2

12、 x> 0 ，所以 k=1.4 分00022 x0由于两切线l 1 , l2平行，所以k1k2 .5 分2从而 2 x0 = 1.由于 x0 > 0 ，1所以 x0 =.2所以 m , n两点的坐标分别为1 ,21 , 1 ,441 .7 分2（）设过o 、 m 、 n 三点的圆的方程为：x2y2dxeyf0 .由于圆过原点，所以f0 .由于 m 、 n 关于直线yx 对称，所以圆心在直线yx 上.所以 de .11又由于m , 在圆上， 24所以 de5 .12所以过 o 、 m 、 n 三点的圆的方程为：x2y25 x5y0 .12 分1212（17）（本小题共14 分）（）证

13、明：连结ac1 交a1c 于点 g ，连结 dg .在正三棱柱abca1 b1c1 中，四边形acc1a1 是平行四边形， aggc1 . addb ，aa1 dg bc1 .2 分g1dcc dg平面 bc1 平面a1dc ，a1dc .bc1平面 a1 dc ，bb14 分解法一：（）连结dc1 ，设c1 到平面a1dc 的距离为 h .四边形acc1 a1 是平行四边形， sacas acc .111 vdacavd acc.111 vv11saa，daca1a1 acd3 acd181 vca1cd1.6 分8在等边三角形abc 中， d 为 ab 的中点， cd =3,cd 2ab

14、. ad 是 a1d 在平面 abc 内的射影， cd a1d.8 分 s a1 dcdcda139 .28113vca dc h39 .9 分s a1dc13（）过点d 作 deac 交 ac 于 e ，过点 d 作 dfa1c 交a1c 于 f ，连结 ef .平面 abc平面acc1a1 ， de平面 abc ，平aa e1面 abc平面acc1 a1ac ，1dfccbb1 de平面acc1 a1 . ef 是 df 在平面acc1 a1 内的射影 . efa1c . d dfe是二面角 d -a1c -a的平面角 .12 分ad ×dc 3在直角三角形adc 中，de =.

15、同理可求：df =ac4a1d ×dc =39 .a1c8 sindfe =de = df213.13骣÷桫÷÷ 形dfe.0, 2， . dfearcsin21313.14 分解 法 二 ： 过 点 a 作 aobc 交 bc 于 o ， 过 点 o 作oebc 交b1c1 于 e . 由于平面 abc平面 cbb1c1 ，所z以 ao平面cbb1c1. 分别以cb,oe , oa 所在的直线为aa1x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如下列图. 由于bc =1, aa1 =3 ，abc 是等边三角形，所以o 为 bcdc c1oey的 中

16、点 . 就 o0,0,0， a0,0,3， c21 ,0,0，bb12x1a0,3,3， d 1 ,0,3 ， c1,3,0.6 分12442（）设平面a1dc 的法向量为nx, y, z ，就n cd0,na1c0. cd33,0, ，44a1c13,3, ， 223 x3 z0,441 x3y3 z0.22取 x3 ，得平面a1dc 的一个法向量为n3,1,3.8 分 c1 到平面a1dc 的距离为：cc1nn39.10 分13 解：同（）可求平面aca1 的一个法向量为n13,0,1.12 分设二面角 d -a1c -a的大小为，就coscosn, n163 13 .132130,，ar

17、ccos31313.14 分（18）（本小题共14 分）解：（）由已知得p1p2p31 .p2p3 ,p12 p21.p1, p2 是方程25x 215 xa0 的两个根 ,3p1p 2.51p1, p 252p 3.3 分5（）的可能取值为0， 100， 200， 300， 400.4 分p0 = 111 ,5525552512228555525p100 = 2124 ,p200 = 2,p300 = 22228,552524p400 =55.9 分25随机变量的分布列为：0100200300400p14252588252542511 分（）销售利润总和的平均值为1e= 0254100252

18、008300258400254=240.25销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240 元.注：只求出 e，没有说明平均值为240 元，扣 1 分.14 分（19）（本小题共14 分）解：（）设动点p 的坐标为 x, y ，就直线pa, pb 的斜率分别是y - 1 ,y + 1.由条件得y - 1. y + 1xx-1 .xx2x2即+ y 2 = 21 x .0.2所以动点 p 的轨迹 c 的方程为x+ y2 = 21 x .0.5 分注：无 x 1 0 扣 1 分.（）设点m , n 的坐标分别是 x1 , y1 , x2 , y2 .21当直线 l 垂直于 x 轴时，x1 =x2

19、= -1, y1 = -y2 , y1 =.2所以 qm= x1 -2, y1 , qn = x2 -2, y2 = x1 -2,-y1 .所以 qm.qn x -2 -y2 =17.7 分2112当直线 l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y = k x +1 ,ì. x2.+y2 = 1,2222由 í2.y =k x +得 1 + 2kx14 k 2+ 4k x + 2k2k 22-2 = 0 .所以 x1x212k 2, x1 x212k 2.9 分所以 qm .qn x1 -2 x2 -2 +y1 y2 =x1x2 -2x1 +x2 + 4+y1 y2 .由于

20、 y1 =k x1 +1, y2 =k x2 + 1 ，所以 qm .qnk 2 + 1x x+ k 2 -2 x +x + k+4 = 17 -13< 17 .21 212221+2k 2 2综上所述 qmqn 的最大值是17.11 分2由于 stan mqn 恒成立 ,即 1 | qm| | qn| sinmqnsinmqn恒成立 .2cos mqn由于 qm .qn17 -13> 0 .221+ 2k 2 所以 cos mqn > 0 .所以 qmqn2 恒成立 .13 分所以的最小值为174.14 分注：没有判定d mqn为锐角，扣1 分.（20）（本小题共14 分）解：（）an不是无界正数列理由如下：取 m = 5 ，明显 an3 2s