(完整版)同构法解决混合指对数不等式恒成立问题

1、同构法的妙用、知识点概括在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型 （即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度.找到这个 函数模型的方法，我们就称为同构法。1、针对双变量，方程组上下同构。“、f(Xi)-f(X2),工(1) > > k x1x2 ? f x1x1 x2fx2<kx1kx2?fx1kx1fx2kx2错误为增函数。 f(xi)-f(x2)< k x1 x2x1x2k x1x2k kxix2 ? f xif x2 > =x1 x2x2x1k? f x1一 > f x2xikk一

2、? = f x 为减函数。x2x含有地位同等的两个变量 错误!未找到引用源。，进行分组整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）。2、指对跨阶想同构，同左同右取对数。同构基本模式：（1）积型：aeawblnb （三种同构方式）同右：ealneawblnb,即：错误!未找到引用源。同左：aea w lnb e1nb，即：错误！未找到引用源。取对：a In a In b In In b。即：错误！未找到引用源。小结：在对“积型”同构时，取对数是最快的（单调性容易求解）（2）商型:e-< （三种同构方式）a In ba I

3、nbx一 e ee同左：< ,IP： f X oa In bxae bx同右：a <，即：f X In e In bIn xx In x错误取对：a In a < In b In In b , f x（3）和差型：ea a b Inb （两种同构方式）同左：ea a> e1nb In b ,即：错误同右：ea In ea > b Inb,即：错误3、无中生有去同构，凑好形式是关键，凑常数或凑参数，如有必要凑变量。axax(1) ae > Inx axe >xIn x (同时乘 x)。后面转化同 2. (1)(2) ex>aInax a a - e

4、x In a x 1 1 ex Ina In a > In x 1 1 ax InaIn x 1e x In a > In x 1 x 1 = In x 1 e (同时力口 x )x In a In x 1 oxxIn a In xxIn a(3) a Ioga x e xIn a e xInx,后面转化同 2.(1)In a4、同构放缩需有方，切放同构一起上。这个是对同构思想方法的一个灵活运用。利用切线放缩，往往需要局部同构。【利用切线放缩如同用均值不等式，只要取等号的条件成立即可】掌握常见的放缩：（注意取等号的条件，以及常见变形）xx 1_x _(1) e x 1 e x e

5、ex变形:x x Inx xe ex ex In x 1,一 xx In xe x In x.x1；一;x eIn x xe In x x 12 x x 2Inx x e ex 2 In x 1,2 x x 2In x x e e ex 2In In x x 1 Inex x Inx ,lnx x 1 Inx ex 2； e1 In x 1 - xlnx x 1。xx、/xe变形：x In x xe ,x In x In 一。 x xx小结： xex ex 1nx，包 ex lnx,2L elnx x,x In x lnxex,x In x In旦等，这些变形 xex新宠是近年来因为交流的频繁

6、而流传开来的。对解决指对混合不等式问题，如恒成立求参数取值范围问题，或证明不等式，都带来极大的便利.当然，在具体使用中，往往要结合切线放缩，或换元法。可以说掌握了这些变形新宠及常见切线型不等式，就大大降低了这类问题的难度。、题型赏析例1、对下列不等式或者方程进行同构变形，并写出相应的同构函数。(1) log 2 x k 2 kx 02 x 1 一(2) e In x0m(3) x2 ln x mex 01 .(4) a e 12 x ln xx(5) aln x 12 x 1 ax 2ex(6) x aln x ex xa x 1(7) e x 2x In x 0(8) x2exIn x 0例

7、2、已知不等式axlog a x a 0,且a 1 ,又? x 0,恒成立，则a的取值范围是例3、若对任意x 0，恒有a eax 11 .2 x - lnx,则实数a的最小值为4、已知函数f xex aln ax若关于x的不等式f x 0恒成立，则实数a的取值范围是（5、对任意x 0,不等式2ae2x6、已知函数f x mln x 1ln x ln a 0恒成立，则实数a的最小值为3x 3,若不等式f x mx 3ex在0, 上恒成立,则实数m的取值范围是（例7、已知Xo是函数2x2eln x2的零点，则e2 x0 ln x0(例8、已知函数f xxeax 1 In x ax ,若f x0对任

8、意x 0恒成立，则实数a的最小值是（）例9、已知函数f xx e2x a ,若f x 1 x Inx,求a的取值范围。一x 22 e t例 10、已知 f x xe ax ,g x In x x x 1 ,当 a 0时，右 ah x f x ag x 0恒成立，求实数 a的取值范围。例11、已知a 0,函数f xex a In x a 1 x 0的最小值为0,则实数a的取值范围()例12、完成下列各小题(I)已知4则函数fCO的最大值为 1(2)函数人切=那-丝2的最小位是*(3)函数外外= (x + lnx + 1>-X -k的最大值是.：(4)函数外口=胃警的最小值是.例14、综合题

9、型（1） J划函数f （幻=M铲。（，+In幻,若（幻之。恒成立，则突数口的取值范用是：（2）已知两数,。）=京M-城工+ 111* + 13芥foo之。恒成立，则正数。的取值超围是：门）已知函数r（G =+ e 口（x + 5工+1）.若。）三州成立，则正&n的取值范树晶.：0:已知不等式比工一仪x+1）叁】n£时任意小散Mei成;3则实数口的取值应周是.0 J知函效/Or） =x%x alnx £1（工> 11.Kl1'b >0.心网口三0恒成立.则失数小油的大小 关系是；,5已知函数（某> =dM ln，一 1.若f（M）三口恒成立，则实数。的取值范国是.：（7）已知函数鼠）