ARCH模型和GARCH模型yukz

1、ARCH模型和 GARCH模型Robert F. EngleCliveW. J. Granger本章模型与以前所学的异方差的不同之处： 随机扰动项的 无条件方差 虽然是常数，但是条件方差 是按规律变动的量。引子 - 问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，yt =yt -1 +t其中 t 为白噪声过程，1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图1 和图2。图 1日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)图 3收益绝对

2、值序列(1995-2000)图 2日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)图 4 D(JPY) 的平方 (1995-2000)这种序列的特征是 （ 1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。（2）按时间观察，表现出“波动集群” （volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。（ 3）从取值的分布看表现的则是“高峰厚尾”（ leptokurtosis and fat-tail ）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。图 5 给出高峰厚尾分布示意图。高峰厚尾分布曲线正态分布曲线图 5高峰厚尾分布特征

3、示意图显然现期方差与前期的“波动”有关系。描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ ARCH）模型（ Engle 1982 年提出）。使用 ARCH模型的理由是：（1）通过预测 yt或 ut 的变化量 评估股票的持有或交易对收益所带来的风险有多大，以及决策的代价有多大；（2）可以预测yt 的置信区间，它是随时间变化的； （3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。§1、 ARCH模型1、条件方差多元线性回归模型：条件方差 或者波动率（Condition variance，volatility）定义为其中t 1 是信息集。2、ARCH模型的定义Engle（198

4、2）提出 ARCH模型（autoregressive conditional heteroskedasticity ，自回归条件异方差）。ARCH(q)模型：yt xtt（1）t 的无条件方差 是常数，但是其 条件分布 为22Lt1 t 1其中t 1 是信息集。方程（ 1）是均值方程（ mean equation ）2（2）q t q? t2 ：条件方差，含义是基于过去信息的一期预测方差方程（ 2）是条件方差方程（ conditional variance equation），由二项组成? 常数? ARCH项 t2 i ：滞后的残差平方由于t 2 的非负性，对i 应有如下约束，>0,i0

5、,i = 1, 2,q当全部i= 0,i= 1, 2, , q 时，条件方差t 2 = 。因为方差是非负的，所以要求 > 0。3、ARCH模型的平稳性条件为保证t 2 是一个平稳过程，(2)式的特征方程1-1L-2L2-qLq=0的根都应在单位圆之外。对 i , i = 1, 2, , q 的另一个约束是01+2+ q<1对(2)式求期望，t 2 = +1 E( t -1 2 ) +2 E(t-2 2) +q E(t-q2)= +1t -1 2+2t -2 2 +当 T时，2 = +12+22 +2qt- q2q则无条件方差可见若保证t 2 是一个平稳过程，应该有约束0(1 +2

6、+q ) < 1。因为 Var( yt ) =Var( t ) =t 2，所以上式可以用来预测yt 的方差。综上所述， ARCH模型的方差方程的的平稳性条件有1) 1- 1L- 2L2 - - qLq=0 的根都应在单位圆之外。2) 0+ + +<112q为使模型能够成立还需要满足 >0, i 0, i = 1, 2,q例 1ARCH(1) 模型中参数1 的含义：当当1 1 时， var( t )10时，退化为传统情形，t : N (0,)4、ARCH效应检验ARCH LM Test：拉格朗日乘数检验建立辅助回归方程此处 e 是回归残差。原假设：H0：序列不存在 ARCH效应

7、即H0：1 2Lq 0可以证明：若 H0 为真，则2此处， m为辅助回归方程的样本个数。R 为辅助回归方程的确定系数。 view/residual/Tests/ARCH LM Test§ 2、 ARCH模型的实证分析从收盘价，得到收益率数据序列。series r=log(p)-log(p(-1)点击序列 p，然后 view/line graph1、检验是否有ARCH现象。首先回归。取2000 到 2254 的样本。输入 ls r c，得到Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:26Sample

8、: 2000 2254Included observations: 255VariableCoefficienStd. Error t-StatisticProb.tC0.0004320.0010870.3971300.6916R-squared0.000000Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared0.000000S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017364Akaike info-5.264978criterionSum squared resid0.076579Schwarz cri

9、terion-5.251091Log likelihood672.2847Durbin-Watson stat2.049819问题：这样进行回归的含义是什么？其次， view/residual tests/ARCH LM test，得到ARCH Test:F-statistic5.220573Probability0.000001Obs*R-squared44.68954Probability0.000002Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04Time: 21:27Sample(a

10、djusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficienStd. Error t-StatisticProb.tC0.0001105.34E-052.0601380.0405RESID2(-1)0.1415490.0652372.1697760.0310RESID2(-2)0.0550130.0658230.8357660.4041RESID2(-3)0.3377880.0655685.1516970.0000RESID2(-4)0.0261430.0691800.3778

