南通市、扬州市高三第一次调研测试数学

1、南通市2014届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知集合 A x| x> 3 U x| x 1 ，贝UeRA 2.某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 .【答案】1 .83,复数z （其中i为虚数单位）的模为 .1 i【答案】二.24.从编号为0, 1, 2,，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为 28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为 .【答案】76.5 .根据如图

2、所示的伪代码，最后输出的a的值为 【答案】48.6 .若loga卫1 ,则a的取值范围是 a 1a 1i 2While i<6 a a ii i 2 End while Print a（第5题）【答案】4, +7 . 若函数f（x） x3 ax2 bx为奇函数，其图象的一条切线方程为 y 3x 4J2 .则b的值为 【答案】3.8 .设l,m表示直线，m是平面 内的任意一条直线. 则“l m”是“l ”成立的 条件.（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）【答案】充要.9.在平面直角坐标系 xOy中，设A是半圆O： x2 y2 2 （x>0）上

3、一点，直线 OA的倾斜角为45。，过点A作x轴的垂线，垂足为 H ,过H作OA的平行线交半圆于点 B ,则直线AB的方程是 .【答案】 3x y . 3 1 0.uuu uur10 .在ABC中，D是BC的中点，AD = 8, BC=20,则AB AC的值为 .【答案】36.11 .设x, y, z是实数，9x, 12y, 15z成等比数列，且【，工，成等差数列，则2 2的值是 x y zz x【答案】14-12 .设'是函数f (x) sin 2x的一个零点，则函数 f (x)在区间0, 2兀内所有极值点之和为613 .若不等式(mx1)3m 2( x + 1)m-1 >0对任

4、意m (0,)恒成立，则实数x的值为 【答案】114 .设实数a, b, c满足a2+b2wcw 1,则a+b + c的最小值为.【答案】2 .二、解答题：本大题共 6小题，共90分.请在答题卡指定区域 内作答.解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15 .(本小题满分14分), uuuunr uuuruuur在 ABC 中，已知 ABAC9, ABBC16 .求：(1) AB的值；(2) Sin(AcB)的值.uur uur uur uiur 【解】（1）（万法1）因为AB AC 9, AB BC 16 , 4分uur uur uuu uuruuu uur uur所以 AB AC AB

5、 BC 9 16 25,即 AB AC CB25,uur 2,亦即AB 25 ,故AB 5 . 7分（方法2）设A, B, C的对边依次为 a, b, c, 则由条件得 bccosA 9, accosB 16. 3 分两式相加得 c（bcosA acosB） 9 16 25,即 c2 25,故 AB c 5 . 7 分16.(方法3)设A, B,则由条件得bccosA由余弦定理得1 b222两式相加得c 25 ,C的对边依次为a, b,9 , accosB 16 .22122c a 9, c a 2(2) sin(A B) sin Acos B cos Asin Bsin Csin Cc,b2

6、16,10分由正弦定理得sin（A B）sin C（本小题满分14分）acosB bcos Aaccos B bccosA16 92-c14分在四棱锥 P ABCD中，AB/DC,AB,平面PAD, PD = AD,AB = 2DC, E是PB的中点.求证：（1） CE/平面PAD;(2)平面 PBCL平面 PAB.【证】（1）（方法1）取PA的中点F,连 EF,DF.因为E是PB的中点，所以 EF / AB,且EF因为AB/CD, AB = 2DC ,所以 EF / CD ,EFCD,于是四边形 DCEF是平行四边形,2分4分（第16题）从而CE / DF,而 CE 平面 PAD, DF 平

7、面 PAD,故CE /平面PAD.（方法2）取AB的中点M,连EM, CM.因为E是PB的中点，所以EM / PA.因为AB/ CD, AB=2DC,所以 CM / AD.因为EM平面PAD,PA平面PAD,所以EM/平面PAD.同理,CM / 平面 PAD.2分4分（第16题）因为EMEM,CM 平面CEM ,所以平面CEM /平面PAD,而CE 平面PAD,故CE /平面PAD（接（1）中方法1）因为PD = AD,且F是PA的中点，所以 DF PA.因为ABL平面PAD,DF 平面PAD,所以DF AB.10分因为 CE/ DF,所以 CE PA, CE AB .因为PA, AB 平面P

8、AB, PAI AB A,所以CE 平面PAB.14分因为CE 平面PBC,所以平面 PBC，平面PAB.17.(本小题满分14分)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为-J6- 1 , 0 w x W 4 , 8 x5 1x,4 x< 10.2若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用.(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天

