初中常见定理证明

1、中学常见定理的证明一、三角形1、 运 用你 所学 过 的 三 角 形全 等的 学问 去 证 明 定 理： 有两 个角 相 等 的 三角 形是 等腰 三角 形（ 用 图形 中的 符号 表 达 已 知 、求 证， 并证 明 ， 证 明对 各步 骤要 注 明 依据 ）2、证 明定 理：等 腰三 角 形的 两个 底 角相等 （ 画出 图形 、写出 已知 、求证 并证 明）3、 表达 并 证明 三角形 内 角和 定 理 要 求写 出 定 理、 已知 、求证 ， 画 出图 形， 并写 出 证 明过 程4、 我们 知 道， 证明三 角 形内 角 和 定理 的一 种 思 路是 力求 将三角 形的 三个 内角

2、转化 到 同 一个 顶 点 的三 个相邻 的角，从而 利 用 平角 定义来 得 到结论 ， 你 能想 出 多 少种 不 同 的方 法呢？ 同学之 间 可相 互交 流 5、 三角 形 中位 线定理 ， 是我 们 非 常熟 悉的 定 理 请你 在下 面 的 横线上 ， 完整 地表达 出这 个 定 理： 依据 这个 定 理 画出图 形 ， 写 出已知 和求 证 ， 并对 该定 理 给 出证 明6、定 理“ 直角 三 角形 斜 边 上 的中 线等于斜 边 的 一 半 ” 的逆 命题是，这 个 命题 正 确 吗？ 如 正确 ，请 你证 明这 个 命 题， 如 不 正确 请说明 理由7、用 所学 定理 、

3、 定义 证 明 命 题证 明： 直角 三 角形 斜边 上 的 中线 等于 斜边 的一 半8、 同学 们 ， 这 学期我 们 学过 不 少 定理 ，你 仍 记 得 “ 在直 角三角 形 中 ，如 果一 个锐 角 等 于30 度 ，那 么它 所 对 的直 角边 等 于 斜边 的一半 ” ，请 你写 出它 的逆 命 题 ， 并 证 明 它的 真假解： 原命 题的 逆命 题 为：在直 角三 角形 中，假如 一条 直角 边等 于 斜边 的一 半，那么 这 条直 角边所对 的角 是 30°9、利 用图 （ 1）或 图（ 2 ） 两 个 图 形中 的有 关 面 积 的等 量关 系都 能证 明数 学

4、中 一个 十 分 闻名 的 定 理， 这个定 理称为， 该 定 理的 结 论 其 数学 表 达式是10、利用 图中 图形 的有 关面 积 的等 量 关 系都 能 证 明数 学中 一 个十 分 著 名的 定理 ，此证 明方 法就 是美 国第 二 十 任总统 伽 菲 尔 德最 先完成的 ，人 们为 了纪 念他 ， 把 这一 证 法 称为 “ 总统 ” 证法 这个 定理 称为， 该 定理 的结 论其 数 学 表达式是11 、 定理 表述 请 你根 据图 1 中 的直角 三 角形 ， 写出 勾股定 理 内容 ； 尝 试证 明 以 图 1 中的 直 角 三角形 为 基础 ， 可以 构造出 以 a、 b

5、为底 ， 以 a+b 为 高的 直角 梯形 （ 如 图 2）， 请 你 利 用图 2，验 证 勾 股定 理定理 表述 ：直 角三 角 形中 ，两 直角 边的 平 方和 等于 斜边 的平 方2证明 ： s 四 边 形 abcd =s abe +s aed +s cde=ab2c2212 、如图， abc 中， ab=ac， bad= cad， bd=c，d ad bc请你 挑选 其中 的 两 个作 为 条 件，另 两个 作 为结 论 ，证明 等腰 三角形 的 “ 三线 合一 ” 性 质 定 理13、课本 指出 ：公认的 真 命题 称为 公 理，除 了 公理 外，其 他的 真 命 题（ 如推 论、

6、 定理 等 ） 的正 确 性 都需 要通过 推理 的 方 法证 实（ 1） 叙 述 三角 形全等 的 判定 方 法 中的 推论 aas；（ 2） 证 明 推论 aas要 求：叙 述推 论用 文字 表 达 ；用图 形中 的符 号表 达 已 知、求 证，并 证明 ，证 明对 各步 骤 要 注明 依 据 14 、在数 学 课 外活 动中 ，某 学习 小组 在 争论 “ 导学 案” 上 的 一个 作 业题 ： 已 知： 如图 ， oa平分 bac， 1=2求 证： ao bc同 学甲 说： 要 作 帮助 线 ；同 学乙 说： 要 应 用角 平 分 线性 质定理 来解决 ：同 学丙 说： 要 应 用等

