格型自适应滤波器

1、第四章 格型自适应滤波器本章研究另一类线性自适应滤波器，其是设计基于阶数更新和时间更新的递归算法。这种新的自适应滤波器与前面章节所研究的滤波器的不同之处在于阶数更新。而这可以利用均匀采样后时间数据的时移特性来实现。就结构而言，阶更新获得一种计算高效、模块化以及格型的结构；它可将前面m-1阶计算得到的信息传递到更新后的m阶滤波器。最后结果是实现其计算复杂度与滤波器m阶呈线性关系的自适应滤波器。与其他类型线自适应滤波器相同，阶递归自适应滤波器的设计也是基于下面两种方法：1 随机梯度法 它建立在前向线性格型预测器和后向格型预测器的基础上。2 最小二乘法 它建立在卡尔曼滤波器与最小二乘滤波器之间对应关

2、系的基础上。LMS和RLS滤波器同属于横向自适应滤波器，在实际应用中，一个横向滤波器的最优阶数通常是未知的，这就需要通过比较不同阶数的滤波器来确定最优的阶数。但是，当改变横向滤波器的阶数时，LMS和RLS算法必须重新运行，这显然是很不方便且费时，而格型滤波器解决了这一难题。格型滤波器最突出的特点是局部相关联的模化块结构，格型系数对于数值扰动的低灵敏性，以及格型算法对于信号协方差矩阵特征值扩散的相对惰性，使得其算法具有快速收敛和优良数值特性，已被广泛应用于信号预测和滤波处理。4.1 梯度自适应格型算法梯度自适应格型（GAL，gradient-adeptive lattice ）滤波器具有对称的格

3、型结构，从随机梯度法得出的阶递归自适应滤波器设计简单，但在特性方面是近似的；其设计的简单性在于格型滤波器的每一级只有一个反射系数。其设计准则和LMS算法一样是使均方误差为最小。图4.1示出了一个单级格型预测器的方框图：图4.1单级格型预测器6其输入输出关系用单个参数反射系数来表征。假设输入数据广义平稳且km为复值。对于km的估计，首先考虑代价函数 (4-1)其中，是第m级前向预测误差，是第m级后向预测误差。和在第二章已有定义，它们都是在本级滤波器输出端测量的；为统计期望算子；引入1/2是为了简化表达式。格型滤波器的输入输出关系为： (4-2) (4-3)把式(4-2)和(4-3)代入(4-1)

4、，并对代价函数求关于km的偏导数，我们得到： (4-4)如令该梯度等于零，则当代价函数取得最小值时，即得反射系数最优值为： (4-5)式(4-5)就是反射计算的计算公式。由于式(4-5)涉及使用集平均。设输入信号是各态历经的，则可用平均值代替式中分子分母的期望值。于是，m级格型预测器反射系数的估计为： (4-6)我们定义： (4-7)是直到时刻n（包含n）测得的m级输入前向预测误差和延迟的后向预测误差的总能量.将式(4-6)中的与其他和式分离，即得计算总能量的递归公式: (4-8)采用类似方式，可对6式中的分子写出递归公式，它表示时间平均互相关 (4-9)将式(4-8)和式(4-9)代入式(4

5、-6)，可得反射系数估计值的递归关系式为： (4-10)为了最终确定梯度格型滤波器算法的表达式，对式(4-8)和式(4-10)做如下两点修改：1 引入步长参数，用来控制从一次迭代到下一次迭代传递中每个反射系数的调整量： (4-11)2 修改式(4-8)的能量估计器，使之成为如下形式： (4-12)式中是一个介于0<<1之间的新参数。导出式(4-10)的递归估计器，原来假设工作在平稳情况下，为了处理非平稳情况下的统计变量，引入修改后的式(4-11)。修改的目的是使估计器具备记忆功能，并借助预测能量最接近的过去值及现在值来计算反射系数的估计值。在GAL算法中，当反射系数的更新式中使用时

6、变步长参数=时引入了一种类似于归一化LMS算法的归一化形式。由式(4-12)可以看出，对于较小的前后向预测误差，参数相应较小；或者等效地，步长参数相应较大。从实用观点看，这种性能很比较需要。本质上，小的预测误差意味着自适应格型预测器正在为它所运行的外部环境提供一个精确的模型。因此，如果预测误差增大，应该是外部环境变化引起的；在这种情况下，能够对这种变化作出快速响应的自适应格型器将是高度合乎需要的。事实上，可通过设定为一个较大值来实现这一目的，这也使得GAL算法中的式(4-10)一开始就能够快速收敛到新的环境。但是，加到自适应格型预测器的输入数据含噪过多（即有用信号上加有很强的白噪声成分）则由自