9、？(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (K a< 4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值(精确到 0.1,参考数据：J2取1.4).【解】(1)因为一次喷洒4个单位的净化剂,所以浓度f(x) 4y648x20 2x4, 0< x< 4,则当0 W x W 4时，由-64- 4> 4 ,解得x> 0 ,所以此时0 W x W 4 . 3分8 x当4 xW 10时，由20 2x> 4解得xW 8 ,所以此时4 x< 8 .综合得0WxW8,若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天. 7分(2)设从第一次

10、喷洒起，经 x ( 6W xw 10)天，浓度 g(x) 2 5 1xa 16 110 x -6a- a (14 x) -6a- a 4 . 10 分28 (x 6)14 x14 x因为 14 x 4, 8,而 1W aw 4,所以4Ta 4,8,故当且仅当14 x 4ja时，y有最小值为8c a 4 .令8n a 4 >4,解得24 16包w a w 4 ,所以a的最小值为24 16应1.6 . 14分18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy中，设曲线01：1(a b 0)所围成的封闭图形的面积为4四，曲线Ci上的点到原点 O的最短距离为 2区.以曲线Ci与坐标轴的交点为顶点

11、的椭圆记3为C2.(1)求椭圆C2的标准方程;(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线.M是l上的点(与若MO = 2OA,当点A在椭圆C2上运动时，求点 M的轨迹方程;若M是l与椭圆C2的交点，求 AMB的面积的最小值.2ab 4 2,【解】(1)由题意得aba2b2242又 a3b 0,解得8, b2 1 .因此所求椭圆的标准方程为(2)设 M (x, y) , A(mn),则由题设知:uuuu OMuuu2 OAuuu uuuurOA OM 0 .2即x mx2yny224(m n ),0,解得因为点A(mn)在椭圆C2上,所以2 y 即J 8所以点M的轨迹方程为

12、42 x42 y322 y3210分(方法1)设 M (x, y),则 A( y,x)(R,0)，因为点A在椭圆C2上,所以2 / 2(y8x2)8,即8x2又 x2 8y28(ii) + (ii)得 x2y29113分所以S AMBOM OA |2|(x81当且仅当1 (即 kAB1)时,S AMB16min 916分(方法2)假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设 AB所在直线方程为y=kx(kw0).解方程组2 xTykx得Xa828k2yA8k22，8k19.所以OA2（解法1）当且仅当Xa2yA8"8k78k28k28(11 8k2，AB240A22 32(1 k )1 8

13、k21-x, k由于解得2Xm8k2k2+82yM8k2+8-2OM8(1k2)k2+812分Sa AMB2228k k1 一八AB OM264(1 k )232(1 k )1 8k28(1264(1 k2)k2+82(12 264(1 k )8k2)(k2+8)22218k k +82841(1k2)2256 "818时等号成立，即k= ± 1时等号成立,此时 AMB面积的最小值是 SaAMB = 169当 k= 0, SaAMB 2 41/2 1 22当k不存在时，Sa AMB 1 2霹 2综上所述， AMB面积的最小值为. . 一，11(解法2)因为义OA2 OM 2

14、又OA当且仅当15分OM OA OM2.216§16916分28(1 k )1 8k2128(1 k )k2+82218k k +88(1 k2)16 于是OA OM一,91 8k2 k2 8时等号成立，即k= ±1时等号成立.（后同方法1）（本小题满分16分）设数列an的首项不为零，前 n项和为Sn,且对任意的r,t N*,都有殳St(1)求数列an的通项公式（用 a1表示）；(2)、一 _ _ _ _ * 设 a1=1, b1=3 , bn 0 1n>2, n N ,求证：数列10g 3bn为等比数列;(3)在（2）的条件下，求Tnnbk 1k 2 bk1【解】(

15、1)因为aS 0,令t 1,r n,则" -St t，得Sn2,即 Snam2.2 分当 n>2 时，an Sn Sn1 a1(2n 1),且当n 1时，此式也成立.故数列 an的通项公式为an ai(2n 1).(2)当4 1 时，由(1)知 an a(2n 1)2n 1, Sn=n2.依题意，n>2 时，bn Sbn1 bn12,是 10g3bnlog3 bn 12 2log 3bn i(a> 2, nN),且 10g3 bl 1,故数列10g3 bn是首项为1,公比为2的等比数列.10分(3)由(2)得 10g3bn 1 2n 1 2n 1 ,所以 bn 32