11、930.7059RESID2(-5)-0.0411040.069052-0.5952600.5522RESID2(-6)-0.0693880.069053-1.0048540.3160RESID2(-7)0.0056170.0691780.0811930.9354RESID2(-8)0.1022380.0655451.5598060.1202RESID2(-9)0.0112240.0657850.1706190.8647RESID2(-10)0.0644150.0651570.9886130.3239R-squared0.182406Mean dependent var0.000305Adju

12、sted R-squared0.147466S.D. dependent var0.000679S.E. of regression0.000627Akaike info-11.86836criterionSum squared resid9.19E-05Schwarz criterion-11.71116Log likelihood1464.875F-statistic5.220573Durbin-Watson stat2.004802Prob(F-statistic)0.000001得到什么结论？2、模型定阶：如何确定q实施 ARCH LM test 时，取较大的q，观察滞后残差平方的t

13、统计量的 pvalue即可。此处选取 q 3。因此，可以对残差建立ARCH(3)模型。3、ARCH模型的参数估计参数估计采用最大似然估计。具体方法在GARCH一节中讲解。如何实施 ARCH过程：由于存在 ARCH效应，所以点击estimate ，在 method 中选取 ARCH得到如下结果Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:48Sample: 2000 2254Included observations: 255Convergence achieved after 13 iterationsCoeffic

14、ienStd. Error z-StatisticProb.tC-0.0006400.000750-0.8528880.3937Variance EquationC9.24E-051.66E-055.5693370.0000ARCH(1)0.2447930.0826402.9621420.0031ARCH(2)0.0814250.0774281.0516240.2930ARCH(3)0.4578830.1096984.1740430.0000R-squared-0.003823Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.019884S.D. d

15、ependent var0.017364S.E. of regression0.017535Akaike info-5.495982criterionSum squared resid0.076872Schwarz criterion-5.426545Log likelihood705.7377Durbin-Watson stat2.042013为了比较，观察将q 放大对系数估计的影响Dependent Variable: RMethod: ML - ARCHDate: 10/21/04 Time: 21:54Sample: 2000 2254Included observations: 25

16、5Convergence achieved after 16 iterationsCoefficienStd. Error z-StatisticProb.tC-0.0006010.000751-0.7999090.4238Variance EquationC9.38E-051.60E-055.8807410.0000ARCH(1)0.2620090.0902562.9029590.0037ARCH(2)0.0419300.0705180.5945960.5521ARCH(3)0.4521870.1084884.1680760.0000ARCH(4)-0.0219200.050982-0.42

17、99560.6672ARCH(5)0.0376200.0443940.8474080.3968R-squared-0.003550Mean dependent var0.000432Adjusted R-squared-0.027830S.D. dependent var0.017364S.E. of regression0.017603Akaike info-5.483292criterionSum squared resid0.076851Schwarz criterion-5.386081Log likelihood706.1198Durbin-Watson stat2.042568观察

18、：说明 q 选取为 3 确实比较恰当。4、ARCH模型是对的吗？如果 ARCH模型选取正确，即回归残差的条件方差是按规律变化的，那么标准化残差就会服从标准正态分布，即不会有ARCH效应了。对 q 为 3 的 ARCH模型做 LM test ，发现没有了 ARCH效应。注意，虽然是同一个检验名称，但是ARCH过程后是对标准化残差进行检验。注意观察被解释变量或者依赖变量是什么？ARCH Test:F-statistic0.238360Probability0.992099Obs*R-squared2.470480Probability0.991299Test Equation:Dependent

19、Variable:STD_RESID2Method: Least SquaresDate: 10/21/04 Time: 21:56Sample(adjusted): 2010 2254Included observations: 245 after adjusting endpointsVariableCoefficienStd. Error t-StatisticProb.tC1.1023710.2649904.1600430.0000STD_RESID2(-1)-0.0385450.065360-0.5897410.5559STD_RESID2(-2)-0.0038040.065308-

20、0.0582520.9536STD_RESID2(-3)-0.0573130.065303-0.8776490.3810STD_RESID2(-4)-0.0103250.065277-0.1581690.8745STD_RESID2(-5)0.0035370.0652800.0541850.9568STD_RESID2(-6)-0.0074200.065274-0.1136700.9096STD_RESID2(-7)0.0633170.0652640.9701650.3330STD_RESID2(-8)-0.0121670.065293-0.1863400.8523STD_RESID2(-9)

21、-0.0106530.065278-0.1631940.8705STD_RESID2(-10)-0.0202110.065228-0.3098450.7570R-squared0.010084Mean dependent var1.007544Adjusted R-squared-0.032221S.D. dependent var2.112747S.E. of regression2.146514Akaike info4.409426criterionSum squared resid1078.160Schwarz criterion4.566625Log likelihood-529.15

