初三数学相似三角形典型例题

1、学习必备欢迎下载初三数学相像三角形（一）相像三角形是中学几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 懂得线段的比、成比例线段的概念，会依据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，明白黄金分割；2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的运算、证明，会分线段成已知比；3. 能娴熟应用相像三角形的判定和性质解答有关的运算与证明题；4. 能娴熟运用相像三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相像三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理；本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相像以及相像三角形性质的应用；相像三角形是平面几何的主要内容之一， 在中考试题中常常与四

2、边形、 圆的学问相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、挑选、简答或综合显现，分值一般在 10%左右，有时也单独成题，形成创新与探究型试题；有利于培育同学的综合素养；（二）重要学问点介绍：1. 比例线段的有关概念：在比例式 abc a： bc： d 中， a、 d叫外项， db、c叫内项，a、c叫前项，b、d 叫后项， d 叫第四比例项，假如b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比例中项；2把线段 ab分成两条线段ac和 bc，使 ac=ab· bc，叫做把线段ab 黄金分割， c叫做线段 ab的黄金分割点；2. 比例性质：基本性质：acbdadbca c合比性质：b da±

3、b bc±d d等比性质：acbdm bdn 0 na cmab dnb学习必备欢迎下载3. 平行线分线段成比例定理：定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1 l 2 l 3；就 abbcde ， ab efacde ， bc dfacef ，df推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例；定理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；4. 相像三角形的判定：两角对应相等，两个三角形相像两边对应成比例且夹角相等，两三角形相像三边对应成比例，两三角形相像假如一个直角三角

4、形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相像平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相像直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相像5. 相像三角形的性质相像三角形的对应角相等相像三角形的对应边成比例相像三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比学习必备欢迎下载相像三角形周长的比等于相像比相像三角形面积的比等于相像比的平方【典型例题】例 1.（1）在比例尺是1：8000000 的中国行政区地图上，量得a、b 两城市的距离是 7.5 厘米，那么a、b 两城市的实际距离是 千米；（

5、2）小芳的身高是1.6m，在某一时刻，她的影子长2m，此刻测得某建筑物的影长是 18 米，就此建筑物的高是 米；解： 这是两道与比例有关的题目，都比较简洁；（ 1）应填 600（ 2）应填 14.4 ；例 2.如图，已知de bc，ef ab，就以下比例式错误选项： a. adaeabacb. ceeacffbc. deadbcbdd. . efcfabcb分析： 由debc，efab 可知， a 、 b、d都正确；而不能得到debcad ，bd故应选 c；利用平行线分线段成比例定理及推论求解时，肯定要分清谁是截线、谁是被截线， c中de 很明显是两平行线段的比，因此应是利用三角相像后对应边成

6、比bc例这一性质来写结论，即debcadaeabac例 3.如图，在等边abc中， p 为 bc上一点， d 为 ac上一点，且apd=60°，学习必备欢迎下载bp1， cd2 ，求3abc的边长解： abc是等边三角形 c= b=60°又 pdc= 1+ apd=1+60° apb= 1+ c= 1+60° pdc= apb pdc apb pccdabpb设 pc=x，就 ab=bc=1+x2x31x1， x2， ab=1+x=3； abc的边长为3；例 4.如图：四边形abeg、gefh、hfcd都是边长为a 的正方形，（ 1）求证： aef ce

7、a（ 2）求证： afb+ acb=45°分析： 由于 aef、 cea有公共角 aef学习必备欢迎下载故要证明 aef cea只需证明两个三角形中，夹aef、 cea的两边对应成比例即可；证明：（ 1）四边形abeg、gefh、hfcd是正方形 ab=be=ef=fc=，a abe=90° ae2a， ec2a aeef2a2， ec2a2aae2a aeecefae又 cea= aef cea aef（ 2） aef cea afe= eac四边形 abeg是正方形 adbc， ag=g，e agge acb= cad， eag=45° afb+ acb= e

8、ac+cad= eag afb+ acb=45°例 5.已知： 如图， 梯形 abcd中，ad bc，ac、bd交于点 o，ef经过点 o且和两底平行，交 ab于 e，交 cd于 f求证： oe=of证明： ad efbc学习必备欢迎下载 oebcoe bcoe adae abeb abab ab1bc1ad1oeae ， oeebabadab1同理：111bcadof11oeof oe=of从本例的证明过程中，我们仍可以得到以下重要的结论： ad ef bc111adbcoe ad ef bcoeof1 ef2 ad ef bc11112即112adbcoeefof12adbcef

9、这是梯形中的一个性质，由此可知，在ad、bc、ef 中，已知任何两条线段的长度，都可以求出第三条线段的长度；例 6.已知：如图，abc中， adbc于 d，de ab 于 e， df ac于 f求证：aeacafab分析： 观看 ae、af、ac、 ab在图中的位置不宜直接通过两个三角形相像加以解决；因此可依据图中直角三角形多，因而相像三角形多的特点，可设法寻求中间量进行代学习必备欢迎下载换，通过abd ade ，可得：abadad ，于是得到aead 2ae· ab，同理可得到ad 2af ·ac，故可得：ae· abaf· ac，即 aeacafab