7、适应格型预测器所产生的预测误差相应就大。在这种情况下，参数取较大值，或者等效地，步长参数取较小值。因此，这时GAL算法中式(4-10)并不恰好像我们所希望的那样，能对外界环境的变化作出快速相应。GAL算法的流程归纳如下：参数：M=最终预测阶数中的=0.09多级格型预测：对于阶数m=1,2,M,置 (4-13)取0.01，取为0。.对于时间步：n=1,2,置 (4-14)对于预测阶数m=1,2,M,和对于时间步：n=1,2,计算 (4-15) (4-16) (4-17) (4-18)4.2 GAL算法仿真分析用自适应预测来验证新算法的收敛性能。自适应预测示意图如图2.7所示。所示。计算机仿真条件

8、为:设输入信号x(n)由二阶AR模型所产生x(n)=1.558x(n-1)-0.81x(n-2)+V(n) (4-19)其中a1=1.558，a2=-0.81,V(n)为一白噪声， 我们用一个二阶LMS自适应横向预测器和一个二阶梯度自适应格型预测器分别对a1和a2作出估计，通过迭代，这两种方法的估计值和分别分别趋于1.558和-0.81。需要注意的是，因为自适应格型预测器估计出的是反射系数和，所以需要将其进行换算，也即和可按下式算出： (4-20) (4-21)图4.2示出了三种算法的n，n曲线。图4.2 两种算法权值收敛轨迹以上曲线均为独立实验100次取平均得来。由图4.2可见，LMS算法和

9、GAL算法算得的和都分别趋于1.558和-0.81，但自适应格型算法的收敛速度比横向自适应算法快很多。梯度自适应格型滤波器算法的反射系数用递推算法得来，不涉及矩阵求逆，其计算量比LMS略高，比RLS算法低。可应用与比LMS算法要求高的场合。但是，一些场合往往需要更高的收敛速度才能满足要求。这就迫使我们研究一种收敛更快的格型算法。那就是下面要介绍的LSL算法。4.3 最小二乘格型算法基于最小二乘法的阶递归自适应滤波器比较精确；但其算法表达式需要更多的软件编码关系。其算法的复杂性在于最小二乘格型预测器的每一级需要两个不同的反射系数来表征它，一个用于前向预测，另一个用于后向预测。这种非对称的格型滤波

10、器的设计准则采用最小二乘（LS）方法，使预测误差的平方和为最小。图4.3是一个LS格型滤波器。其中和分别为第m级格型滤波器的前向残差和后向残差，称为反射系数，p为滤波器的阶数15。与只有一个反射系数的LMS格型滤波器不同的是，LS格型滤波器的前向反射系数和后向反射系数是不相等的。图4.3 RLS自适应格型滤波器19由上图可以写出前、后向预测误差的方程，即有 (4-22) (4-23)式(4-22)和式(4-23)表明了以下事实：(1) 第m级滤波器在n时刻的前（后）向预测误差不仅与前一级n时刻的前向预测误差有关，而且还决定于前一级n-1时刻的后向预测误差。(2) LS格型滤波器设计的核心问题就

11、是推导前、后向反射系数的递推公式，即如何使用前级滤波器的有关参数推出本级的前、后向反射系数。(3) LS格型滤波器既含有阶数递归（本级参数与前级参数有关），又包含了时间递推（当前时刻的滤波器参数与前一时刻的参数有关）。定义以下参数：偏相关系数 (4-24)前、后预测误差剩余 (4-25) (4-26)前向反射系数 (4-27)后向反射系数 (4-28)引入个分量的单位向量（也叫抽取向量），得到角度参量的定义式为： (4-29)迭代公式为： (4-30)所以，可得到LS格型（Least Square Lattice, LSL）自适应滤波算法如下1015：初始化 (4-31) (4-32) (4-

12、33)对计算 (4-34) (4-35) (4-36)对于计算 (4-37) (4-38) (4-39) (4-40) (4-41) (4-42)其中，参数应选择接近稳态预测误差的平方值。4.4 最小二乘格型算法特性分析格型算法与横向算法最显著的不同是它具有输入信号正交化的功能。首先考虑格型滤波器第阶抽头处，格型算法中前向预测误差必然与过去的数据样本正交以达到最小均方误差值，即 (4-43) (4-44)其中代表统计期望。同理，对于反向预测误差有 (4-45) (4-46)这里的选取满足正交条件，同样两个预测误差满足同样的正交条件。然后考虑格型滤波器第阶抽头处，表示由预测的的误差。因为阶预测误