16、n 1(n N*).12分2k 2曰 bk132k231 1正石T 332k 2+1 32k 2 11,k 11 315分所以Tnnbk 1k 2 bk 1n11ok 2Q k 1k 2 3213211n 132116分20.(本小题满分16分)设函数f (x) ex axa(a R),其图象与x轴交于A(x0), B(X2, 0)两点，且 X1VX2.(1)求a的取值范围;(2)证明：f . *X20 ( f (x)为函数f(x)的导函数)(3)设点C在函数f(x)的图象上，且 ABC为等腰直角三角形，记且t,求(a 1)(t 1) ,为1的值.【解】(1) f (x)ex,则函数f(x)是

17、单调增函数，这与题设矛盾.所以 a 0,令 f (x) 0,则 x 1na .x lna时，f (x) 0, f(x)是单调减函数；x lna时，f (x) 0 , f(x)是单调增函数;于是当x 1na时,f (x)取得极小值.因为函数f (x) exax a(a R)的图象与 x 轴交于两点 A(x1 , 0) , B(x2 , 0) (xivx*所以 f(lna) a(2此时，存在 1 lna, f(1) e 0;存在3ln aIn a , f (3ln a)332a 3a In a a a 3a a 0 ,又由f (x)在(，lna)&(lna,)上的单调性及曲线在 R上不间断

18、，可知a e2为所求取值范围. 6分,C、e'axi a 0,ex2 系(2)因为两式相减得a e .ex2 ax2 a 0,x2 xiXi x2x2 xixi x1 ex2 exies s八记_ s(s 0),则 f -_-e ee2s (e e ) , 8分e s) 0,所以g(s)是单调减函数,2'2x2 xi2s设 g(s) 2s (es e s),则 g (s) 2 (esxi x2-2则有 g(s) g(0) 0,而 e5 0,所以 f0 .2s2又f (x) ex a是单调增函数，且 fxx2x2 i因为xi k 0,则a卷二1句1(t2 i) 0,i3分i5分i

19、6分ii分(3)依题意有 e' axi a 0,则 a(xi i) e' 0xi x2于是e a炉 i)区 i),在等腰三角形 ABC中，显然C = 90° ,所以 x0 % 2x2 (xi, x2),即 y° f(x0) 0由直角三角形斜边的中线性质，可知xyty。，xi x2所以 y° 二-20,即 ek |a x2) a 万二 0,所以 aj(xii)% i) (xi x2) a "J 0,即 aj(xi i)(x2 i) |(xi i) (x2 i) (x2 .尸 0 0.即 a i N_，所以(a i)(t i) 2. t i南

20、通市2014届高三第二次调研测试数学n （附加题）21A.选修41:几何证明选讲如图， ABC内接于圆O, D为弦BC上一点，过 D作直线DP / AC,在A点处的切线于点 P.求证： PAEsBDE.【证明】因为 PA是圆O在点A处的切线，所以/ PAB = Z ACB .因为 PD/AC,所以/ EDB = /ACB,所以/ PAE = Z PAB= Z ACB = Z BDE .10分又/ PEA= / BED,故 PAEA BDE.交AB于点E,交圆O已知二阶矩阵 M有特征值1及对应的一个特征向量3.3 .求矩阵M.1【解】设1,1 .a再由c3, 1.联立以上方程组解得a= 2, b

21、= 1c= 0,d=1,故 M10分21B.选修42:矩阵与变换21C.选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，设动点P, Q都在曲线C:2sin2cos '（。为参数）上，且这两点对应的参数分别为0= a与0= 2«（0< a< 2r 设PQ的中点 M与定点A（1, 0）间的距离为d,求d的取值范围.【解】由题设可知P ( 1 + 2cos a, 2sin a),Q ( 1 + 2cos2 % sin2”),是PQ的中点M1 cos cos2 , sinsin 2从而d2 MA22cos cos 2 sin2sin 22 2cos因为 0 V a&l

22、t; 2兀，所以一1W cosaV 1 ,10分于是0Wd 2<4,故d的取值范围是 0,2.21D.选修4-5:不等式选讲已知：a>2, x R.求证：|x 1 a | | x a | >3 . 证明：因为 |m|+|n| > |m-n|,所以|x 1 a |xa | 刁x 1 a (x a)|=| 2a 1|.又 a >2,故 12a1|>3.所以|x 1 a|xa|>3.10分【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AD AA ：AB,EB（1）证明：DE AD ；若二面角D1ECD的大小为力求的值.【证】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴,DD 1为z轴建立空间直角坐标系.不妨设AD =AA= 1AB = 2则 D(0, 0, 0), A(10, 0),B(1,2,0),点E是棱AB上一点.且C(0, 2, 0), A1(10,1),Bi(11), Ci(02, 1)因为入，所以EEBuuuuD1EDi(0, 0 uuuu1 ， A1D1).(-1, 0, 1).uuuu uuuu 所以D1E AD，0