10、证明： 在 abd和 ade中， adb= aed=90° bad= dae abd ade abadadae2 ad=ae· ab同理： acd adf2可得： ad=af· ac ae·ab=af· ac aeacafab例 7.如图，d 为 abc中 bc边上的一点， cad= b，如 ad=6，ab=8，bd=7，求 dc的长；分析： 此题的图形是证明比例中项时常常使用的“公边共角”的基本图形，我们可以由基本图形中得到的相像三角形，从而得到对应边成比例，从而构造出关于所求线段的方程，使问题得以解决；解： 在 adc和 bac中 cad=

11、 b， c= c adc bac addcac abacbc学习必备欢迎下载又 ad=6， ad=8， bd=7 dcacac37dc4dc3即ac4ac3解得： dc=97dc4例 8.如图，在矩形abcd中， e 是 cd的中点， be ac于 f，过 f 作 fg ab交 ae于 g，2求证： ag=af· fc证明： 在矩形 abcd中， ad=bc， adc= bce=90°又 e 是 cd的中点， de=ce rt ade rt bce ae=be fgab aeagbebf ag=bf在 rt abc中， bf ac于 f rt bfc rt afb affb

12、bffc2 bf =af· fc2 ag=af· fc学习必备欢迎下载例 9.如图，在梯形abcd中， ad bc，如 bcd的平分线ch ab 于点 h， bh=3ah，且四边形 ahcd的面积为21，求 hbc的面积；分析： 由于问题涉及四边形ahcd，所以可构造相像三角形；把问题转化为相像三角形的面积比而加以解决；解： 延长 ba、cd交于点 p chab， cd平分 bcd cb=cp，且 bh=ph bh=3ah pa：ab=1： 2 pa：pb=1： 3 adbc pad pbc s pad ： s pbc1： 9 s1 s pch2pbc s pads四边形

13、ahcd2 ： 7 s四边形 ahcd21 s pad6 spbc54学习必备欢迎下载 s1 s27 hbc2 pbc一、填空题1. 已知 a2b9 ，就 a：b 2ab52. 如三角形三边之比为3： 5：7，与它相像的三角形的最长边是21cm，就其余两边之和 是 cm3. 如图， abc中， d、e 分别是 ab、ac的中点， bc=6，就 de= ； ade与abc的面积之比为： ；4. 已知线段a=4cm， b=9cm，就线段a、 b 的比例中项c 为 cm；5. 在 abc 中，点d、e 分别在边ab、ac 上， de bc，假如ad=8， db=6， ec=9，那么 ae= 6. 已

14、知三个数1， 2，3 ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，就这个数是7. 如图，在梯形abcd中， adbc， efbc，如ad=12cm， bc=18cm， ae： eb=2：3，就 ef= 8. 如图， 在梯形 abcd中，ad bc， a=90°， bd cd，ad=6，bc=10，就梯形的面积为：学习必备欢迎下载二、挑选题1. 假如两个相像三角形对应边的比是3： 4，那么它们的对应高的比是 a. 9：16b.3 ： 2c. 3： 4d. 3 ： 722. 在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a 厘米， 宽 b 厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是 米10 4 ma.a

15、b104 m2b.abc.abm 104abm 2d.1043. 已知，如图，de bc，ef ab，就以下结论：aebeecfcadabbfbc efdeabbcceeacfbf其中正确的比例式的个数是 a. 4个b. 3个c. 2个d. 1 个4. 如图，在 abc中， ab=24， ac=18，d 是 ac上一点， ad=12，在 ab上取一点e，使 a、d、e 三点为顶点组成的三角形与abc相像，就ae的长是 学习必备欢迎下载a. 16b. 14c. 16或 14d. 16或 95. 如图，在rt abc中， bac=90°， d是 bc的中点， aead，交 cb的延长线于

16、点e，就以下结论正确选项 a. aed acbb. aeb acdc. bae aced. aec dac三、解答题：1.如图， ad eg bc， ad=6， bc=9， ae： ab=2： 3，求 gf的长；2. 如图， abc中， d是 ab上一点，且ab=3ad， b=75°， cdb=60°，求证： abc cbd；3. 如图， be为 abc的外接圆 o的直径， cd为 abc的高，学习必备欢迎下载求证： ac· bc=be· cd4. 如图， rt abc中， acb=90°， ad平分 cab交 bc于点 d，过点 c 作 ce

17、ad于e， ce的延长线交ab于点 f，过点 e 作 eg bc交 ab于点 g，ae· ad=16， ab45 ，（1）求证： ce=ef（2）求 eg的长 参考答案 一、填空题：1. 19： 132. 243. 3 ；1： 44. 65. 1226.只要是使得其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可，如：22 、等；2学习必备欢迎下载7. 14.48.166二、挑选题：1. c2. d3. c4. d5. c三、解答题：1. 解： adeg bcegae在 abc中，有bcabefbe在 abd中，有adabae： ab=2： 3be： ab=1： 3eg23bc， ef1 ad3bc=9， ad=6eg=6， ef=2gf=eg ef=42. 解： 过点 b 作 be cd于点 e， cdb=60°， cbd=75° dbe=30°，cbe= cbd dbe=75° 30° =45° cbe是等腰直角三角形；ab=3ad，设 ad=k，就 ab=3k， bd=2kde=k， be3k bc6k学习必备欢迎下载 bd2k2 ，bc6k3bc6k2ab3k3 bdbcbcab abc cbd3. 连结 ec， bcbc e= a又 be 是 o的直径 bce=90°又