7、腰 三 角形 “ 三线 合一 ” 的 性质 定理 来 解 决如 果你 是这 个 学 习小 组 的 成员 ， 请你 结合同 学 们的 争论 写 出 证明 过程 15、证明：勾股定理逆定理已知：在 abc中， ab=c,ac=b,bc=a ,如 c2 =a 2 + b 2求证： c = 90 度证明：作 rtdef，使 e=rt， de=b ,ef=a在 rt def中， df2 = ed 2 + ef2 = a 2 +b2由于 c2 =a 2 + b 2所以 df =c所以 df=ab，de=ac，ef=bc所以 rtdfe abcsss所以 c=e = rt二、四边形（一）梯形1、 定理 证

8、明： “ 等腰 梯 形的 两条 对 角 线相 等 ” 2、 用两 种 方法 证明等 腰 梯形 判 定 定理 ：在 同 一 底上 的两 个角相 等的 梯形 是等 腰梯 形 （ 要求 ： 画 出图 形， 写 出已知 、 求证 、证 明 ）'.'ae*dc bfldc.'.'abÎdc-ae-bf.£d-*c.' dkdl0 obcfadbcqëz: r1Ób1.be/xd ad-be .3、在 梯形 abcd中，如 图所 示， ad bc， 点 e、 f 分 别是 ab、 cd的 中 点 ， 连 接 ef，ef 叫 做

9、梯 形 的 中位线 观 察 ef 的位 置，联 想三 角形 的 中 位线 定 理 ，请 你 猜 想 ： ef 与 ad、bc 有 怎样的 位置 和数量 关系 并证 明 你 的猜 想 4、采纳如 图所示 的方 法，可 以 把梯 形 abcd折叠 成一 个 矩 形 efnm（ 图中 ef， fn， em 为 折痕）， 使得 点 a 与 b、 c 与 d 分 别 重 合于 一点 请 问， 线 段 ef 的位 置如 何确 定； 通 过这 种 图 形变 化 ， 你能 看出 哪 些定 理 或 公式 （ 至 少三 个） ？ 证明 你 的所 有结论 解： 可以 看出 梯形 的 中位 线定 理、 面积 公 式、

10、 平行 线的 性质 定理等 （二）平行四边形1、 定理 证 明： 一组对 边 平行 且 相 等的 四边 形 是 平行 四边 形2、 定理 求 证： 对角线 互 相平 分 的 四边 形是 平 行 四边 形3、 我们 在 几何 的学习 中 能发 现 ， 许多 图形 的 性 质定 理与 判定定 理之 间有 着一 定的 联 系 例如 ：菱 形的性 质定 理 “ 菱形 的对 角 线 相互垂 直 ” 和菱 形的 判定 定 理 “ 对角 线 相互 垂直的 平行四 边 形是 菱 形 ” 就 是这 样但是 课本 中对 菱 形 的另 外 一 个性 质“ 菱 形的对 角 线平 分一 组 对 角” 却没有 给出 类似

11、 的 判 定定 理 ， 请你 利用如 图所示 图 形研 究一 下 这 个问 题 要 求： 假如 有 类 似的 判 定 定理 ， 请写 出已知 、 求证 并证 明 假如 没有 ，请 举出 反例 （三）圆证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；这肯定理叫做圆周角定理；（圆周角与圆心角的关系）已知在o 中， boc与圆周角 bac同对弧 bc，求证： boc=2 bac.证明： 情形 1：如图 1，当圆心 o在 bac的一边上时，即a、o、b 在同始终线上时：图 1oa、oc是半径解： oa=oc bac=aco（等边对等角） boc是 aoc的外角 boc=情形 2：bac+aco=2bac如图 2, ，当圆心 o在 bac的内部时： 连接 ao，并延长 ao交o于 d图 2oa、ob、oc是半径解： oa=ob=oc bad=abo， cad=aco（等边对等角） bod、 cod分别是 aob、 aoc的外角 bod=bad+abo=2bad三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）cod=cad+aco=2cad三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和） boc=bod+cod=2bad+cad=2bac情形 3：如图 3，当圆心 o在 bac的外部时：图 3 连接 ao，并延长 ao