E的接触点课件

1、第二章第二章 点集点集lP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等价于故的孤立点全体由于说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证)(显然因为EEEE)(显然因为或EEEEEEEE 若若E = E , 则称则称E为开集（为开集（E中每个点都为内点中每个点都为内点) 若若 ,则称则称E为闭集（与为闭集（与E紧挨的点不跑到紧挨的点不跑到E外）外）说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 )(显然因

2、为EEEEabx),(),(baOx 证明：任取证明：任取x(a,b),取取=min|x-a|,|x-b|, 则则 ,从而从而x是（是（a,b）的内点，）的内点，故故(a,b)是开集。是开集。说明：说明： 要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然a b xcxbaO,),( 证明：任取证明：任取xa,bc,取取=min|x-a|,|x-b|, 则则 ,从而x不是a,b的接触点，从而从而a,b的接触点都在的接触点都在a,b内，内，从而从而a,b是闭集。是闭集。为为E的的接触点接触点的充要条件为存在的充要条件为存在E中点列中点列pn, 使得使

3、得或或p p0 0是是E的的聚点聚点的的充要条件为充要条件为存在存在E中的中的互异互异的点所成的点列的点所成的点列pn, 使使得得0limppnn0limppnn若若 （或（或 ）,则称则称E为闭集。为闭集。 （与（与E接近的点不跑到接近的点不跑到E外）外）EE EE 为开集，即从而EEE)(EOOxy),() ,(则) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）) , (xO

4、E( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EElP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：lP0为为 E的外点：的外点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，则Ec为开集。ccccEEEE)()()

5、()(a.CECE 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 EOExx),(, 0,使得证明：设证明：设E为开集，即为开集，即( , )cxOE 从而EE 证明：设E为闭集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。注：无限多个开集的交不一定为开集，如：注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和中只有空集和Rn既开又闭，既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：存在大量既

6、不开又不闭的集合，如：E=0,1)A B注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/nccAA)(若若E为开为开集，则集，则Ec为闭为闭集集;若若E为闭为闭集，则集，则Ec为开为开集集ccAA)(2,1FFnR21G,G2211FG,FG注：隔离性定理中注：隔离性定理中“闭集闭集”的条件不能少，的条件不能少， 如如2，3）和（）和（3，5,: ),(inf),(: ),(inf),(ByAxyxdBAdByyxdBxdBA b.若若 ,则则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立，反之则不一定成立，如如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭集

7、）（都是闭集）Bxc.d(x,B)=0当且仅当 注：注：a.若若x B,则则d(x,B)=0;反之则不一定成反之则不一定成立，如立，如x=0,B=(0,1)证明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理定理 设设E为为中非空点集中非空点集 ，则，则d(x,E)是是的的一致连续函数一致连续函数所以d(x,E)是的一致连续函数。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)11,( , )( ,)( , )nnnnyAd x Ad x yd x A使得闭集：与E紧挨

8、的点不跑到E外，也即E外的点与E不可能紧挨limiinnnniyyyyy由于为有界点列，故的子列，使1( , )( ,)( , )iinnd x Ad x yd x A又为闭集，故yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)( , )inf ( , ):d x Ad x yyA证明：由 可得nnnnnnBAdyxdBAdByAx11),(),(),(,使得可知xxxxiininnlim，使的子列由于A有界，故,: ),(inf),(ByAxyxdBAd证明：由ABA有界不可少，有界不可少，如如A=n - 1/n,B=n+1/nyyyyjijiinjnnlim，使的子列从而jijiji

9、nnnBAdyxdBAd1),(),(),(又又B为闭集，故为闭集，故yB,另外对另外对两边关于两边关于j取极限得取极限得d(x,y)=d(A,B)又又A为闭集，从而为闭集，从而xA ，并可得，并可得yni有界有界因为当因为当ni充分大时，充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）注：可推广到一般的拓扑空间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.是连续函数可得关于及证明：由xFxdFxdFxdFxdFxdxf),(),(),(),(),()(21211F2F12, 1FF0Fq,Fp: )q, p(inf

10、)F,F(2121ddl注：对注：对无限维空间无限维空间不一定成立。不一定成立。:IiUiiIiUF:IiUi注：比较下面几种不同的证法注：比较下面几种不同的证法周民强，实变函数周民强，实变函数 p-36尤承业，基础拓扑学尤承业，基础拓扑学 p-52熊金城，点集拓扑讲义熊金城，点集拓扑讲义 p-2021.教材教材 p-42注：注： 逆命题也成立逆命题也成立:IiUi结论：结论： 中紧集与有界中紧集与有界闭集等价等价nRl举例说明有界闭集未必是紧集（教材举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例例2）:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空间中以提示：利用空间中以有理点有理点为为中心中心，正有

11、理数正有理数为为半径半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在点全体在Rn中中稠密稠密和有理数全体是和有理数全体是R的的稠密稠密集集nRE EE nRE EE 第二章第二章 点集点集G) , ( ,) , ()d, c ()b, a (A( ) ( ( ) ) a b c c d d (a,b),(c,d)为构成区间（c,d）不是( ) ( )( ) ( ) (直线上的直线上的闭集闭集或是全直线，或是从直线上或是全直线，或是从直线上挖去挖去有限个或有限个或可数个互不相交的可数个互不相交的开区间开区间所得之集所得之集.开开 集集 构构

12、 造造 性性 定定 理理直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点间的公共端点;（4）Rn中的中的开集开集一般不能表示成至一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相但总可表示成至多可数个互不相交的交的半开半闭区间半开半闭区间之并，且不唯一之并，且不唯一.( ) ( )( ) ( ) (1)1(iIi2 , 1)1(iIi2)2(2, 2 , 1iIi2 , 1)2(iIi1( )1,2,2innIinniiI2, 2 , 1)(ininIG)(,定义：令称P=0,1-

13、 G=0,1Gc 为Cantor集ininIG)(,a .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间11231323111nnnb. P的“长度”为0，去掉的区间长度和( )x- x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间()130,nniIO（ x, ）当时 ， 有但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。O（x, ）( )niI证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中)(),(xPOx从而从而x为P的聚点，当然不为孤立点。)(, 0),(xPOx有 证明：对任意x P ， 只要证：( )1( , )3,nnxiniOI及某个，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间( )x- x x+nniI31|)(说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位