22、46F-statistic0.238360Durbin-Watson stat2.000071Prob(F-statistic)0.992099方程整体是不显着的。还可以观察标准化残差ARCH建模以后， procs/make residual series/可以产生残差t 和标准化残差t /t ，以下分别是残差和标准化残差。可以看出没有了集群现象。还可以观察波动率（条件方差）的图形。对比r 和残差的图形，发现条件方差的起伏与波动率的大小一致。ARCH建模以后， procs/make garch variance series/得到结论： ARCH模型确实很好描述了股票市场收益率的波动性。可以观

23、察系数之和小于1，满足平稳性条件。2tq§ 3、 GARCH模型模型 是关于 t2的分布滞后模型。为避免t2的滞后项过多，可采用加ARCH ( )入 t 2 的滞后项的方法， 此方法是 Bollerslov （1986）提出的 GARCH模型（ Generalized ARCH），主要就是针对 q 较大的情形1、模型定义条件方差方程? 均值?t2 j ：过去的条件方差（也即预测方差，forecast variance）注意：均值方程中若没有解释变量（即只有常数，如 R C），则 R2 没有直观定义了，因此可为负）例 2 GARCH(1,1) Model 标准的 GARCH(1,1)描

24、述为：yt xtt222tt 1t 1（ a）（b）（ a）式是均值的方程，带误差项的外生变量的函数。因为t2 是基于过去信息的一步向前预测方差，所以称为条件方差。条件方差的方程有三项。是均值项；t2 1是 GARCH 项 ；t2 1是 ARCH 项 ；在 GARCH(1,1) 的(1,1) 表明有 1 阶 GARCH项和 1 阶 ARCH项。一个 ARCH模型是 GARCH模型的特殊情况，即当条件方差的方程中没有条件方差的滞后项时，即：ytxt t（c）22（d）tt 1如果对（ 2）式右边进行迭代。可以有这说明 GARCH(1,1)的条件方差是以前的所有随机干扰项平方的加权和与共同部分构成

25、。12222( 11 ) t 1t1 t 1令 ttt , 将其代入 (b) 得 ,t0由此可见，残差平方服从一个ARMA(1,1)过程。自回归因子的根为，如果接近 1，则冲击是长久的。2、GARCH(p, q) 模型的稳定性条件计算扰动项的无条件方差：从上式可推出稳定条件： 00ij1为使模型有意义，系数还需要满足下面两条1) > 0,i0, i = 1, 2,q,2) i0,j= 1, 2,p3、GARCH模型的参数估计采用极大似然估计GARCH模型的参数。下面以GARCH(1, 1)为例。由 GARCH(1, 1)模型可以得到 yt 的分布为由正态分布的定义公式，得到yt 的 pd

26、f为第 t个观察样本的对数似然函数值为其中2221 ( yt 1 x t 1)22t1 t 11 t 11 t 1注意 yi 和 yj 之间不相关，因而是独立的。似然函数为取对数就得到了所有样本的对数似然函数。其中条件方差项以非线性方式进入似然函数，所以不得不使用迭代算法求解。4、模型的选择两条原则：1）若 ARCH(q)中 q 太大，比如 q 大于 7 时，则选择 GARCH(p, q)2）使用 AIC 和 SC准则，选择最优的GARCH模型3）对于金融时间序列，一般选择GARCH(1, 1)就够了。回顾 AIC 和 SC定义：1）AIC 准则（ Akaike information cri

27、terion）AIC 越小越好，结合如下两者：K（自变量个数）减少，模型简洁LnL 增加，模型精确2）SC准则（ Schwaz criterion）习题 1：通货膨胀率有ARCH效应吗？ Greene P572点击数据文件 usinf_greene_p572 。进行回归ls inflation c inflation(-1)Dependent Variable: INFLATIONMethod: Least SquaresDate: 11/19/04Time: 10:37Sample(adjusted): 1941 1985Included observations: 45 after adj

28、usting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C2.4328590.8163452.9801840.0047INFLATION(-1)0.4932130.1311573.7604660.0005R-squared0.247477Mean dependent var4.740000Adjusted R-squared0.229976S.D. dependent var4.116784S.E. of regression3.612519Akaike info criterion5.450114Sum squared res

29、id561.1625Schwarz criterion5.530410Log likelihood-120.6276F-statistic14.14110Durbin-Watson stat1.612442Prob(F-statistic)0.000507检验 ARCH效应ARCH Test:F-statistic0.215950Probability0.953308Obs*R-squared1.231192Probability0.941850Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04

30、Time: 10:46Sample(adjusted): 1946 1985Included observations: 40 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C9.2705227.4255671.2484600.2204RESID2(-1)-0.0311620.170116-0.1831840.8557RESID2(-2)-0.0068860.170151-0.0404690.9680RESID2(-3)0.1162610.1695050.6858880.4974RESID2(-4)0