13、差利用了时刻的所有信息，所以，第m阶预测中必须包含从可以预测得到关于的信息，然而许多信息已经包含在之中，而正交化就要求我们只考虑带来的新信息。因此，考虑反向预测误差，它表示由预测的误差，也就是说代表了样本中的新信息，于是关于的一种可取的递推表达式为 (4-47) (4-48)这里的使满足新的正交条件 (4-49)类似的，可以得到反向预测器的递推式 (4-50) (4-51)于是 (4-52)按照同样的分析，我们可以把自适应预测滤波器扩展到更高阶数。因此，利用格型结构只要继续增加滤波器的阶数即可构成预测滤波器。这正是格型结构的逐级正交性，每个反射系数都可以分别予以确定。格型滤波器的正交性就是：反

14、向预测误差可以由信号延迟形式的格兰姆施密特型正交化公式导出。正交变量的这个特性使格型结构有利于自适应滤波，也容易确定信号能量通过每个预测级后的衰减。这个特点可用于按比例确定预测误差以保证良好的数值特性。一些重要的特性如下： (4-53)， (4-54) (4-55) (4-56) (4-57) (4-58)如果信号在自相关函数已知的情况下是平稳的，每一级的前向与反向预测误差能量均相同，那么两个反射系数相等，而且可用对称的双乘法器格型结构计算这些预测误差的递推式。假如被建模的信号是平稳的，通过组合取样数据估计和，可确定单一的反射系数。对于非平稳信号来说，使反射系数随时间变化可产生自适应估计。在诸

15、如杂波抑制、噪声消除和均衡等应用中，格型结构正交性的主要意义在于得到快速的跟踪或者收敛特性。由于反向预测误差是输入时间序列延迟型的格兰姆施密特正交化，因而格型算法得到了广泛的应用。4.5 LSL算法联合估计过程在许多应用情况下，我们希望由期望响应所表述某个过程性质的预测和由输入信号所包含的有关过程进行预测和估计，这时，如何推导出一个自适应格型滤波器来实现与期望信号的匹配就很重要。将后向预测误差序列用于另一自适应处理过程中是格型联合估计过程的核心。简单来说，联合处理分为2个阶段，利用格型滤波结构产生的后向预测误差序列再同时经过单独的另外一次常规自适应滤波处理。经过格型结构滤波后, 提取其中产生的

16、后向预测误差序列作为联合估计的输入信号。因为后向预测误差彼此之间具有正交的特性, 使得格型结构前后两级间是去耦的, 因此级间信号抗干扰性得到了保障。对后向预测误差序列做加权求和, 并与参考信号进行比较, 以获得误差。通过对期望信号引入方式的分析, 联合估计过程有两种模式, 分为总体误差更新和阶误差递归更新方式, 它们对权值的更新的方式不同。总体误差更新方式如图4.4所示：图4.4总体误差更新方式Error! Reference source not found.以当前时刻的总体误差即为期望信号与整个滤波系数同时和所有估计器输入信号的乘积之差作为调整下一时刻整个滤波系数的修正因子;总体误差为:

17、(4-59)阶误差递归更新方式如图4.5所示：图4.5阶误差更新方式Error! Reference source not found.在当前时刻先从第一级滤波系数进行调整, 逐次计算每一个滤波系数的更新, 调整后的单级误差成为下级单元的期望信号, 依次递归计算每一级的误差和滤波系数以达到整体最优。单级误差为: (4-60) m=0,1,2,M (4-61)如果一定需要严格限制估计过程中滤波模型本身噪声所带来的测量误差, 那么就有必要采用后一种模型中的直接获取法进行联合估计,因为阶误差递归更新模型以每一级为最优处理对象, 致使总的M级测量误差之和也将最小; 但是如果不需要严格关注滤波模型本身噪

18、所带来的测量误差, 从实用性的角度考虑, 普遍采用前一种易于实现的总体误差更新模型。在这两种联合过程估计模型中，滤波系数的更新均可以采用NLMS 算法或者是RLS算法以及其他类型的更新算法。为了更少的增加计算复杂度，对于滤波系数的更新采用归一化LMS算法。这样，总体算法可以称为：LSL-NLMS算法。联合过程估计的总体结构如图4.6所示：图4.6联合过程估计的总体结构Error! Reference source not found.上图中，下半部分的期望相应估计器推导流程归纳为：对预测阶数：m=0,1,2,M，置 (4-62)对时间步n=0,1,2,置 (4-63) (4-64)对于预测阶数m=0,1,2,M和时间步n=0,1,2,计算 (4-65) (4-66) (4-67) (4-68)其中取0.05。4.6 LSL-NLMS算法的仿真分析仿真一：下面通过计算机模拟来检验RLS自适应格型联合过程估计算法的性能，并将其和GAL、RLS及LMS算法作对比。仿真条件和4.2节一样，通过对比权矢量系数a1，a2的预测值和的轨迹来评价两种算法的性