31、.0185450.1706200.1086940.9141RESID2(-5)0.1279060.1686430.7584390.4534R-squared0.030780Mean dependent var12.28323Adjusted R-squared-0.111753S.D. dependent var34.15088S.E. of regression36.00858Akaike info criterion10.14287Sum squared resid44085.00Schwarz criterion10.39620Log likelihood-196.8574F-stati

32、stic0.215950Durbin-Watson stat1.034796Prob(F-statistic)0.953308习题 2：通货膨胀率有ARCH效应吗？ Lin 的数据集点击 usinf文件series dp=100*D(log(p)ls dp c dp(-1) dp(-2) dp(-3)Dependent Variable: DPMethod: Least SquaresDate: 11/19/04Time: 10:10Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpoin

33、tsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.1099070.0634051.7334100.0854DP(-1)0.3935830.0844324.6615360.0000DP(-2)0.2030930.0894522.2704050.0249DP(-3)0.3020730.0841853.5882140.0005R-squared0.696825Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.689719S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0

34、.396277Akaike info criterion1.016428Sum squared resid20.10054Schwarz criterion1.103785Log likelihood-63.08423F-statistic98.06599Durbin-Watson stat1.970959Prob(F-statistic)0.000000ARCH Test:F-statistic0.969524Probability0.439318Obs*R-squared4.892009Probability0.429201Test Equation:Dependent Variable:

35、 RESID2Method: Least SquaresDate: 11/19/04Time: 10:13Sample(adjusted): 1952:2 1983:4Included observations: 127 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.1081900.0353023.0646480.0027RESID2(-1)-0.0808320.090353-0.8946190.3728RESID2(-2)0.1079060.0884931.2193650.2251RESID2

36、(-3)0.0811910.0888310.9139960.3625RESID2(-4)0.1107450.0884331.2522990.2129RESID2(-5)0.0312480.0887380.3521340.7254R-squared0.038520Mean dependent var0.147634Adjusted R-squared-0.001211S.D. dependent var0.236307S.E. of regression0.236450Akaike info criterion-7.13E-05Sum squared resid6.764921Schwarz c

37、riterion0.134300Log likelihood6.004525F-statistic0.969524Durbin-Watson stat1.990016Prob(F-statistic)0.439318Dependent Variable: DPMethod: ML - ARCHDate: 11/19/04Time: 10:16Sample(adjusted): 1951:1 1983:4Included observations: 132 after adjusting endpointsConvergence achieved after 25 iterationsCoeff

38、icientStd. Errorz-StatisticProb.C0.1113020.0645121.7252820.0845DP(-1)0.3783170.0961983.9326910.0001DP(-2)0.1883850.0862412.1844010.0289DP(-3)0.3237310.0983453.2917880.0010Variance EquationC0.2924650.0491875.9459390.0000ARCH(1)-0.0297610.047805-0.6225630.5336GARCH(1)-0.8733240.267371-3.2663330.0011R-

39、squared0.696453Mean dependent var1.021373Adjusted R-squared0.681883S.D. dependent var0.711412S.E. of regression0.401250Akaike info criterion1.051145Sum squared resid20.12519Schwarz criterion1.204021Log likelihood-62.37558F-statistic47.79960Durbin-Watson stat1.938286Prob(F-statistic)0.000000§、 G

40、ARCH模型The ARCH-M Model(在方程中的回归因子 )如果将必要的外生变量或前定变量加到方差方程(2) ，得拓展的方程：xt在方程（ 1） 描述外生变量和前定变量。如果把条件方差引入这个均值方程，则得到所谓的 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987) 。ARCH-M模型经常用在金融应用研究中，财产的期望收益与期望风险紧密相关。期望风险的估计参数是风险与收益互换的测度。§在 Eviews 中估计 GARCH(p,q) Model 的详细方法首先选择 Quick/Estimate Equation键或

41、选择 Object/New Object/Equation，再选择 ARCH选项，有对话框。然后选择需要的均值方程、方差方程、估计方法和样本容量；均值方程（ The Mean Equation Specification）的选项在被解释变量的编辑框中键入均值方程的变量或方程。如果估计的是ARCH-M模型，还应该选择右上角的适当选项。方差方程的选项（ Variance Regressors）在 Variance Regressors 框中可以有选择的列出你希望加入的回归因子。值得注意的是 EViews 已经加入了常数项，不需要再加入。ARCH模型的说明（ ARCH Specification ）在前面我们已经知道了估计GARCH模型，必须给出ARCH和 GARCH项.默认是GARCH(1,1)。为了估计标准的GARCH模型，点击 GARCH按纽。估计选项EViews提供了一个进入选择项的按纽，进入后可以将所需要的填入